2023数学高考真题知识题型38圆锥曲线中的求值与证明问题(教师版)

专题38圆锥曲线中的求值与证明问题

【高考真题】

E.X2y2

1.(2022•北京)已知椭圆:l(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦星巨为

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线48,AC分别与x轴交于点M,

N,当|MN|=2时，求上的值.

1.解析⑴依题意可得b=l,2c=2上,又所以。=2.

所以椭圆方程为止+)2=1；

4'

⑵依题意过点以-2,1)的直线为y-l=k(x+2),设8册，凶)、C(x2(y2),不妨令一24%々(2,

y_[=k(x+2)

由,《2_，消去y整理得(i+4M)/+(16M+犬+16廿+16%=0,

T+v

2

所以△=(16M+8A「-4(l+4k2](16jt2+16A)>0,解得A:vO,

16M+8Z16M+16左

所以X1+为

1+4严1+4%2

y.—1八

直线4B的方程为y-l=^----X,令y=。,解得\一■一

再If

直线AC的方程为y-i=2」x,令y=0,解得XN=#~

X21-乃

所以|用叫=晶-%|=

IfIf1—[人(巧+2)+l]1-[攵(X]+2)+1]

(%+2)为-*(为+2)2|//

X2

2)+2)

*巧+仙+%(电+2乂占+2)|矶々+2)(均+2)'

所以E-引=|矶々+2)(』+2),

即J(X]+巧)2-4为巧=14[应百+2卜2+X])+4].

16M+8416炉+16左_|।16M+16kA16k2+8k

即+2........—+4

1+4M1+4d1+4M

可

即"软原2+i6k-2(16M+8A)+4(l+4M)].

1+4M

整理得8Q=4网，解得k=T.

92

2.（2022・新高考I）已知点42,1）在双曲线C:J-T^=1（”>1）上，直线/交C于P,Q两点，直线

a2a2-l-

AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率;

⑵若tanNP4Q=2及，求△PAQ的面积.

丫2241

2.解析⑴因为点A（2,1）在双曲线c：J-T—=1（。>1）上，所以=1,解得『=2,

a2cr-\a2a2-I

即双曲线C：+-y2=i,易知直线/的斜率存在，设/:y=Ax+"?,尸（和》）,（?（x2,y2）,

y=kx+m

联立可得，（1-2A:2）X2-4tnkx-2^-2=0,

------y2=1、'

2

2

4mk2m+2（2）（2）22

所以，X|+x9，再巧=z,A=16/MV+427M+22^-1>0=>/M-1+2A:>0.

22k22k1

y2-i1.vi-1

所以由+^BP=0可得,=0,即（X]—2）（生+"2—1）+（々-2）（点]+加-1）=0,

—2Xy—2

即lkxx+（加一1-2。（司+x）-4（/?7-l）=0,所以+（团一1一2人）（一4mk

{22-4（/n-l）=0,

2k—1\2人27

化简得，8廿+4*-4+4m（k+l）=0,即（a+l）（2k-l+，〃）=0,所以左=T或加=1-2人,

当加=1一2«时，直线/:丫=云+加="*一2）+1过点A（2,1）,与题意不符，舍去，故k=-l.

（2）不妨设直线以月5的倾斜角为a,因为以P+降「=0,所以£+4=兀,

因为tan/PAQ=2夜，所以tan（/7-a）=2及，即tan2a=-2上,

>/2tan2tz-tancr—5/2=0.解得lana=&,

于是，直线P4:y=V^（x-2）+l,直线P8:y=-&（x-2）+l,

y=>/2（jc-2）+l

联立"二,可得，|x2+2（l-2>/2）x+10-4x/2=0,

因为方程有一个根为2,所以4=竺二逑，力=生生Q,

F33

45

同理可得，XQ=二+严,y0=-^-.所以PQ:x+y-g=0,四空，

点A到直线P。的距离，2+1-32点，

故APAQ的面积为13、逑=竺也.

2339

22

3.（2022•新高考II）已知双曲线C:j-t=l（a＞（）,b＞0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为y=土布x.

a2b2

（1）求C的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4,8两点，点。（巧，丫2）在（^上，且

百＞电＞0,凹＞0.过P且斜率为-右的直线与过。且斜率为6的直线交于点M.从下面①②③中选

取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在AB上；②PQ〃4B；③|M4|=|历例.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

3.解析⑴右焦点为尸（2,0）,.•.c=2,•.•渐近线方程为丫=±怎，二2=白，.•"=也”，

a

c2=a2+h2=4a2=4,a=\,:.b=M.

2

；.C的方程为：A-2---=1；

3

（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线48的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x

轴上，即为焦点F此时由对称性可知尸、。关于x轴对称，与从而百=巧，已知不符；

总之，直线A8的斜率存在且不为零.

设直线A8的斜率为％,直线A8方程为），=女（》-2）,

则条件①M在AB上，等价于％=%（瓯-2）o侬）=M（闻-2）；

两渐近线的方程合并为3*2-丁=0,

联立消去y并化简整理得：（《2一3卜2-4Mx+4&2=0.

设人（占~3），8（药，丫4）,线段中点为义（无,为）,则打=超乎」学，，加=&（加一2）=告，

2k~—3k—3

设M（X。，%）,则条件③等价于（闻一巧）2+（%-刈2=（同一々f+bo-yj，

移项并利用平方差公式整理得：（》3-X4）［2闻-（工3+X4）］+（必-丫4）［2%-（必+丫4）］=。，

［2闻-（看+々）］++"［2%-（%+&）］=0,即M-加+M%-yN）=0,即与+k）b=；

为一工4k-3

由题意知直线PM的斜率为-G,直线QM的斜率为占，

，由凹-%=-石（为-苫0）,丫2-%=6卜2-厢），二》-丫2=-布（为+电-2心），

所以直线尸。的斜率，〃=之工=-8E+X2-2X0）

直线PM:了=一石（工一闻）+%,即丁=为十百人0-6x，

代入双曲线的方程3--/-3=0,即（氐+y）（瓜-y）=3中，得：（%+屈„）［2疯v-®+国）］=3,

解得P的横坐标：西=-Jr---+%+"玉）］,

~2―7-2+%|，/+苫2-2工0

竟-3^)*MT

...条件②尸Q//A8等价于，〃=&=kyn=3%,

综上所述：条件①M在48上，等价于故0=/（的-2）；条件②PQ/MB等价于5=3与；

条件③|4闸=忸刈等价于与+跳=芈・；

k一3

选①②推③：

由①②解得：Afl=-^--,M+Ay（）=4xo=-^—•♦③成立；

k2-3jt2-3

选①③推②：

由①③解得：XQ=—,ky=—,；♦hb=3与，.•.②成立；

M-30严-3

选②③推①：

【方法总结】

证明问题常用方法

圆锥曲线中的证明问题主要有两个方面：（1）位置关系方面的（如证明相切、垂直、过定点等）；（2）数量

关系方面的（如存在定值、恒成立等）.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明，但有

时也会用反证法.

【题型突破】

1.（2019・全国I）已知抛物线C：V=3x的焦点为尸，斜率为2的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点

为P.

(1)若|AE+|BF]=4,求/的方程;

(2)若祚=3而，求|A8|.

1.解析设直线/：y=^x+t9A(xi,yi),8(知”).

⑴由题设得雄，0),故|"1+|M=XI+X2+/又|Afl+|8/q=4,所以Xi+X2=|.

y=^x+t,..4f—1

由f2可得9/+12(/—l)x+4产=0,则xi+x2=——；-.

y=3x

4L15737

从而―一=/，解得，=一左所以/的方程为丁=尹一

⑵由#=3闻可得yi=-3y2.由卜―/十八可得J_2y+2r=0,

[)2=3X

所以yi+y2=2,从而一3»+冲=2,故》=—1,9=3.

代入C的方程得为=3,及=；,即A(3,3),-1).故网=耳叵.

3

2.已知抛物线C：V=3x的焦点为F,斜率为2的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若以用+田目=4,求/的方程;

(2)若力=3而,求质剧.

2.解析设直线/：y=|x+f,A(x),yi),8(小”).

⑴由题设得尼，0),故|"]+|8F|=XI+X2+|.又IAF1+I即=4,所以R+X2=/

'=3x+(

由」"‘可得9f+l2(f-l)x+4尸=0,其中/=144(1-2。>0,即f<1,

/=3%

则X|+X2=一l~\1).从而」，D=l，得尸一索满足/>0).

37

所以直线/的方程为j=p-g.

(2)由#=3方可得％=—3)，2.①

y==(+/,

由.2可得>2—2y+2f=0,所以6+y2=2.②

y=3x

由①②联立，得》=3,且竺=一1.代入C的方程得为=3,X23

2!2

故|AB|=A/(XI-x2)+(yi->2)=3^-

?2

3.已知椭圆C：,+9=1的左、右焦点分别为外，Fi,过点尸2的直线/交椭圆C于A,B两点.

(1)若△Q4B的面积为誓，求直线/的方程；

(2)若病=2易，求|A8|.

3.解析(1)当直线/斜率为0时，不满足题意.

当直线/斜率不为0时，设Ag,»),8(X2,m)，设直线/的方程为x=/ny+l,

代入椭圆。的方程消去x,得(5,772+6川2+10〃?)-25=0,/＞0=＞加£R,

由根与系数的关系得9+”=京节，①，品，②

则2川力一”|=124(》+”)2_4“)2=[4x4^^=^^

49

整理得50加1一川―49=0,解得团2=1或/=—硒(舍去)，

故直线/的方程为x±y-1=0.

(2)若存2=2层1,则(1—工2,—y2)=2(xi—1,yi),所以”=-2yi.

2

代入上式①②得y产牖，2)仁品，消去小得2(盘)二岛，解得『地，

所以|48|=吊1+加|)，1一四=小仅1_)引=3小仅11=3小X5胃26=气国

/丫24兀

4.己知椭圆C，+$=1伍泌＞1)的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为蓝，过椭圆C

的右焦点作斜率为曲后0)的直线/与椭圆C相交于4,B两点，线段AB的中点为P.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P且垂直于A8的直线与x轴交于点。传，0),求我的值.

4.解析(1)由题中条件，可得过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为芈.

2c=2,

—力—2|—^2

,

{N+V

又因为力＞1,解得4=2,。=小，C=lf

所以椭圆C的标准方程为3+1=1.

(2)由题意，过椭圆C的右焦点的直线/的方程为y=Z(x—l)(原0),将其代入5+^=1,

得(3+4乃)f-8Mx+4产-12=0.

j2

设4(xi，yi),B(X2,”)，显然/＞0,则XI+X2=".4户为也=不无？,

所以)1+y2=&(xi+x2)-24=享育声

因为P为线段48的中点，所以点P的坐标为1，在泰)

又因为直线P。的斜率为一%所以直线P。的方程为)'一三告5=一如-3：；标)•

令y=0,得x=3上p，所以点D的坐标为。1则J衰=:,解得-±1.

5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，+:=1(心心0)过点P(2,1),且离心率6=坐.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/的斜率为;，直线/与椭圆C交于4,8两点.若依8|=小，求直线/的方程.

02〃2—/3

5.解析(D♦•/=”=~~=4f,,”2=4/?2.

又椭圆C:%+*=l(a>b>0)过点P(2,1),1,...。2=8,b2=2.

故所求椭圆方程为

OZ

(2)设/的方程为)，=%+"?,点A(xi,_yi),B(xi,V2),

整理，得/+2〃a+2后:-4=0.

."=4廿一8评+16>0,解得依|V2.

=

^X]+x2~~2mfX|X2=262-4.

22

则1+|Xyl(x\+x2)—4X\X2=^/5(4—w)=^5,解得加=士\「.

所求直线/的方程为y=5±4.

6.(2017・全国I)设A,8为曲线C：y=匕两点，A与8的横坐标之和为4.

4

(1)求直线4B的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且求直线AB的方程.

27

6.解析(1)设4(X|,J1),8(X2,竺)，则X#X2,>1=.,Xi+X2=4,

于是直线A8的斜率仁忘=中

⑵由y=，，得〉，=去设M(X3,券)，由题设知5=1,解得*3=2,于是M(2,l).

设直线A8的方程为y=x+"7,故线段AB的中点为M2,2+"?),|MN|=|,”+1].

将y=x+，"代入y="得x2—4x—4，"=0.当/=16(〃?+1)>0,即”?>一1时，xt,2—2±2y[m+\.

从而|AB|=啦|内一切=4y2(,〃+1).

由题设知|A8|=2|MN],即4,2(切+1)=2(/«+1),解得,”=7.

所以直线48的方程为y=x+7.

7.(2021•天津)已知椭圆u+/=l(a>b>0)的右焦点为凡上顶点为8,离心率为沫，且|8月=小.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与)，轴的正半轴交于M过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若

MP//BF,求直线/的方程.

7.解析(1)易知点尸(c,0),8(0,b),故[BR=后两=a=木.

因为椭圆的离心率9=§=邛^,故c=2,b=y/a2—c2=l,

因此，椭圆的方程为5+V=L

J

2

(2)设点加(M),兑)为椭圆，+>2=1上一点，先证明直线MN的方程为等+yoy=l.

-+yoy=1,

联立V^+/=1,消去y,泗并整理得■r2-2wr+需=0,/=4需-4x8=0,

IJ.+M-=i,

因此，椭圆，+y2=1在点M(M),泗)处的切线方程为管'+)梦=1.

在直线MN的方程中，令x=0,可得y=5，由题意可知yo>O,即点A(0,J.

直线8尸的斜率为％/=—§=一：,所以直线PN的方程为y=2x+《.

在直线PN的方程中，令y=0,可得》=一土，即点1一六，0)

因为则如户=依「，即一_1整理可得(xo+SyoynO,所以xo=-5y().

+:Wo+12

2yo

又因为,+4=1,所以6济=1.因为泗＞0,故yo=*，x()=—*杏，

所以直线/的方程为一*x+乎y=l,即x—y+港=0.

8.(2020・全国IH)已知椭圆C：卷+乐=1(0＜机＜5)的离心率为呼，A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程；

(2)若点尸在C上，点。在直线x=6上，且|BP|=|BQ|,BPLBQ,求△AP。的面积.

77

8.解析5^+^2=1(0＜/77＜5),・・.a=5,b=m,

根据离心率e=5=d_呼=71一(即解得m=1或加=一卷(舍去)，

・"的方程为卦肃=1，即各嗡=L

(2)过点尸作x轴的垂线，垂足为M,设直线x=6与x轴的交点为N,根据题意画出图象，如图.

■：\BP\=\BQ\,BPLBQ,NPMB=NBNQ=90。,：.ZPBM+ZQBN=90°,NBQN+/QBN=90。,

：.NPBM=ZBQN.：.APMBq/\BNQ.

f16\'

:椭圆方程为三+节-=1.；.B(5,0),••.|PM=|BN|=6-5=1.

v***16

设P点坐标为的，yp),不妨设w>0,可得尸点纵坐标为冲=1,将其代入芸+炭-=1,

可得芳+H=1,解得Xp=3或x户=-3,点坐标为(3,1)或(一3,1).

①当户点坐标为(3,1)时，|M8|=5—3=2,

■:丛PMBmABNQ,：.\MB\=\NQ\=2,；.Q点坐标为(6,2),

画出图象，如图.

由A(—5,0),。(6,2),可求得直线A0的方程为可-11>+10=0,

,,,Hr,.|2x3—llxl+10||5|y[5

点P到直线AQ的距离为d=-^2，+112—=<茂=5,

IAQI=^(6+5)2+(2—0)2=5A/5，二△APQ面积为:x5小x坐■='.

②当P点坐标为(一3,I)时，|MB|=5+3=8,

•:/XPMB必BNQ，，|M2|=|NQ|=8,，Q点坐标为(6,8).画出图象，如图.

由4—5,0),0(6,8),可求得直线A。的方程为8x—lly+40=0,

占。刎古冬，c的花直队18x(-3)-11x1+401一_5_一瘟

点尸到直线AQ的距离为d-丁+112一向—37,

\AQ\=叱6+5)2+(8—0)2川诙,/.△AP。面积为|炉x,v由曙=|.

综上所述，AAPQ的面积为义

9.(2020•北京)己知椭圆C：，+:=1过点A(—2,-1),且。=24

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点8(—4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线MA,岫分别交直线x=-4于点尸，Q,求震的

值.

4141、

9.解析(1)由椭圆过点A(—2,-1)»得了+/=1.又a=2b,二加2+,—1,解得6=2,

72

.•.。2=4/?2=8,.,.椭圆C的方程为卷+'=1.

OZ

(2)当直线/的斜率不存在时，显然不合题意.设直线/：y=k(x+4),

'y=k(x+4),

由宝+止_]得aF+Df+szdx+MQ-sR.由/>0,得一gy；.

,一32储64——8

设M(X1,y。，N(X2,丫2),则nl由+》2=不干，X|X2=4,+i•

Vl+1一2()，|-)-1)

又•..直线AM：y+l=J^(x+2),令x=-4,得冲=1.

X\~v1X]+2

奴u八心x汨一(2k+l)(xi+4)—(2左+1)(及+4)

将％=k(xi+4)代入，付加=---------------同理)'。=-----6工-----

(x\+4及+4、2笛戈2+6(戈1+12)+16

・"+因=-3+1)(病+/|=一(24+1〉：

(XI+2)(X2+2)

2(64^~8),6x(-32^)

4—+1+4P+1

_128，-16—192M+64F+16

=一(22+>

(X|+2)(X2+2)一=~(2k+1)•—(4—+I)(XI+2)(X2+2)—=°

：.\PB\=\BQ\t

10.已知椭圆C：，+卓=13>匕>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为小的直线与椭圆C相交

于A,8两点，且A8J_OB,。为坐标原点.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)若6=1,过点尸作与直线AB平行的直线/,/与椭圆C相交于P,。两点，

①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；

②点M满足2而=5>,直线M。与椭圆的另一个交点为N,求㈱的值.

10.解析⑴由已知得|O4|=a,\OB\=^,ZBAF=^,则一余冬j,

2Q22

代入椭圆C的方程得意1+三次=1,，方=5,a=y[5h,.,.c=yja2—h2=2b,

故椭圆的离心率e=》=¥.

(2)①由(1)可得力=1,a=邓,。=2,，椭圆C的方程为5+.廿=1.

依题意，得直线/为x=45y+2,设尸(M,yi),。(k2,、2).

[x=y[3y+2.厂,S1

联立<>)t得8)广+4小y—'1=0,/>0怛成立.则yi+y2=—：,)叮2=一五.

Ur+5V=51°

，1/2=(小力+2)(小力+2)=3yly2+2小8+了2)+4=彦.因此kop-koQ=\^=

②设点M%3,丫3),设所以丽=』旗(。4<1).

又因为2成=办，所以点Afg,3，则满足而/=(?—X3,5―a)N力=。2—*3,”一券).

X]—2ZX2—2(1一4)总，

y\~2b2=2(1—z)j3,

,vi~2ZV22益2

所以％3=,且y3=

2(IT)2(IT)

,:P,。，N在椭圆上，,好+5货=5,强+5货=5,京+5y*=5,

32

U(A-I-2AX2),(yi~2/lv2)

从而4(1一4)2+5,4(|-1)2-5,

x?+5)7+4A2(X?+5月)-4A(X]X2+5yLy2)=20(1—2)2.

由①可知?及+5州”=0,，1+4乃=4(1—，)2,.•.a=|,所以号言=看

r2v2、巧

11.设椭圆@京+$=13泌>0)的离心率为竽人,&是椭圆的两个焦点，加是椭圆上任意一点,且4叱但

的周长是4+2小.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设椭圆G的左、右顶点分别为A,B,过椭圆G上的一点。作x轴的垂线交x轴于点E,若点C

满足赢_L正，AD//OC,连接AC交OE于点P,求证：\PD\=\PE\.

11.解析(1)由6=坐，知;=坐，所以。=坐。,

因为AMQB的周长是4+2小，所以2a+2c=4+2小，所以a=2,c=小，所以序="-/=],

所以椭圆G的方程为:

(2)由(1)得&-2,0),8(2,0),

设£>(沏，yo),所以E(xo,0),因为屈_L觉，所以可设C(2,力),

所以无力=(沏+2,州)，OC=(2,yi),

由无力〃求可得：(xo+2)yi=2yo,即yi=

M)十幺

所以直线AC的方程为士=0整理得y=吐(x+2).

2y()_2—(—2)•2(xo十2)

xo+2

又点P在DE上,将x=xo代入直线AC的方程可得：y=f,即点尸的坐标为Qo,

所以P为。£的中点，\PD\=\PE\.

12.已知抛物线C：产=22彳经过点P(l,2),其焦点为F.M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直

线/与x轴，)，轴分别交于A,B.

(1)求抛物线C的方程以及焦点坐标；

(2)若△8MF与AABF的面积相等，求证：直线/是抛物线C的切线.

12.解析(1)因为抛物线C：9=2*经过点P(l,2),所以22=2p,p=2.

所以抛物线C的方程为产=4x,焦点F点坐标为(1,0).

(2)证因为△BMF与AABF的面积相等，所以所以B为AM的中点.

设M(xo,yo)(x()yo/0),则A(—x(),0).所以直线/的方程为)=器(\+即)，

与抛物线)?=4x联立得y2—丹;)，+4沏=0,

/=等一16的)=婴一16xo=O,所以直线/是抛物线C的切线.

13.如图，已知抛物线「V=8x的焦点为凡准线为/,0为坐标原点，A为抛物线「上

一点，直线A。与/交于点C,直线AF与抛物线「的另一个交点为8.

(1)证明：直线5C〃x轴；

(2)设准线/与x轴的交点为E,连接BE,且证明：||Af]—|8仪|=8.

13.解析⑴由丁=81知焦点F(2,0),准线/为x=-2.设》)，8强，”)，

Q16

则直线AO为丫=不¥,令工=-2可得点C的纵坐标为yc=——.

y\yi

设直线A3为x="?y+2,代入)?=8无，得9一8"iy—16=0,所以yi＞2=—16.

从而以=一乎，从而即直线3C〃x轴.

川

(2)设4(即，yi),仇念，")，由BELBF,则IBEp+i跳干得3+2)2+(刈-2)2+2免=16.

又贯=8x2,则强+8&-4=0,由必＞0,则M=-4+24.

由于A8与x轴不垂直，设直线48的方程为y=Z(x—2).

fy=k(x—2)9

贝(1由，整理得Ff—(43+8).x+4F=0,・・・XM2=4,则川=4+24.

1广=8乂

故||4同一出川|=比一及|=8.

14.已知椭圆C：，+1=1("＞及0)的离心率为乎，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为

2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知点A(l,0),8(4,0),过点A的任意一条直线/与楠圆C交于M,N两点，求证：|MB|-|NA|=

14.解析(1)因为a+*=1,令x=c,得＞2=*,

2

因为过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2,所以5b=1,

根据离心率为坐，得:=乎，结合。2=〃2+/,解得”=2,b=y[2,

所以楠圆的方程为[+3=1.

(2)证明要证明|M卦|NA|=|MAHNB|,只需证明耨=牌^

过M,N分别作x轴的垂线段MVf,NN',

易得犒=牒¥所以只需证明揩=儒?，所以只需证明/M8A=NN3A,只需证明公仍+AM=O.

当直线/的斜率不存在时，易得|M卦\NA\^\MA\-\NB\.

当直线/的斜率存在时，不妨设其为左,则直线/的方程为)，=A(x—1)，

4+2一'消去y,得Q3+De—dMx+ZF—dnO,

联立，

j=k(x—1)

4/23—4

设”(Xi,yi),Ng,”)，则xi+x2=o0+],x,X2=2ZrT7,

-

,..k(xi-1).,,A3k(X21)

直线MB的斜率心仍=一^-,直线NB的斜率心卡一^r

k(xi-1)k(X2—1)k(xi-1)(也一4)+攵(&一1)(X]-4)

片_4-_

kMB+kNB=X24(xi—4)(及―4)

(2标-443.、

(2•诏L•而77+)

A12X]X2-5(X|+l2)+8]

(xi—4)(JQ—4)(XI—4)(JQ—4)

综上所述，|M用.|帅|=|肪4|.卬用.

15.在平面直角坐标系X。)，中，圆足。—1)2+)2=1外的点尸在y轴的右侧运动，且尸到圆尸上的点的

最小距离等于它到了轴的距离，记尸的轨迹为E.

(1)求E的方程;

(2)过点尸的直线交E于A,8两点，以AB为直径的圆。与平行于y轴的直线相切于点M,线段0M

交E于点N,证明：△AM8的面积是△AMN的面积的四倍.

15.解析法一(1)设P(x,y),依题意x>0,F(l,0).

因为P在圆尸外，所以尸到圆尸上的点的最小距离为|PQ—1,

依题意得|PF|-1=X,即7（X—I）2+尸一］=%,

化简得E的方程为丁二标。〉。）.

（2）设Mm，泗），&xi,9）,8（X2,yi）,

则。（"丑，吗超）•当直线A3的斜率不存在时，不合题意，

依题意可设直线A8的方程为了=左。一1）（际0）,

y=kCx—1),

由1得Mx2—(2d+4)x+3=0.

y=4x

因为/=（29+4）2—4小=16M+16>0,

,2必+4

所以即+必=~p~,

则有y+及=『故。匕一，力

4F+4

由抛物线的定义知|A8|=M+X2+2=4.

2公+214DI3+22

设M（XM,加），依题意得加=层所以|MQ|=—'p——工跖又因为|Af£）|=o，所以—p——血=/+2,

解得XM=-1,所以从一1,I),

因为N(XO,§在抛物线上，所以xo=(，即*),

”,1F+1

所以5”“8=,仞川)'|一”|=下一回一刈，

111M+1,,

S"MN=^M/V||yLyQl=^M7V|x亦［一”|=婕I)」一)吃1,故S^AMB=4S^AMN.

法二（1）解设P（x,j）,依题意x>0.

因为P在圆尸外，所以P到圆户上的点的最小距离为IPQ—1.

依题意得点P到圆尸(1,0)的距离伊川等于P到直线X=-1的距离,

所以P在以F(l,0)为焦点，x=-I为准线的抛物线上.

所以E的方程为)2=4x(x>0).

(2)设4(xi,力)，8(X2,竺)，

x=ty'+1,

因为直线48过F(l,0),依题意可设其方程为x="+l(用))，由得y2—4fy—4=0,

.V=4x,

因为/=16产+16>0,所以“+丫2=书,

则有为+x2=(r〉l+1)+((X2+1)=4产+2.

因为。是A8的中点，所以。(2-+1,2t).

由抛物线的定义得|AB|=(Xi+l)+(X2+l)=4产+4,

设圆力与/：x=〃?相切于M,

因为。M与抛物线相交于M所以,”<0,且。

所以即解得布=-1,

设Mxo，),()).则yo=2/,且(2f)2=4xo,所以x()=»,

,,,2产+l+(-1).“，,,,,.〜、

因为2=F,所以N为DM的中点，所以SAAM°=2SAAMN,

又因为£>为AB的中点，SAAMB=2SAAMO,所以SAAM8=4SAAMM

法三(1)同法一.

(2)设A(xi,%),8(x2,竺)，连接MENF.

因为直线AB过F(l,0),依题意可设其方程x=(y+l(厚0),

x=fy+l,

由2'得9_43_4=0,

y=4x,

因为/=16产+16>0,所以％+)2=4/,所以y“=y»=2t.

因为|MZ)|=7L|A8|=即+及+2,

又因为-2——XM,所以---2---=-2~~XM,解得刘”=一1，所以M(-l,It),

所以左=一1,故ZA/FD-900.

又因为WM=|NQ,所以WQ=WC|,从而|MN=WO.所以SAAMM=；SAAMO,

又SAA,W«=2^^><WB,所以S&AMB=4SAAMN.

16.设椭圆C：，+^=1的右焦点为F,过尸的直线/与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线4M的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

16.解析(1)由已知得F(l,0),/的方程为x=l.

则点A的坐标为(1,乎)或(1,一叫.

又M(2,0),所以直线AM的方程为y=—乎x+也或丫=坐》一小，

即x+也y—2=0或x—y[2y—2=0.

(2)证明：当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.

当/与天轴垂直时，OM为A3的垂直平分线，所以NOK4=NOM8.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=Z(x—1)(原0),A(x