河南省焦作市孟州第四中学2021年高三数学文期末试卷含解析

河南省焦作市孟州第四中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“，||”的否定是（）A．，||

B．，||C．，||

D．，||参考答案：C2.已知A=[1，+∞），，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B． C． D．（1，+∞）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】根据A与B的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：A=[1，+∞），，且A∩B≠?，∴2a﹣1≥1，∴a≥1，故选：A．3..“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】?a>b>0?，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.不等式的解集为

A.

B.

C.

D.

对参考答案：A原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A.

60 B.48

C.42

D.36参考答案：B解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．参考答案：C以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．

7.已知等差数列的前项和为，公差，且，则（

）A．－10

B．－11

C．－12

D．－14参考答案：C8.复数的虚部是高考资源网(

)A.-1

B.1

C.i D.-i参考答案：B，虚部为，选B.9.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是

(

)A．(1，)

B．(，)

C．(，2)

D．(1,2)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式（2﹣）6展开式中常数项是．参考答案：﹣160略12.已知分别是圆锥曲线和的离心率，设

，则的取值范围是

参考答案：（，0）13.已知，若任取，都存在，使得，则的取值范围为

．参考答案：略14.已知a，b为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是

.参考答案：15.已知则的值是______________.参考答案：略16.定义2×2矩阵，则函数的图象在点(1,－1)处的切线方程是_______________.

参考答案：17.某市有300名学生参加数学竞赛的预赛，竞赛成绩宇服从正态分布ξ~N(80，100)，若规定，预赛成绩在95分或95分以上的学生参加复赛，估计进入复赛的人数是

(参考数据：Φ(0.15)=0.5596，Φ(1.5)=0.9332，Φ(0.8)=0.7881)

参考答案：答案：20三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且.(1).求函数的解析式;(2)已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n项和),求该数列的通项;(3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.

参考答案：(1)设…2分(2)由已知得……5分两式相减得,……6分当.若……8分

19.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L的下方；（2）若函数h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据函数的单调性判断即可；（2）问题转化为a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，根据函数的单调性求出F（x）的最大值和最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1，设p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，则p′（x）=，若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0，∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，当且仅当x=1时“=”成立，故除点A外，切线y=f（x）都在直线L的下方；（2）h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，即a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，则F′（x）=，设g（x）=ex（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（ex﹣），而y=ex﹣（x＞0）的零点在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，∴g（x）＞g（1）=1，则F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，∴F（x）在（1，3）上递增，故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=，∴F（x）∈（e，），故a∈（e，）．20.设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（3）当a=3时，函数图象与直线y=m有三个交点，求实数m的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，代入x=2，从而求切线方程；（2）f（x）=﹣x（x﹣a）2=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a）；讨论a，从而确定极值点与极值；（3）结合函数的图象及极值求实数m的取值范围．解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，则f（2）=﹣8+8﹣2=﹣2，f′（2）=﹣12+8﹣1=﹣5；则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=﹣5（x﹣2），即5x+y﹣8=0；（2）f（x）=﹣x（x﹣a）2=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a）；①若a＞0，则在x=附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣；在x=a附近，左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0；故f（x）在x=a时取得极大值f（a）=0；②若a＜0，则在x=附近，左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0；故f（x）在x=时取得极大值f（）=﹣；在x=a附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；故f（x）在x=a时取得极小值f（a）=0；（3）由（2）可知，f（x）在（﹣∞，1）递减，（1.3）递增，（3，+∞）递减．f（x）极小值=f（1）=﹣4；f（x）极大值=f（3）=0；故﹣4＜m＜0．点评：本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．21.（12分）如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为边BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG，形成如图乙所示的几何体．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AFG（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）由图形折叠前后的特点可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由线面垂直的判定和性质定理，即可得证；（Ⅱ）由面面垂直的性质定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱锥的体积公式即可得到答案．解答： （Ⅰ）证明：在图甲中，由△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为边BC边的中点，得DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，在图乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，∴DE⊥平面AFG，∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，∴AF⊥平面BCDE，∴VA﹣BCDE=AF?SBCDE=××4×（36﹣×16）=10．点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质定理，以及面面垂直的性质定理，同时考查棱锥的体积计算，属于基础题．22.（12分）已知函数（1）当时，令，求的单调区间；（2）若，有两个极值点.

（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）