2021-2022学年湖南省岳阳市市第五中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省岳阳市市第五中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B． C． D．[2，+∞）参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由零点分段法，我们可将函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|=，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，当x≥3时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣1，解得x=2+，当x＜3时，f（x）=x2﹣4x+3=﹣1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+．故实数a的集合是[2，2+]．故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．2.数列{an}满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.【详解】∵，∴，又，∴∴，∴数列的前100项的和为：．故选:B．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，b=c，则tanA的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2 B．2cm2 C．4πcm2 D．1cm2参考答案：D【考点】扇形面积公式．【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：×2×1=1cm2，故选D．5.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是

（）A.y=2cos2x

B.y=2sin2x

C.

D.y=cos2x参考答案：A6.

参考答案：C7.下列函数中，是偶函数，且在区间（0，1）上为增函数的是（）A．y=|x| B．y=3﹣x C．y= D．y=﹣x2+4参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性以及单调性即可．【解答】解：y=|x|是偶函数，并且在区间（0，1）上为增函数，正确；y=3﹣x不是偶函数，错误；y=是奇函数，不正确；y=﹣x2+4是偶函数，但是在区间（0，1）上为减函数，不正确；故选：A．8.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．24 B． C．20 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，即可求其体积．【解答】解：该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，故其体积为=．故选D．9.要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos[2（x﹣）]的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣+）]=cos2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.（3分）设平面向量=（﹣1，0），=（0，2），则+3等于（） A． （6，3） B． （﹣2，6） C． （2，1） D． （7，2）参考答案：B考点： 平面向量的坐标运算．专题： 平面向量及应用．分析： 根据题意和向量的坐标运算直接求出+3的坐标即可．解答： 因为平面向量=（﹣1，0），=（0，2），所以+3=2（﹣1，0）+3（0，2）=（﹣2，6），故选：B．点评： 本题考查向量的坐标运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是_________。参考答案：略12.当时，函数的最大值为__________．参考答案：21【分析】根据题干中的条件可得到二次函数的对称轴，再由二次函数的性质得到最值即可.【详解】当时，函数，对称轴为x=2,在所给区间内，根据二次函数的性质得到在x=-3处取得最大值，代入得到21.故答案为：21.【点睛】这个题目考查了二次函数在小区间上的最值的求法，一般是讨论轴和区间的位置关系，结合二次函数图像的性质得到相应的最值.13.已知，则________.参考答案：5【分析】求出，代入向量模的运算公式求得.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查向量坐标表示及向量模的坐标运算，注意向量坐标与点坐标的区别.14.已知，则的最小值为

．参考答案：-615.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．参考答案：①6

②12试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.①，②16.是等差数列，，，从中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，则等于__________．参考答案：见解析解：设，，得，，，，，∴．17.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________参考答案：18略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.（1）求角C；（2）若，求△ABC的面积.参考答案：(1)；(2)【分析】（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为，再利用，可知，最后化简求值；（2）利用余弦定理可求得，代入求面积.【详解】（1）由已知以及余弦定理得：所以,（2）由题知，【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视的变形使用.19.已知tanα=2，求：（1）的值；

（2）的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和的正切公式可得=，把tanα=2代入，运算求得结果．（2）把tanα=2代入=，运算求得结果．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴===﹣3．（2）∵tanα=2，∴===．20.计算：（本题每小题6分，共12分）（1）；

（2）.

参考答案：21.设函数的定义域为R，并且满足，且当时，.求的值.判断函数的奇偶性.如果，求的取值范围.参考答案：略22.已知数列{an}满足an+1=λan+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{an}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{an}的通项公式．（2）当λ=2时，=，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而an=（）?2n=（n+1）?2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{an}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，an+1=an+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，an+1=2an+2n（n∈N*），且a1