北京市北师大附中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京师大附中2024-2025学年高一上学期期末考试数学班级：___________姓名：___________学号：___________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。3．考试结束后，考生应将答题纸交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，，则（A） （B） （C） （D）（2）某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若从中年居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是（A）200 （B）250 （C）280 （D）300（3）已知，，，则，，的大小关系为（A） （B） （C） （D）（4）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（A） （B） （C） （D）（5）如下图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（A） （B） （C） （D）（6）设为非零向量，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知，从四个不等式=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③，=4\*GB3④中任选2个，事件“所选2个不等式都不成立”的概率是（A） （B） （C） （D）（8）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（A） （B） （C） （D）（9）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）（10）在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：min）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为t0510c0.15%0.09%0.07%（A）0.07% （B）0.06% （C）0.05% （D）0.04%第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域是_____________．（12）计算：_____________．（13）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对：_____________．（14）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是_____________．①甲的极差比乙的极差大； ②甲的众数比乙的众数大；③甲的80％分位数比乙的80％分位数相等； ④甲的方差比乙的方差小．（15）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数（Ⅰ）若，则函数是“_______阶准偶函数”；（Ⅱ）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）已知向量，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若向量，试用表示；（Ⅲ）若，求实数的值．（17）（本小题13分）设函数．（Ⅰ）直接写出函数的奇偶性；（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；（Ⅲ）求函数在上的值域．（18）（本小题14分）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．（19）（本小题15分）设函数，关于x的不等式的解集为．（Ⅰ）当时，求解集S；（Ⅱ）是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）求函数的零点．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若对于，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围．

（21）（本小题15分）对任意正整数n，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．（Ⅰ）写出集合和；（Ⅱ）证明：对任意，存在，使得；（Ⅲ）设集合，求证：中的元素个数是完全平方数．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．（1）D （2）D （3）A （4）A （5）C（6）C （7）B （8）D （9）B （10）B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11） （12）（13）（满足，且即可） （14）②④（15）2；三、解答题共6小题，共85分．（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，，所以，所以．（Ⅱ）由题可知与不共线，故设()，即，所以，解得，．因此．（Ⅲ）由题意得．因为，所以，解得．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）是奇函数．（Ⅱ）在上单调递减，证明如下：由题意得．任取，且，则．因为，所以，，，所以，即．因此在上单调递减．（Ⅲ）由题可知的定义域为．因为是奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减．因为，所以，即．所以在上的值域为．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为第三、四、五组的频率之和为，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以．（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）平均数为．（Ⅲ）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e．考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，共包含10个样本点．记事件为“选出的两人来自不同组”，则，共包含4个样本点，所以．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，函数．解不等式，得．所以．（Ⅱ）假设存在实数，使得，则且，是方程的两个根，所以，解得．因此存在，使得．（Ⅲ）令，得到关于的方程．①当时，则，解得．②当时，关于的一元二次方程的判别式为．（ⅰ）当，即时，方程无实数解；（ⅱ）当，即时，解方程得；（ⅲ）当，即且时，解方程得．综上所述：当时，没有零点；当时，的零点为；当时，的零点为；当且时，的零点为和．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数，定义域为．令，则，函数转化为．由于为开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增．因此当时，，即当时，．（Ⅱ）由得．令，，则．由题意可知，对于，恒成立，即恒成立．令，则，．因为在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，．因此，即．（Ⅲ）．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ），