湖南省衡阳市 衡东县踏庄中学高三数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市衡东县踏庄中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（

）A．6斤

B．7斤

C．8斤

D．9斤

参考答案：D2.设函数(x∈R),则f(x)

A.在区间[-π,]上是减函数

B.在区间上是增函数C.在区间[,]上是增函数

D.在区间上是减函数参考答案：B当时，，即，此时函数单调递减，所以在区间上是增函数，选B.3.方程有实根的概率是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知等差数列{an}，满足a1＋a5＝2，a2＋a14＝12，则此数列的前10项和S10＝（

）(A)7 (B)14 (C)21 (D)35参考答案：D5.已知函数的两个极值点分别为，且点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知命题p：?φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：?x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】首先，判断命题P和命题q的真假，然后，结合复合命题的真值表进行判定即可．【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，所以命题p为真命题；∵y=cos2x+4sinx﹣3=1﹣2sin2x+4sinx﹣3=﹣2sin2x+4sinx﹣2=﹣2（sinx﹣1）2，当sinx=1时y=0，所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0所以命题q为假命题；￢q为真命题；所以p∨￢q为真命题故选C7.平面向量的夹角为等于A. B. C.12 D.参考答案：B

【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F2由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题．8.若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC

B．BDC．A1D

D．A1D1参考答案：B略10.已知函数在定义域内是增函数，则实数a的取值范围是（

）A．[4,+∞)

B．[3,+∞)

C.[0,3]

D．(－∞,1]∪[3,+∞)参考答案：A在定义域R上是增函数，则需在每段上都是增函数，且左边的最大值小于等于右边的最小值，故当时，恒成立，即且，解得，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，,则

.参考答案：略12.i是虚数单位，复数=__________．参考答案：4–i 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.

13.记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A?B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]14.已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_____________.参考答案：略15.已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。参考答案：.【分析】由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解．【详解】设，，则由面积可得ab=4；由已知，平面，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为、、，则球的直径，则球的表面积为，因，故.故答案为：.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题．16.若实数a，b均不为零，且x2α=（x＞0），则（xα﹣2xb）9展开式中的常数项等于．参考答案：﹣672考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据题意，x2α=，代入（xα﹣2xb）9中可得（xα﹣2x﹣2a）9，可得其展开式为Tr+1=（﹣2）r?C93?（xa）9﹣3r；进而将r=3代入展开式，计算可得答案．解答：解：根据题意，x2α=，则（xα﹣2xb）9=（xα﹣2x﹣2a）9，其展开式为Tr+1=C9r?（xα）9﹣r?（﹣2x﹣2a）r=（﹣2）r?C93?（xa）9﹣3r；令r=3时，可得其展开式的常数项为（﹣2）3?（xa）9﹣3r=﹣672；故答案为：﹣672．点评：本题考查二项式定理的运用，解题时关键在于对其展开式的形式的记忆与有理数指数幂的化简计算．17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，，则△ABC面积的取值范围是

．参考答案：∵中A、B、C成等差数列，∴．由正弦定理得，∴，∴，∵为锐角三角形，∴，解得．∴，∴，∴，故面积的取值范围是．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1//平面A1CD;

（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.参考答案：略19.（12分）在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立.（Ⅰ）直到第三次射击汽油才流出的概率；（Ⅱ）直到第三次射击油罐才被引爆的概率；（Ⅲ）求油罐被引爆的概率.参考答案：解析：（Ⅰ）第三次射击汽油才流出的概率

（4分）

（Ⅱ）第三次射击被引爆的概率

（8分）

（Ⅲ）“油罐被引的事件为事件A，其对立事件为”则

（12分）20.已知函数.（1）当时，求函数f(x)的极值；（2）当时，求函数f(x)在上的最小值.参考答案：（1）极小值，无极大值；（2）【分析】（1）因为，求得，可得函数单调区间，结合极值定义，即可求得答案；（2）由（1）可得，分别讨论，，，求，即可求得答案.【详解】（1）函数的定义域为.，①当，，函数在上为减函数；②，函数在上为增函数.极小值，无极大值（2）由（1）可得，由，可得.当，即时，在成立，在此区间上为减函数，.当，即时，，；，在为减函数，在为增函数当，即时，，在为增函数，综上所述，【点睛】本题主要考查了含参函数的极值问题和根据导数求最值问题，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值的定义，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.怀化某中学对高三学生进行体质测试，已知高三某个班有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）男生成绩在195cm以上（包含195cm）定义为“合格”，成绩在195cm以下（不包含195cm）定义为“不合格”，女生成绩在185cm以上（包含185cm）定义为“合格”，成绩在185cm以下（不包含185cm）定义为“不合格”．（1）求女生立定跳远成绩的中位数；（2）若在男生中按成绩合格与否进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（3）若从（2）中抽取的6名学生中任意选取4个人参加复试，求这4人中至少3人合格的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数．（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数．（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格，设合格学生为a，b，c，d不合格学生为e，f，利用列举法能求出这4人中至少3人合格的概率．【解答】解：（1）女生立定跳远成绩的中位数为：（cm）．（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取6×（人）…（8分）（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格设合格学生为

a，b，c，d

不合格学生为e，f，从这6人中任取4人有：abcd

abce

abcf

abde

abdfabef

acde

acdf

acef