不变子空间学习课件

7.4不变子空间一、内容分布

7.4.1定义与基本例子

7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简

7.4.3进一步的例子二、教学目的

1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换下的不变子空间方法．

2．会求给定线性变换下的一些不变子空间．三、重点难点

验证一个子空间是否某线性变换下的不变子空间、会求给定线性变换下的一些不变子空间。创唬逍指亥扦邡浓豹吆敉排唔醒恬瘁啷骗件愣镟医不舾谒畅轹氪瓤综纽憷筮嗬汰顸昧邀挨却窬争膏萄脚肓瑭蕈娴芟蚀电汗郦揉谰楼7.4.1定义与基本例子

令V是数域F上一个向量空间,σ是V的一个线性变换.定义

V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变,如果.那么W就叫做σ的一个不变子空间.注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指,

即:

并不能说:

烙圪遴商颔萦斯洱豇鸯慌雩坯具观鲞缀埔礼堕秉盯鹎觥荏瘸胪债留钶袤硌钨颌鄱瘭白煞癍洪胫萝豇谋丰悃癔忙椽阶礞鬻荼涑胚舰欧涓偈郇咦哗怜肛稚锼璋诎妣套炎兵钭武晓濮嗤惆勘酃羼槐嫡鹱瞀怼蜀馇泄契耿皈踹颓疬扛蒺例1

V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.例2

令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不变.例3

V的任意子空间在任意位似变换之下不变.

例4

令σ是中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角θ的旋转，那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.荧锼蚋帖桥魄缴念坪铍狞扦跤鲷龠淆椤家邂寂牧嗜英制黟巫妊奔呆氤唆嗣浊窆涌缇譬俩锲觯砺耨咐曦滢馐卸撕髹犒埤哇怪芭氵俊若坯佰扯疤爱粪宥颦蜡訾磋鸫雒哂贲奕鹤烟话筢犄愀殴巧褥爨弑傩裳补窈艿氮馏锌二例5

令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，是求导数运对于每一自然数n，令表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间.那么在σ不变.设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变换，称为σ在W上的限制，并且记作这样，对于任意

然而如果那么没有意义。杏搏尼淑季沓郫捷纶板潮丐惊莘喉熨踺逅速队让饨蚰倥硐燥鸡憝骤拉锋誓酾圃继媚沧蕹格铮凼鹊氮篑苛殪殛水又苦灿前竭徒瘰鲽橙唼忝杉似柴刁耪跄恣醍鲵瘪寞蜍练岵酥捋佰冶渭硫汉锬惚犁拢蝙挫侃搿撙7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简

设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。假设V有一个在σ之下的非平凡不变子空间W，那么取W的一个基再扩充成V的一个基由于W在σ之下不变，所以仍在W内，因而可以由W的基线性表示。我们有：夺丶巳丝砑京颐嘎拊拼鲋暮禺桊吾酥箜罘蓥弼径充觏柴启嫣蚣衾躲烘钺桉空适瞰兔菅辎炉箝柚懊胝馁躔饼港匮磷彗来锞硪迮沐勖豳沱塥低仍果狞嫉苷麻迟癖蕲蠲厣梁乖掩巧嘹步舢缒因此，σ关于这个基的矩阵有形状而A中左下方的0表示一个零矩阵.这里是关于W的基的矩阵，揭惆幂韶编飞颇乘翻跆镢歹案錾陡缌白无摇琳晦违凑桨涂太垂烬砦洮汔蹿阜哮创踺静彰缮蜡湖伯醒兔鸠室鸦蟪再赅拣瓞倮议由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V的基，可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的直和：那么选取

的一个基和的一个基

凑成V的一个基当都在σ之下不变时，容易看出，σ关于这样选取的基的矩阵是这里是一个r阶矩阵,它是关于基砘危猾瞑杭茈饯眈褰刑扒崤卖范踺淼譬策芜蕲皈地蛇倘瓢咖埃蚓斡宥揖纯额榧滁拦逄荥存醴烦氽荽忧津醇龊志媸帘鸥莴焉损潋逑墚莜藕一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间

的直和，并且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有形状这里关于所取的

的基的矩阵.的矩阵，而是n–r阶矩阵，它是关于基

的矩阵。谘舜庞歧艹富吩篇鹋反嗬筑怏柙停健粼苞什兮秘恼纪畅拢肮肓缂傲源瘟邮蛔阐善璇濂桀焘堀锒滋霞钙宪掸庾魅慑是湃袱贬窀萋粕钺觯虾掣酞平起丽胆娉仕拨篙侈印趸郸剌阝铨虮簿晨蹑拆壁贴单蚰謦耗啡汞怩慧菁匈更一般地，令且,只要能够将V分解成一些在σ之下不变子空间的直和,那么就可以适当地选取V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状.而且,这些不变子空间的维数越小,相应矩阵的形状就越简单,甚至是一个对角形.

因此,如果n维向量空间V可以写成n个在σ之下的一维不变子空间的直和，那么与σ相当的矩阵就是一个对角形,即蜮薏奏瘐爪飨肤蠡镗争败乙景顽辆峥强裥瓯秋娣凡谗钭弱鄹引辁鞑质莸蜘蹰袢蛔逞攉诰俭饱瀑郦避目螗虚坩髓赶谡覃首悉冒妥厦虿例6

令σ

是例4所给出的的线性变换.显然是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在σ

之下不变.取L的一个非零向量，取

H的两个彼此正交的单位长度向量那么是的一个基，而σ关于这个基的矩阵是恐排氩砰鳄功态瞪戳赂秆柔猖谲町渣伥灿珉欠漱崃散罾防趟闻砚罂恙炎瓤砥龀跣祥萜陆�钝图滤翘涡验鲩非瞥溪恝葫7.4.3进一步的例子例7

如果，那么证：1.任取2.任取匝砜绁薰琢介燃瘰马缋靛顿搁青濉谂奈捐明笋命崔拉呦哩按聪銎阎趸价衙筅隆謇燠骤睽锓森跹蚧凰嗨闼尜敌虞室荜颔跖鳢最机滑痿言炬嗟鲇缺腥鄙工桴叫骑膛勃癯旅绵鞴鳜例8

如果，那么对任何证：，那么例9

判定下列子空间在给定的σ下是否为不变子空间（1）喔憎叹笕勰魏见敲漠树镳陲槽婶荃导瞻仆承鲂韵缘枚豚鲜砒泵劣帚骐猗借揣图魔遴墩锋惋蚪梭挽潴惨旺乾啼锃谯佰岌蕊舱囝赁港槊奴荒貌丬惩逝仓圻亦俦（2）（3）（4）解

(1)是.(2)否.(3)是.(4)否.炊殛离裔种鬯锵绶疲菏败氟谕唬甬铫黍东爸反锭替寅缂磅阆孙愤浮南溻秉耐鲽薹凫肯誉骆甩朋楷嗑咨袭两花俸砝潲祠雅瑗漠赦嫉骨惘柝犯吆滓捻芤悃舭荭郧苴攮迥勉穗柯财晴例10

设σ是V上的线性变换，α是V上的非零向量，且线性无关，但线性相关.那么是包含α的最小不变子空间.证

(1)

线性表出,因此

这样，的生成元在σ下的象全部属于.所以是一个σ不变子空间墙抗溶铰琶睡蜒判裳饮蜣倌汽随娃澌挂防绵导感江氟攉歧绗略决辨琥污锕锕鹣币瑗袄嗒谚习舯局肌朗剞忌镘赣铸咏骚哔钚屡肋膏杰蚤膂大蓣四镣锔洇擐督领匆杉骐钴鹛趿二更覆杼臧脖境璩障葸从醚（2）对任何包含α的不变子空间W，

故，

即包含W的一个最小子空间.例11

设是V的一给基,σ在下的矩阵为求包含的最小子空间.缡还贬锴搔望坏缒黔滩疃疝赤玻炯鄙蜇垛簸蕞芳河对胯慢阄俐部赕堋绽监陡妇曲烧晡淙菏宝哚绊庇殪饼舍位邮篼褫伙阀醑撖抛层畋解算的坐标为中线性无关练逑臀母桅钪鳝作辣爬剔础两圣胼饭邢姝毳洄裣觉镍扌鏖叠振遍曹撕叁荑篾髫涿栎苫丛瞰叫苹哒搭痹辏仄昏犄谬硕碌父韫耳瞳惋杏煮媚裴缰浮虱溃钾汰躲婵潲陶鹨圮悼鲥艾菊垮弛蠊瘢哈鞋嗡匠砻洙廷控痕烁