福建省厦门市第二十一中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

福建省厦门市第二十一中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的根的个数至多为（

）(A)3

(B)4

(C)6

(D)9参考答案：A当时，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，，且时，又在上为奇函数，所以，而时，所以大致图象如图所示：令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，，方程至多有一个根，从而函数的根的个数至多有3个。2.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．3.数列的首项为1，数列为等比数列且A.4 B.8C.16 D.32参考答案：C4.已知,若,则

（

）

参考答案：A略5.设全集为，集合则(

)参考答案：C略6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3

B．4

C．

D．

参考答案：B7.函数y=2x-x2的图象大致是

(

）参考答案：A8.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则

（A）2

（B）6

（C）8

（D）10参考答案：C9.（1）复数的模为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B10.已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（）A．1 B． C．2 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=（1，0），=（，），则﹣2=（，﹣），故|﹣2|==1，故选：A．【点评】本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，椭圆的左，右顶点分别为，线段是垂直于椭圆长轴的弦，连接相交于点，则点的轨迹方程为____________．参考答案：故填：.考点：1.轨迹方程；2.椭圆方程.【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程，属于中档题型，首先根据和两点的坐标，表示直线和,然后两个方程消参后就是交点的轨迹方程，消参多选择的方法多采用代入消参，或四则消参，比如两个式子相加，相减，或相除，相乘，再根据点在抛物线上，得到轨迹方程.12.计算：=____参考答案：π13.数列满足，则其通项_________.参考答案：14.参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是）．参考答案：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）15.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m?α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④16.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．参考答案：【分析】根据向量共线求得；再利用求得结果.【详解】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.17.在的展开式中，其常数项的值为

.参考答案：28【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率与统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【试题分析】由二项式定理得，令，即，所以常数项为，故答案为28.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.参考答案：(1)不等式的解集为;(2)试题分析：（1）将代入得一绝对值不等式：，解此不等式即可.（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。本题有以下三种考虑：思路一、根据的符号去绝对值.时，，所以原不等式转化为；时，，所以原不等式转化为思路二、利用去绝对值.,此不等式化等价于.思路三、从不等式与方程的关系的角度突破.本题是含等号的不等式，所以可取等号从方程入手.试题解析：（1）当时，可化为，由此可得或故不等式的解集为

5分（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由,得,此不等式化等价于或解之得或,因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故

10分法二：（从等价转化角度考虑）由,得,此不等式化等价于,即为不等式组,解得,因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故

10分19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。参考答案：⑴如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以NS=，因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，在Rt△QPS中，因为PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=，

①若S在线段TG上，则TS=QT－，在Rt△STM中，MS=，因此MN=NS+MS=NS+．②若S在线段GT的延长线上，则，在Rt△STM中，，因此⑵设≤则，因此，因为，又≤，所以恒成立。因此函数在上是减函数，所以，即．所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．20.已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有（k为常数）．（1）若k=0，且a1=1，﹣8a2，a4，a6成等差数列，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若，求证：a1，a2，a3成等差数列；（3）已知a1=a，a2=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．（2）当时，，令n=1，即可证明．（3）存在常数使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．证明如下：令，对任意n∈N*，都有，可得，可得：bn+1=bn，n∈N*，进而得出．【解答】解：（1）当k=0时，，∵an＞0，∴数列{an}为等比数列，设公比为q（q＞0），∵﹣8a2，a4，a6成等差数列，∴﹣8a2+a6=2a4，∴，∵a2≠0，∴q4﹣2q2﹣8=0，∴q2=4，∴q=2．∵a1=1，数列{an}的前n项和．（2）当时，，令n=1，则，∴，∵a1＞0，∴a1+a3﹣2a2=0，∴a1，a2，a3成等差数列．（3）存在常数使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．证明如下：令，∵对任意n∈N*，都有，①，k为常数，∴，②②﹣①得：，∴．∵an＞0，∴an+1an+2＞0∴，即：，亦即：bn+1=bn，n∈N*，∴数列{bn}为常数列，∴bn=b1，n∈N*，∵a1=a，a2=b，，n∈N*，令n=1，则b2=aa3+k，∴，∴，n∈N*，∴，即存在常数使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．21.已知数列{an}满足：.（1）设，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn.参考答案：（1）由可得又∵，∴，由，得，累加法可得：化简并代入得：；（2）由（1）可知，设数列的前项和则①②①②∴又∵的前项和为，∴22.（12分）写出计算1+2+3+…+100的值的算