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第五章定积分第二节微积分基本公式从定积分的定义可以看出，直接用定义计算定积分的值,尽管被积函数很简单,也是一件十分困难的事,有些定积分几乎不可能用定义来计算,所以,需要找到简便而有效的计算方法。17世纪60～70年代,牛顿与莱布尼茨他们各自独立地将定积分计算问题与原函数联系起来,从而使定积分的计算变得简捷、方便,也推动了数学的发展,这就是牛顿—莱布尼茨公式或称微积分基本公式。xybaxOy=f(x)Φ(x)Φ(x)

一、变上限积分

将其称为变上限积分或积分上限函数。

证明：

由积分中值定理得

变限积分求导公式

例1

例2

例3

例4

洛必达法则例5解

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.引例：在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系

这里s(t)是v(t)的原函数二、牛顿–莱布尼兹公式去掉问题的实际意义，上式表明，连续函数在闭区间上的定积分等于它的一个原函数在积分上限的函数值与积分下限函数值的差（即被积函数的原函数的增量）牛顿–莱布尼兹公式

定理2

称此公式为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。这个公式揭示了定积分与原函数之间的内在关系，同时为我们计算定积分提供了一个简便而有效的方法。

证:

记作

公式的核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则定积分的值即为原函数在积分区间上的增量。

例6

求下列定积分.

解

说明：若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性将定积分拆开。

解:

例8

下列做法是否

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