第六参数估计演示文稿

第六参数估计演示文稿本文档共38页；当前第1页；编辑于星期六\11点59分（优选）第六参数估计本文档共38页；当前第2页；编辑于星期六\11点59分构造出适当的样本的函数是当务之急。如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：

其一

如何选定统计量，即估计的方法问题；

其二

如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。本文档共38页；当前第3页；编辑于星期六\11点59分例如：使用什么样的统计量去估计总体均值

？可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量注意：被估计的参数是一个未知常数，而估计量是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数值,这个数就是的一个估计值.本文档共38页；当前第4页；编辑于星期六\11点59分§6.1

点估计的几种方法

替换原理和矩法估计

一、矩法估计

替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用样本的p分位数估计总体的p分位数，用样本中位数估计总体中位数。

本文档共38页；当前第5页；编辑于星期六\11点59分例

对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：

29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9

经计算有

由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为:28.695,0.9185

和28.6。

矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。本文档共38页；当前第6页；编辑于星期六\11点59分设总体的分布含有k个未知参数，那么它的前k阶矩都是这k个参数的函数从这k个方程中解出二、概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计

则可给出诸j的矩法估计为

其中本文档共38页；当前第7页；编辑于星期六\11点59分例

设总体服从指数分布，由于EX=1/，即

=1/EX，故的矩法估计为另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为

s为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。本文档共38页；当前第8页；编辑于星期六\11点59分例

x1,x2,

…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩估计：本文档共38页；当前第9页；编辑于星期六\11点59分矩法的优点是：简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.矩法的缺点是：当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.

矩估计方法点评

本文档共38页；当前第10页；编辑于星期六\11点59分极大似然法的基本思想

直观想法：在试验中概率最大的事件最有可能出现

实例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只野兔从前方窜过。只听一声枪响，野兔应声倒下。如果要你推测，是谁打中的呢？

猜测：你会如何想呢?只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率。

推断：看来这一枪是猎人射中的此例体现了极大似然法的基本思想.本文档共38页；当前第11页；编辑于星期六\11点59分

极(最)大似然估计

定义

设总体的概率函数为P(x;)，将样本的联合概率函数看成的函数

称为样本的似然函数。如果某统计量满足

则称是的极(最)大似然估计，简记为MLE本文档共38页；当前第12页；编辑于星期六\11点59分因为L()、lnL()在同处取得极值，故经常用对数似然函数lnL()进行估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法.本文档共38页；当前第13页；编辑于星期六\11点59分例

设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为其对数似然函数为本文档共38页；当前第14页；编辑于星期六\11点59分将之关于求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以是极大值点。本文档共38页；当前第15页；编辑于星期六\11点59分例

对正态总体N(,2)，θ=(,2)是二维参数，设有样本x1,x2

,

…,xn，则似然函数及其对数分别为将lnL(,2)分别关于两个分量求偏导并令其为0,即得到似然方程组本文档共38页；当前第16页；编辑于星期六\11点59分解此方程组，得的极大似然估计为得出2的极大似然估计本文档共38页；当前第17页；编辑于星期六\11点59分

极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果是的极大似然估计，则对任一函数g()，其极大似然估计为。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。本文档共38页；当前第18页；编辑于星期六\11点59分

例

设x1,x2,

…,xn是来自正态总体N(,2)

的样本，则和2的极大似然估计为，于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它们是:标准差的MLE是；概率的MLE是；总体0.90分位数x0.90=+

u0.90

的MLE是，其中u0.90为标准正态分布的0.90分位数。本文档共38页；当前第19页；编辑于星期六\11点59分§6.2

点估计的评价标准

相合性

点估计量不可能等同于参数的真实取值。但根据格里纹科定理，完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性定义

是的一个估计量，若对任何一个ε>0，有

则称为参数的相合估计。本文档共38页；当前第20页；编辑于星期六\11点59分若把依赖于样本量n的估计量看作一个随机变量序列,相合性就是依概率收敛于,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。相合性被认为是对估计的一个最基本要求,一个估计量应该把被估参数估计到任意指定的精度。不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证.本文档共38页；当前第21页；编辑于星期六\11点59分在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理

设是的一个估计量，若

则是的相合估计，定理

若分别是1,

…,k的相合估计，=g(1

,

…,k)是1,

…,k的连续函数，则是的相合估计。本文档共38页；当前第22页；编辑于星期六\11点59分注：由大数定律及定理，我们可以看到：矩估计一般都具有相合性。比如：样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。例

设x1,x2

,

…,xn是来自均匀总体U(0,)的样本，证明的极大似然估计是相合估计。本文档共38页；当前第23页；编辑于星期六\11点59分

无偏性

定义

设是的一个估计，

的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有

则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。

本文档共38页；当前第24页；编辑于星期六\11点59分例

对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩

k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于，样本方差s*2不是总体方差2的无偏估计，对此，有如下两点说明：

(1)当样本量趋于无穷时，有E(s*2)2，我们称s*2为2的渐近无偏估计。

(2)若对s*2作如下修正：，则s2是总体方差的无偏估计。本文档共38页；当前第25页；编辑于星期六\11点59分例

设总体为N(,2)，x1,x2,

…,xn是样本，则s2是2的无偏估计，且可求出这说明s不是的无偏估计.

利用修正技术可得cns是的无偏估计，其中是修偏系数.

可以证明，当n时,有cn1.

这说明s是的渐近无偏估计。本文档共38页；当前第26页；编辑于星期六\11点59分

有效性

定义

设是的两个无偏估计，如果对任意的

∈Θ,有且至少有一个

∈Θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。

本文档共38页；当前第27页；编辑于星期六\11点59分例

设x1,x2

,

…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为

，总体方差为2，则,,都是

的无偏估计，但显然，只要n>1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。本文档共38页；当前第28页；编辑于星期六\11点59分§6.5

区间估计

6.5.1区间估计的概念

定义

设是总体的一个参数，对给定的一个(0<<1)，若有两个统计量和，若对任意的

∈Θ，有（）注：点估计是用一个值估计未知参数，没有反映出这个近似值的误差范围。区间估计的结论更可信。本文档共38页；当前第29页；编辑于星期六\11点59分则称随机区间[]为的置信水平为1-的置信区间，或简称[]是的1-置信区间.

和分别称为的（双侧）置信下限和置信上限.

这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有

。

本文档共38页；当前第30页；编辑于星期六\11点59分6.5.2枢轴量法

构造未知参数的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和的函数G=G(x1,x2

,

…,xn,

)使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的G为枢轴量。2.适当地选择两个常数c,d，使对给定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-

3.假如能将c≤G

≤d进行不等式等价变形化为则[，]是的1-同等置信区间。本文档共38页；当前第31页；编辑于星期六\11点59分

这时可用t统计量，因为，的1-置信区间为

此处是

2的无偏估计。一、

已知时的置信区间在这种情况下，枢轴量可选为置信区间为[，]。6.5.3单个正态总体参数的置信区间

二、

2未知时的置信区间

本文档共38页；当前第32页；编辑于星期六\11点59分例

用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量的0.95置信区间为，从而该物体重量的0.95置信区间为

[15.3347，15.4653]。本文档共38页；当前第33页；编辑于星期六\11点59分例

假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）本文档共38页；当前第34页；编辑于星期六\11点59分三、

2的置信区间

取枢轴量，由于

2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用

2的两个分位数

2

/2(n-1)和21-

/2(n-1)，在

2分布两侧各截面积为/2的部分，使得由此给出

2的1-置信区间为本文档共38页；当前第35