山西省阳泉市第十一中学2024年高二上数学期末监测试题含解析

山西省阳泉市第十一中学2024年高二上数学期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.2．如果命题为真命题，为假命题，那么（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. B.5C. D.74．下列对动直线的四种表述不正确的是（）A.与曲线C：可能相离，相切，相交B.恒过定点C.时，直线斜率是0D.时，直线的倾斜角是135°5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6．下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为7．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（）A.16 B.18C.32 D.648．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则9．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）A.3 B.4C.6 D.810．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定11．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为________14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________15．一条直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则弦中点到直线的距离等于__________16．已知直线与之间的距离为，则__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下表所示．月龄1234567身高（单位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7个月的平均身高；（2）求出身高y关于月龄x的回归直线方程（计算结果精确到整数部分）；（3）利用（2）的结论预测一下8个月的时候小孩的身高参考公式：18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.19．（12分）球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）20．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围21．（12分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.（1）求的公比；（2）求的通项公式及前n项和.22．（10分）设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【题目详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【题目点拨】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).2、D【解题分析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.【题目详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，为假命题,说明二者至少有一个为假命题，综合上述，可知命题，只有一个是真命题，故选：D3、D【解题分析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【题目详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D4、A【解题分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD.【题目详解】直线可化为，令，，解得，，所以直线恒过定点，而该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交当时，直线方程为，故斜率为0，当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°.故选：A5、B【解题分析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【题目详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.6、D【解题分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【题目详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D7、B【解题分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【题目详解】抛物线的焦点，设直线的直线方程为，则直线的方程为.，，，.由，得，，同理可得..当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：B8、D【解题分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断【题目详解】若，，也可以有，A错；若，，也可以有，B错；若，，则或，C错；若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确故选：D9、D【解题分析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果【题目详解】设，，则的中点到轴的距离为，则故选：D10、A【解题分析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【题目详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.11、D【解题分析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.【题目详解】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D12、B【解题分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【题目详解】“，”的否命题为“，”，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据渐近线方程、焦距可得，，再根据双曲线参数关系、焦点的位置写出双曲线标准方程.详解】由题设，可知：，，∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.14、或.【解题分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【题目详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【题目点拨】方法点睛：处理直线与圆位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.15、【解题分析】求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离【题目详解】解：如图，抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于故答案为：16、或##或【解题分析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可.【题目详解】方程可化为：，由平行直线间距离公式得：，解得：或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）62；（2）；（3）74.【解题分析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回归方程；（3）把x=8代入回归方程即可求出.【小问1详解】小孩前7个月的平均身高为.【小问2详解】(2)设回归直线方程是.由题中的数据可知.，..计算结果精确到整数部分,所以,于是，所以身高y关于月龄x的回归直线方程为.【小问3详解】由(2)知,.当x=8时,y=3×8+50=74,所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积【题目详解】（1）由已知得，，解得，又，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得，①设、的坐标分别为，（），中点为，则，，因为是等腰△的底边，所以所以的斜率为，解得，此时方程①为解得，，所以，，所以，此时，点到直线：距离，所以△的面积考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键19、（1），（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π【解题分析】（1）直接由条件写出关系式即可；（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.【小问1详解】设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅汤的利润是，∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，【小问2详解】由（1）知，则，令，则，当时，；当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.20、（1），；（2）.【解题分析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，，且是和的等比中项，所以，整理可得，解得或.若，则，可得，不合乎题意；若，则，可得，合乎题意.所以，;；（2）因为，①，②②①得因为，即对恒成立，所以当且，，故数列为单调递增数列，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以，即.综上可得21、（1）（2），【解题分析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设数列公比为，因为为的等差中项，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比数列的公比为.【小问2详解】解：由（1）知且，可得，所以.22、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【解题分析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【题目详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递