2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题

2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第1页。中考重点题型：圆类综合题2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第1页。一、知识清单1、垂径定理及其推论(重要)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。*推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。（2）弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（4）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。（5）圆周角定理（重要）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2(：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；4、圆内接四边形2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第2页。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补（重要），外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边ABCD是内接四边形2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第2页。∴CBAD180BD180DAEC5、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）（记住理解即可，不会考证明题）6、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPB；PO平分BPA（用三角形全等证明）7、弧长和扇形面积（1）弧长公式半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：（2）扇形面积公式其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第3页。二、常考题型2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第3页。1、相切的证明（即证明垂直）证明相切常用两种方法：证明与已知的直角平行利用等量代换证明直角以上两种方法均必须重视由圆半径组成的三角形为等腰三角形，两底脚相等及直径所对圆周角为90°，这个隐含条件！例1、如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。解：（1）CD是⊙O的切线,。理由如下：连接OC，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°。∴∠B+∠Q=90°。∴∠BCO+∠DCQ=90°。∴∠DCO=∠QCB－(∠BCO+∠DCQ)=180°－90°=90°。∴OC⊥DC。∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。例2、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．证明：（1）连接OC，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB。∵CD⊥AB，∴AF∥CD。2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第4页。∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形。2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第4页。∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴。设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2。在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴，解得：x=4。∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。在Rt△AED中，，∴AD=CD。∴平行四边形FADC是菱形。（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC。在△AFO和△CFO中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS）。∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线。试题分析：（1）连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线。2、求圆内某条线段的长度，一般会求圆的半径求解该类试题应从如下两方面考虑：（1）利用勾股定理求解：若所求线段在直角三角形中，可考虑用勾股定理或相似求解：设圆半径为x，则题会增加很多已知量，半径为x，则圆内的所有半径，直径长度均成已知量，利用已知量及等量关系将未知数，放入已知条件最多的一个或者两个三角形中，利用相似或者勾股定理求出为实数x。例3、如图，AB为直径，弦CD．解：如图，连接OD，设AB=4x，2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第5页。∵x，BE=3x，。2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第5页。∵AB为直径，xOD=2x。又∵弦CD在Rt△ODE中，，即，解得。∴AB=4x。（2）利用相似求解ABDOC例4、如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点AABDOC(1)求证：AD平分∠BAC;(2)求AC的长。证明：（1）连接OD∵BD是⊙O的切线，D为切点∴∵∴OD∥ACABDOCABDOC又∵OD=OA∴∠BAD=∠CAD∴AD平分∠ABC(2)解：∵OD∥AC∴ΔBOD∽ΔBAC∴ODAC=∴4AC=∴AC=203、证明两条线段相等（角相等）看需要证在同一三角形中角相等（等角对等边）明的两条线段是否在同一不再同一①证明全等三角形中三角形中②等量代换例4、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．（1）求证：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．解2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第6页。答：2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第6页。（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠E=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠BAE=90°，∴∠BAD=∠E；（2）解：连接BC，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=2×5=10，∴BC=，∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，∴△ABC∽△EAB，∴，∴，∴BE=．4、证明形如a＊b=c＊d类等式将乘积的形式化成如a/c=d/b的形式，通过证明两个三角形相似来证明上述等式成立ABCDOP例6、已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PDABCDOP求证：（1）BC平分∠PBD；（2）。证明：（1）连结OC。（2）连结AC。∵PD切⊙O于点C，∵AB是⊙O的直径，又∵BD⊥PD，∴∠ACB＝90°。∴OC∥BD。又∵BD⊥PD，∴∠OCB＝∠CBD。∴∠ACB＝∠CDB＝90°又∵OC＝OB，又∵∠1＝∠2，∴∠OCB＝∠OBC。∴△ABC∽△CBD∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠PBD。∴∴2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第7页。三、每章一练2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第7页。1、如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D.(1)求证：∠BAD＋∠C＝90°；(2)求线段AD的长.2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上.以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AB＝6，AC＝8，求AF的长.3、如图，⊙O的半径为3，C是⊙O外一点，且OC＝6.过点C作⊙O的两条切线CB、CD，切点分别为B、D，连接BO并延长交切线CD于点A.(1)求AD的长；(2)若M是⊙O上一动点，求CM长的最大值，并说明理由.2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第8页。2023年九年级数学中考重点题型-圆类综合题全文共10页，当前为第8页。4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP.(1)求证：∠APO＝∠BPO；(2)若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值.5、

如图，已知：AB是的弦，过点B作BC⊥AB交于点C，过点C作的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证：（1）FC=FG；（2）6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．（1）求证：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．2