2021-2022学年广东省东莞市第六高级中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年广东省东莞市第六高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在上的函数，且则的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：设g（x）=f（x）-x，因为f（1）=1，f'（x）＞1，所以g（1）=f（1）-1=0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，+∞）．故选C．考点：1．函数的单调性与导数的关系；2．其他不等式的解法．2.设函数

则的单调减区间为（

）

A

B

C.

D.

参考答案：A3.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．解答：解：∵角α的终边过点P（﹣，﹣1），∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，故选：D．点评：本题考查求三角函数值，涉及三角函数的定义和特殊角的三角函数，属基础题．4.某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：A【分析】根据几何体的三视图知该几何体是四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，则该几何体的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××（1+2）×2×2=2．故选：A．5.已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答： 解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．6.已知向量，满足，向量，其中，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A若，则.∵，∴.

7.已知是等差数列,若,则数列的公差等于

（

）.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥8 C．a＜5或a≥8 D．5≤a＜8参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜8．故选D．【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．9.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（

）A．-2 B．2 C．0 D．

参考答案：略10.若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=（） A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值． 【解答】解：∵tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα ===， 故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题：①；②；③；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是

________．参考答案：①②略12.方程在区间上的所有解的和等于

。

参考答案：

13.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________．参考答案：由得，即，解得或．即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是．不妨设，则由题意可知，所以，由得，所以，因为，所以，即存在最大值，最大值为1．14.已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为

．参考答案：115.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率为，则

；参考答案：816.双曲线﹣y2=1的焦距是

，渐近线方程是

．参考答案：2；y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．17.=____________________.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知等差数列的各项均为正数，，其前项和为数列为等比数列，且，．求：（Ⅰ）数列与的通项公式； （Ⅱ）．参考答案：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，

依题意有………3分

解得或（舍去）.

……………5分故.

………7分（Ⅱ）

……………9分………………12分

……14分19..函数（其中）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求正整数的最大值.参考答案：（1）函数定义域是，，（i）当时，，当时，函数的单调递减区间是；（ⅱ）当，的两根分别是，，当时.函数的单调递减.当时，函数的单调速递增，当时，函数的单调递减；综上所述，（i)当时的单调递减区间是，（ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和（2）当时，，即，设，∴，∴当时，，设，则，∴在递增，又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，∴使得，即，当时，；当时，；∴函数在单调递减，在单调递增，∴，∵在递减，∵，∴，∴当时，不等式对任意恒成立，∴正整数的最大值是3.20.设数列的前项和为，已知，，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，证明：．参考答案：解：（Ⅰ）∵，当时∴-----------------------------------------------2分∴即又∴∴∴即．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）∵∴．．．．．8分∴∴．．．．．．．．．．．12分略21.（本小题满分12分）为了促进学生的全面发展，我省某中学重视学生社团文化建设，现用分层抽样的方法从“海济社”，“话剧社”，“动漫社”，“彩虹文艺社”四个社团中抽取若干人组成社团管理小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）求a，b

，c

的值；

（2）若从“海济社”，“彩虹文艺社”社团已抽取的人中任意抽取2人担任管理小组组长，求这2人来自不同社团的概率.参考答案：（Ⅰ）由已知得：，解得：，，．……4分

（Ⅱ）设“海济社”已抽取的4人分别为：，，，；“彩虹文艺社”已抽取的2人分别为：，．从中任选2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15个，以上基本事件都是等可能事件，…..……………8分

其中2人来自不同社团的基本事件为：，，，，，，，共8个，…………..…………..10分所以2人来自不同社团的概率为.……12分22.已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．（1）若数列{bn}的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．参考答案：（1）2；（2）不存在；（3）详见解析.【分析】（1）先求an＝2n，利用等比数列得的不等式求解即可；（2）反证法推得矛盾即可；（3）由b1＝ar，得，进而得q是整数，且q≥2，再证明对于数列中任一项bi（i＞3）一定是数列{an}的项即可【详解】（1）由题意知，an＝2n，bn＝2?qn﹣1，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010?b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010?q2﹣4q+3＜0．解得1＜q＜3，又q为整数，所以q＝2；（2）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk＝bm+bm+1+bm+2++bm+p﹣1，因为bn＝2n，∴bk＞bm+p﹣1?2k＞2m+p﹣1?k＞m+p﹣1?k≥m+p（*）又＝2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．所以，这样的项bk不存在；（3）由b1＝ar，得b2＝b1q＝arq＝as＝ar+（s﹣r）d，则又，从而，因为as≠ar?b1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，故．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项