2021-2022学年湖南省长沙市第八中学高一数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市第八中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29参考答案：C【考点】8G：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2?a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2?a3=a1q?a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．2.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若公差，且，则的值为（

）A.70 B.75 C.80 D.85参考答案：D【分析】先设，，根据题中条件列出方程组，求解，即可得出结果.【详解】设，，则，解得，.故选D【点睛】本题主要考查由等差数列的性质计算偶数项的和，熟记等差数列的前项和的性质即可，属于常考题型.3.已知函数f(x)、g(x)都是R上的奇函数，不等式f(x)>0、g(x)>0的解集分别为(m，n)、，则不等式f(x)·g(x)>0的解集是()参考答案：D本题主要考查函数的性质及不等式的解集的知识．由已知得函数f(x)·g(x)为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，结合选项知只有D符合，故选D.4.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（

）

（A）或-1

（B）2或（C）2或1

（D）2或-1参考答案：D5.抽查10件产品，设事件A为至少有2件次品，则A的对立事件为A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品参考答案：B∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有两件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有一件次品．故选B6.设，则使函数为奇函数且定义域为R的所有的值为（

）A.1,3

B.－1,1

C.－1,3

D.－1,1,3参考答案：A因为定义域为R,所以，而且都是奇函数，故选A．

7.设集合M=，则（

）

A．M=N

B．

C．

D．∩参考答案：B8.计算（

）

参考答案：C略9.函数的定义域是A.[2,3)

B.[2,+∞)

C.(－∞,3)

D.(2,3)参考答案：A10.在如图所示空间直角坐标系内，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则棱BB1中点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是

．参考答案：3或7【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．【解答】解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7【点评】考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．12.打一口深21米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用

小时。参考答案：413.设定义在R上的函数＝若关于x的方程＋＋c＝0有3个不同的实数解，，，则＋＋＝

．参考答案：3易知的图象关于直线x＝1对称．＋＋c＝0必有一根使＝1，不妨设为，而，关于直线x＝1对称，于是＋＋＝3．14.对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；③．当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是

．参考答案：①③【考点】指数函数的图像与性质．【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=ex，利用指数函数的性质，知f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x1x2）≠f（x1）+f（x2）；由f（x）=ex是增函数，知③正确．【解答】解：∵f（x）=ex时，f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），∴f（x1+x2）=ex1+x2=ex1?ex2=f（x1）f（x2），故①正确；f（x1x2）=ex1x2=≠ex1+ex2=f（x1）+f（x2），故②不正确；∵f（x）=ex是增函数，∴③，故③正确．故答案为：①③【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数的性质的灵活运用．15.不等式的解集为_______．参考答案：【分析】原不等式等价于，解之即可.【详解】原不等式等价于，解得或.所以不等式的解集为【点睛】本题考查分式不等式的解法，属基础题.16.已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，令，则数列bn的前n项和Tn=．参考答案：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】根据所给的等差数列的三个连续奇数项，得到数列的公差，写出数列的通项，构造新数列，整理出可以应用裂项求和的形式，得到结果．【解答】解：∵等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，∴a3+a5+a7=33，∴a5=11∴d==2∴an=2n+1，∴∴4==∴故答案为：17.若m＞0，且关于x的方程在区间[0,1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是

．参考答案：(0,1]∪[3,＋∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设关于x的函数y=2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足的a的值，并对此时的a值求y的最大值．参考答案：19.设全集为R，集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求A∩B，（?RB）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值构成的集合．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合交、并、补集运算进行求解即可．【解答】解：（1）因为集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．所以A∩B={x|3≤x＜6}又（?RB）={x|x≤2或x≥9}，∴?RB）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}，（2）因为C?B，所以，解得：2≤a≤8，故实数a的取值构成的集合是：{a|2≤a≤8}．【点评】本题主要考查集合的交、并、补集的运算，属于基础题．20.已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解不等式log(x﹣1)＞log(a﹣x)；（3）求函数g（x）=|logax﹣1|的单调区间．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数函数的性质求出a的值即可；（2）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（3）求出g（x）的分段函数的形式，从而求出函数的单调区即可．【解答】解：（1）∵loga3＞loga2，∴a＞1，又∵y=logax在[a，2a]上为增函数，∴loga2a﹣logaa=1，即loga2=1，∴a=2．（2）依题意可知解得，∴所求不等式的解集为．（3）∵g（x）=|log2x﹣1|，∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0．则∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，g（x）的减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．21.若二次函数满足，且。（1）求的解析式；（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（1）有题可知：，解得：

由。可知：

化简得：k*s5u

所以：。∴

（2）不等式可化简为

即：

设，则其对称轴为，∴在[-1,1]上是单调递减函数。

因此只需的最小值大于零即可，∴

代入得：

解得：

所以实数的取值范围是：。22.已知定义在R上的函数f（x）=（a∈R）是奇函数，函数g（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．（1）求a的值；（2）若g（x）=在（﹣1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）根据单调性的定义判断m的范围即可；（3）根据根域系数的关系，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴得a=0；（2）∵在（﹣1，+∞）上递减，∴任给实数x1，x2，当﹣1＜x1＜x2时，g（x1）＞g（x2），∴，∴m＜0；（3）由（1）得，令h（x）=0，即，化简得x（mx2+x+m+1）=0，∴x=0或mx2+x+m+1=0，若0是方程mx2+