2024-2025学年江苏省无锡市新城中学九年级（上）10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市新城中学九年级（上）10月月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.3x+2=8 B.3x2+6x=8 2.一元二次方程3x2−mx−3=0有一根是x=1，则另一根是A.x=1 B.x=−1 C.x=2 D.x=43.将一元二次方程3x2−1=5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是A.3,5,1 B.3,5,−1 C.3,−5,1 D.3,−5,−14.方程x2−3x+1=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根5.一元二次方程x2−6x−8=0，经过配方可变形为(

)A.(x−3)2=17 B.(x−3)2=16.在直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则P(3,4)与⊙O的位置关系为(

)A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O内 D.无法确定7.下列命题中正确的是(

)A.三点确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦

C.在同圆中，同弧所对的圆周角相等 D.相等的圆心角所对的弧相等8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC=40∘，则∠A的度数为(

)

A.105° B.110° C.115° D.120°9.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⌢的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(

)A.523 B.33 10.如图，线段AB=6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边▵ACD和等边▵BCE，⊙O外接于▵CDE，则⊙O半径的最小值为(

)

A.6 B.3 C.23二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.一元二次方程x2−x=0的解是

．12.一元二次方程2x2+4x−1=0的两根为x1、x2，则x13.三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为

．14.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为

．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC=28∘，则∠D=

°

16.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸(注：1尺=10寸)，则这块圆柱形木材的直径是

寸．

17.在半径为3cm的⊙O中，若弦AB=32，则弦AB所对的圆周角度数为

．18.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点(点C、D不与A、B重合)，在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E.若CD=5，AB=6，当EF取得最大值时，CE的长度为

．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.解下列方程：(1)2x(2)x(3)2(x−3)=3x(x−3)；(4)x2−2x−5=0(四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)

已知关于x的方程x2+2x+3m−4=0的一个根是2，求另一个根和m的值．21.(本小题8分)

已知关于x的方程(k+2)x(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若方程有两实数根分别为x1和x2，且1x22.(本小题8分)

(1)尺规作图，作出▵ABC的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)；(2)若AB=42，∠B=45∘，23.(本小题8分)如图，AB为⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．(1)求证：∠ABD=∠BCD；(2)若DE=13，AE=17，求⊙O的半径．24.(本小题8分)

2022年9月，新冠病毒再次席卷贵阳，戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．(1)若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为

盒，每盒口罩的利润为

元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？25.(本小题8分)阅读材料，各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2

(1)问题：方程xx2+x−2=0的解是：x1=0，x2=(2)拓展：用“转化”思想求方程2x+3(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上(AP>PD)，小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．26.(本小题8分)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为点Q，以AQ为边作Rt▵ABQ，使∠BAQ=90∘，AQ:AB=3:4，作▵ABQ的外接圆⊙O，点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E，在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF

(1)用关于x的代数式表示BQ=

，DF=

．(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．(3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，交直线l于点I，若圆心O到BN的距离为1，求AP的长．

参考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.B

11.x1=0，12.−2

13.12

14.(1+x)+x(1+x)=100．

15.62

16.26

17.45∘或13518.11219.【小题1】2xx2开方得：x=±2，即x1【小题2】x2(x−6)(x+1)=0，x−6=0或x+1=0，解得：x1【小题3】2(x−3)=3x(x−3)，2(x−3)−3x(x−3)=0，(x−3)(2−3x)=0，x−3=0或2−3x=0，解得：x1【小题4】x2x2配方得：x2(x−1)开方得：x−1=±解得：x1

20.解：把x=2代入方程得4+4+3m−4=0，解得m=−4方程化为x2设方程的另一根为x2则2+x解得x2即方程的另一个根为−4，m的值为−4

21.【小题1】证明：①当k+2≠0时，∵Δ=(k−1===(k+5)∴方程总有实数根；②当k+2=0时，k=−2，原方程化为−3x−3=0，方程的解为x=−1．∴无论k为何实数，方程总有实数根．【小题2】解：由题意得：x1+x∵1∴−即k−13解得k=10．

22.【小题1】尺规作图，如图1【小题2】如图所示，∵DH、OE分别垂直平分AB、BCAB=42∴BD=22又∵∠ABC=45∘∴BH=4，∠EHO=∴OE=EH=BH−BE=4−3=1

∴BO=∴▵ABC外接圆的半径长

23.【小题1】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BCD；【小题2】解：如图，E作EF⊥AD于点F，∴∠AFE=∠DFE=90∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45∴∠DAB=∠DBA=45∴AD=BD，∠FAE=∠FEA=45∴▵ADB是等腰直角三角形，∴AF=EF，在Rt▵AEF中，由勾股定理得：AF∴AF∴AF=EF=17在Rt▵DEF中，由勾股定理得：DF∴DF∴DF=7∴AD=AF+DF=17∴AD=DB=12在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD∴12∴AB=24，∴⊙O的半径为12．

24.【小题1】(20+2x)−2【小题2】解：由题意可得，−2x解得：x1=0，∵商家想尽快销售完该款口罩，∴x=10，即售价为：70−10=60(元)，答：每盒售价应定为60元．

25.【小题1】1−2【小题2】解：方程的两边平方，得2x+3=x即x2x−3x+1∴x−3=0或x+1=0，∴x1=3当x=−1时，所以−1不是原方程的解．所以方程2x+3=x的解是【小题3】因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90∘，设AP=xm，则PD=21−x因为BP+CP=27，BP=AP∴∴两边平方，得21−x整理，得48+7x=9两边平方并整理，得x解得x=15或6(不合题意，舍去此时AP<PD)经检验，x=15是方程的解．答：AP的长为15m．

26.【小题1】5x3x【小题2】解:如图，过点O作OM⊥AQ于点M，∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，∵AB⊥AQ，∴OM//AB，∵DE⊥DF，∴OD=MC，∵∠BAQ=90∴BQ为直径，∴OB=OQ，∴QM=AM=12∴OD=MC=32∵OE=12∴DE=2x+4，∵矩形DEGF的面积等于90，∴DE×DF=3x2x+4=90解得:x1=3,∴AP=3x=9；【小题3】解:过点B作BJ⊥EG于点J，过点O作OK⊥BN于点K，连接NQ，依题意OK=