初中数学沪科版八年级下册四边形19．3矩形菱形正方形“黄冈赛”一等奖

中物理沪科版数学八年级下册第19章四边形19.3.4菱形的判定两组对边分别平行平行四边形矩形菱形四边形知识回顾有一个角是直角有一组邻边相等由角变化得到由边变化得到复习引入

有一角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.具有平行四边形的一切性质性质边角对角线四个角都是直角相等互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.判定有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形四条边都相等

矩形

菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.几何语言:∵在ABCD中，∴

ABCD是菱形AB=BCBACD探究新知根据菱形的定义，你还有其它的判定方法吗？

ABCDAB=BC可得菱形的第一个判定方法：有两条边相等探究新知有四条边相等有三条边相等的四边形是菱形吗？55555

连接BC、DC，

再分别以点B，D为圆心、AB的长为半径画弧，就得到了一个四边形，DABC探究1如图，以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD，两弧相交于点C，

猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由.猜想：四边都相等的四边形是菱形

.你能证明吗？四边都相等的四边形是菱形.已知：证明:∵

AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD∴

四边形ABCD是菱形验证猜想DABC求证：四边形ABCD是菱形在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)AD=BC四边都相等的四边形是菱形.AB=BC=CD=DAABCD菱形ABCD∵

在四边形ABCD中，

∴

四边形ABCD是菱形四边形ABCDABCD由此可知，我们得到菱形的第二个判定方法：【几何语言】AB=BC=CD=DA定理1：

用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?探究2猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明吗？求证：ABCD是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在ABCD中，AC⊥BDABCDO证明：∵

四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵

AC⊥BD∴BA=BC∴

ABCD是菱形验证猜想(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)AC⊥BD∵

在四边形ABCD中，∴

□ABCD是菱形ABCD菱形ABCDABCD□ABCD对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此可知，我们得到菱形的第三个判定方法：【几何语言】AC⊥BD定理2：注：

对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形.DCAB

对角线相等且垂直的四边形是菱形吗？思考：对角线互相垂直的四边形是菱形?方法1：方法2：方法3：(菱形的定义)归纳小结有一组邻边相等的平行四边形是菱形.四边都相等的四边形是菱形

.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形常用的判定方法:(定理1)(定理2)1、有人说下列三个图形都是菱形，你相信吗?5534345555

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边都相等的四边形是菱形.3344对应练习(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．(3)邻角相等的四边形是菱形．(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形．(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.

(9)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.2、做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由．对应练习××××判定一个四边形是菱形的方法与思路是：方法规律四边形四边都相等菱形平行四边形一组邻边相等对角线互相垂直菱形菱形(1)下列命题中正确的是（）

A、对角线互相平分的四边形是菱形

B、对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C、对角线互相垂直的四边形是菱形

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形D1.选择：巩固练习(2)如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的是（）.A、AB=BCB、AC⊥BDC、BD平分∠ABCD、AC=BDBACDD

2、ABCD的对角线AC与BD相交于点O，(1)若AB=AD，则ABCD是

形；(2)若AC=BD，则ABCD是

形；(3)若∠ABC是直角，则ABCD是

形；(4)若∠BAO=∠DAO，则ABCD是

形.ABCDO矩菱矩菱巩固练习3、如图，在ABCD中，AC=8，BD=6，AB=5，求AD的长.证明:∵

四边形ABCD是平行四边形，且AC=8，BD=6DABCO∴OA=12AC=4

OB=12BD=3345∵AB=5∴OA2+OB2=AB2∴

AD=∴

AC⊥BD∴

△AOB为直角三角形又∵

四边形ABCD是平行四边形∴

ABCD是菱形AB=5

4、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.HGFEDCBA证明:∵四边形ABCD是矩形∴

AB=CD，AD=BC∵点E、F、G、H分别是四边的中点∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴AE=DE=BG=CG，AF=BF=DH=CH在△AEF和△DEH中∵AF=DH∠A=∠DAE=DE(SAS)∴△AEF≌△DEH同理可证△AEF≌△DEH≌△BGF≌△CGH∴

四边形EFGH是菱形∴EF=FG=GH=GE

4、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.HGFEDCBA证明:∵

四边形ABCD是矩形∴

AC=BD∵点E、F、G、H为各边中点∴

EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形GH=12BD，EH=12ACEF=FG=连接AC、BD

顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.5、已知：如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形ABFCDEO∵EF垂直平分AC∴AO=CO，∵

四边形ABCD是平行四边形∴

AE∥FC∴∠AEO=∠CFO证明：∴

OE=OF又∵AO=CO∴四边形AFCE是平行四边形又∵

EF⊥AC∴

四边形AFCE是菱形在△AOE和△COF中∵∠AOE=∠COFAO=CO∠AEO=∠CFO(ASA)(对顶角相等)

EF⊥AC∴△AOE≌△COF6、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形.ABEDFCABCDOE7、(聊城市中考)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形ADCBEF思考：把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？1、[2018·北京市中考]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证四边形ABCD是菱形.(2)若AB=，BD=2，求OE的长.拓展提升ABEDCO2、如图：将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1，A1D1交CD于E，A1B1交BC于F，请问四边形A1FCE是不是菱形?为什么?A1B1C1D1ABCDEF解：∵

四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，

由平移可知

AD∥A1D1，

∴A1D1∥BC，

∴四边形A1FCE是平行四边形又∵

在菱形ABCD中，AD=DC∴

∠DAC=∠DCA∵

AD∥A1D1∴

∠DAC=∠D1A1C∴∠D1A1C=∠DCA∴A1E=EC又∵四边形A1FCE是平行四边形∴四边形A1FCE是菱形理由如下：四边形A1FCE是不是菱形.AB∥CD

A1B1∥CDAB∥A1B13、(乌鲁木齐市中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠BAC，分别与BC，CD相交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.ACBDEFH60°4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.ABCDEF30°30°60°60°60°60°5、[乌鲁木齐中考]如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.(1)求证四边形AECD是菱形;(2)若AB=6，BC=10，求EF的长.ABDECF6108G本节课你有什么收获？方法1：方