江苏省无锡市西渚中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市西渚中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，周期为的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：D2.已知，，，则a,b,c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.3.设直线x﹣y+3=0与圆心为O的圆x2+y2=3交于A，B两点，则直线AO与BO的倾斜角之和为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】联立直线和圆的方程可得点的坐标，分别可得直线的倾斜角，可得答案．【解答】解：由x﹣y+3=0可得x=y﹣3，代入x2+y2=3整理可得2y2﹣3y+3=0，解得y1=，y2=，分别可得x1=0，x2=﹣，∴A（0，），B（﹣，），∴直线AO与BO的倾斜角分别为，，∴直线AO与BO的倾斜角之和为+=，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．5.已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略6.若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A． B． C．2 D．2参考答案：A【考点】两点间的距离公式．【分析】联立，解得交点（1，2），代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．【解答】解：联立，解得x=1，y=2．把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．∴m=﹣5﹣2n．∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．故选：A．7.在中，，是边的中点，，交的延长线于，则下面结论中正确的是（

）A．∽

B．∽C．∽

D．∽参考答案：C8.下列函数中，最小值是2的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（） A． B．2π C．3π D．4π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由已知中的三视图，我们可以确定该几何体为圆锥，根据正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，求出圆锥的底面半径和母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案． 【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个圆锥 又由正视图与侧视图都是边长为2的正三角形 故底面半径R=1，母线长l=2 则这个几何体的侧面积S=πRl=2π 故选B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状及圆锥的底面半径和母线长是解答本题的关键． 10.对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（） A．92% B．24% C．56% D．5.6%参考答案：C【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距，求出这次测验的优秀率． 【解答】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56% 故选C 【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若=，=，则=_________；参考答案：略12.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共_

有个顶点.(注：用n表示；每个转折点即为顶点，比如图形1的顶点数为12)参考答案：略13.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点对称：②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；④若函数，则，其中正确命题的序号为__

_____(把所有正确命题的序号都填上）.参考答案：①②④14.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________参考答案：【分析】由题，根据椭圆和双曲线的定义可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的结果.【详解】由题，设椭圆为：，双曲线为：由定义可得在三角形中，由余弦定理可得：整理可得：由柯西不等式：所以，当且紧当时取等号.故答案为【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合知识，熟悉性质和定义是解题的关键，还有了解余弦定理以及柯西不等式，综合性强，属于难题.15.观察下列等式1-1-+-+1-+-+-++……据此规律,第n个等式可为.

参考答案：1-+-+…+-++…+本题主要考查推理与证明.观察所给等式的左右可以归纳出1-+-+…+-++…+.【备注】观察归纳是确定结论的核心内容.16.设集合，若，则实数的取值范围是

。参考答案：略17.若，则_____.参考答案：4038【分析】对两边同时取导数，再将代入，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，令，则有.故答案为4038【点睛】本题主要考查二项展开式，熟记二项式定理即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（﹣a，0）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求?的最大值；（3）设P为椭圆Γ上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若﹣=4，求线段PN的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率结合菱形面积求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设l1：y=k1（x+2），代入，利用根与系数关系得到AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线方程，得到M的坐标，利用向量数量积公式得到数量积关于k1的关系，换元后利用基本不等式求得?的最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N的坐标，由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，进一步得到∴=3．说明点N在直线x+y=3上运动，求出和x+y=3平行且与相切的直线方程，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：（1）由e==，得3a2=4c2，再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知×2a×2b=4，即ab=2．解方程组，得a=2，b=1．∴椭圆的方程为；（2）设l1：y=k1（x+2），代入得，．解得：x=﹣2或x=，则B（，），∴AB的中点为（），∵k1≠0，则AB的垂直平分线方程为．设M（0，y0），令x=0，得．则=（﹣2，﹣y0）?（xB，yB﹣y0）==．令，则．故当t=，即时，取最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N（），由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，∴=3．故点N在直线x+y=3上运动，设与x+y=3平行的直线为y=﹣x+b，代入，得5x2﹣8bx+4b2﹣4=0，由△=0，得b=．则PN的最小值为y=﹣x+与x+y=3的距离，等于．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．19.如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案：证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.

20.(本小题12分)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．参考答案：(1)∵＝0.19，∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12名．(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，且y、z∈N，基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11个，事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个，∴P(A)＝.略21.已知等差数列满足：，且成等比数列。（1）求数列的通项公式（2）记为数列的前项的和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，

若不存在，说明理由参考答案：（1）或（2）41试题解析：解：（1）(5分）设公差为，依题意

或

当时，

当时，

所以，数列的通项公式为或（2）（7分）当时，显然，不存在正整数，使得

，当令

解得；或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.考点：等差数列通项与求和22.如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判