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文档简介
山西省阳泉市第十一中学2024年高二上数学期末监测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),设D在直线AB上,且,设C(λ,+λ,1+λ),若CD⊥AB,则λ的值为()A. B.-C. D.2.如果命题为真命题,为假命题,那么()A.命题,都是真命题 B.命题,都是假命题C.命题,至少有一个是真命题 D.命题,只有一个是真命题3.已知关于的不等式的解集是,则的值是()A. B.5C. D.74.下列对动直线的四种表述不正确的是()A.与曲线C:可能相离,相切,相交B.恒过定点C.时,直线斜率是0D.时,直线的倾斜角是135°5.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6.下列命题中正确的是()A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为7.过抛物线的焦点作互相垂直的弦,则的最小值为()A.16 B.18C.32 D.648.已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,则下列说法正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则9.已知点A、是抛物线:上的两点,且线段过抛物线的焦点,若的中点到轴的距离为3,则()A.3 B.4C.6 D.810.已知、分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与的延长线、的延长线以及线段相切,若为其中一个切点,则()A. B.C. D.与2的大小关系不确定11.已知函数在定义域内单调递减,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.若命题为“,”,则为()A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知焦点在轴上的双曲线,其渐近线方程为,焦距为,则该双曲线的标准方程为________14.直线与曲线有且仅有一个公共点.则b的取值范围是__________15.一条直线过点,且与抛物线交于,两点.若,则弦中点到直线的距离等于__________16.已知直线与之间的距离为,则__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)一位父亲在孩子出生后,每月给小孩测量一次身高,得到前7个月的数据如下表所示.月龄1234567身高(单位:厘米)52566063656870(1)求小孩前7个月的平均身高;(2)求出身高y关于月龄x的回归直线方程(计算结果精确到整数部分);(3)利用(2)的结论预测一下8个月的时候小孩的身高参考公式:18.(12分)已知椭圆的离心率为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求的面积.19.(12分)球形物体天然萌,某食品厂沿袭老字号传统,独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤,其中瓶子的制造成本c(分)与瓶子的半径r(cm)的平方成正比,且当cm时,制造成本c为3.2π分,已知每出售1mL的酸梅汤,可获得0.2分,且制作的瓶子的最大半径为6cm(1)写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式(提示:);(2)瓶子半径多大时,每瓶酸梅汤的利润最大,最大为多少?(结果用含π的式子表示)20.(12分)已知公比的等比数列和等差数列满足:,,其中,且是和的等比中项(1)求数列与的通项公式;(2)记数列的前项和为,若当时,等式恒成立,求实数的取值范围21.(12分)已知是公比不为1的等比数列,,且为的等差中项.(1)求的公比;(2)求的通项公式及前n项和.22.(10分)设函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若,为整数,且当时,恒成立,求的最大值.(其中为的导函数.)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】设D(x,y,z),根据求出D(,,0),再根据CD⊥AB得·=2(-λ)+λ-3(-1-λ)=0,解方程即得λ的值.【题目详解】设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z),∵=2,∴∴∴D(,,0),=(-λ,-λ,-1-λ),∵⊥,∴·=2(-λ)+λ-3(-1-λ)=0,∴λ=-故选:B【题目点拨】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).2、D【解题分析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题,由为假命题,可判断二者至少有一个为假命题,由此可得答案.【题目详解】命题为真命题,说明二者至少有一个为真命题,为假命题,说明二者至少有一个为假命题,综合上述,可知命题,只有一个是真命题,故选:D3、D【解题分析】由题意可得的根为,然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【题目详解】因为关于的不等式的解集是,所以方程的根为,所以,得,所以,故选:D4、A【解题分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B,由点与圆的位置关系可判断A,由直线方程可判断CD.【题目详解】直线可化为,令,,解得,,所以直线恒过定点,而该定点在圆C:内部,所以必与该圆相交当时,直线方程为,故斜率为0,当时,直线方程为,故斜率为,倾斜角为135°.故选:A5、B【解题分析】由余弦定理可得,再利用可得答案.【题目详解】因为,所以,由余弦定理,因为,所以,又,∴,故为直角三角形.故选:B.6、D【解题分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【题目详解】对于A,时为负值,故A错误对于B,,而无解,无法取等,故B错误对于,当且仅当即时等号成立,故,D正确,C错误故选:D7、B【解题分析】根据抛物线方程求出焦点坐标,分别设出,所在直线方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式求得,,然后利用基本不等式求最值.【题目详解】抛物线的焦点,设直线的直线方程为,则直线的方程为.,,,.由,得,,同理可得..当且仅当,即时取等号.所以的最小值为.故选:B8、D【解题分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断【题目详解】若,,也可以有,A错;若,,也可以有,B错;若,,则或,C错;若,,则,这是线面垂直的判定定理之一,D正确故选:D9、D【解题分析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果【题目详解】设,,则的中点到轴的距离为,则故选:D10、A【解题分析】由题意知,圆C是的旁切圆,点是圆C与轴的切点,设圆C与直线的延长线、分别相切于点、,由切线的性质可知:,,,结合椭圆的定义,即可得出结果.【题目详解】由题意知,圆C是的旁切圆,点是圆C与轴的切点,设圆C与直线的延长线、分别相切于点、,则由切线的性质可知:,,,所以,所以,所以.故选A【题目点拨】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合,熟记椭圆的定义,以及切线的性质即可,属于常考题型.11、D【解题分析】由题意转化为,恒成立,参变分离后转化为,求函数的最大值,即可求解.【题目详解】函数的定义域是,,若函数在定义域内单调递减,即在恒成立,所以,恒成立,即设,,当时,函数取得最大值1,所以.故选:D12、B【解题分析】特称命题的否定是全称命题,把存在改为任意,把结论否定.【题目详解】“,”的否命题为“,”,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】根据渐近线方程、焦距可得,,再根据双曲线参数关系、焦点的位置写出双曲线标准方程.详解】由题设,可知:,,∴由,可得,,又焦点在轴上,∴双曲线的标准方程为.故答案为:.14、或.【解题分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆,数形结合分析得两种情况:(1)直线与半圆相切有一个交点;(2)直线与半圆相交于一个点,综合两种情况可得答案.【题目详解】由曲线,可得,表示以原点为圆心,半径为的右半圆,是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况:(1)直线与半圆相切,根据,所以,结合图像可得;(2)直线与半圆的上半部分相交于一个交点,由图可知.故答案为:或.【题目点拨】方法点睛:处理直线与圆位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法;如果或有限制,需要数形结合进行分析.15、【解题分析】求出弦的中点到抛物线准线的距离,进一步得到弦的中点到直线的距离【题目详解】解:如图,抛物线的焦点为,,弦的中点到准线的距离为,则弦的中点到直线的距离等于故答案为:16、或##或【解题分析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可.【题目详解】方程可化为:,由平行直线间距离公式得:,解得:或.故答案为:或.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)62;(2);(3)74.【解题分析】(1)直接利用平均数的计算公式即可求解;(2)套公式求出b、a,求出回归方程;(3)把x=8代入回归方程即可求出.【小问1详解】小孩前7个月的平均身高为.【小问2详解】(2)设回归直线方程是.由题中的数据可知.,..计算结果精确到整数部分,所以,于是,所以身高y关于月龄x的回归直线方程为.【小问3详解】由(2)知,.当x=8时,y=3×8+50=74,所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.18、(1)(2)【解题分析】(1)根据椭圆的简单几何性质知,又,写出椭圆的方程;(2)先斜截式设出直线,联立方程组,根据直线与圆锥曲线的位置关系,可得出中点为的坐标,再根据△为等腰三角形知,从而得的斜率为,求出,写出:,并计算,再根据点到直线距离公式求高,即可计算出面积【题目详解】(1)由已知得,,解得,又,所以椭圆的方程为(2)设直线的方程为,由得,①设、的坐标分别为,(),中点为,则,,因为是等腰△的底边,所以所以的斜率为,解得,此时方程①为解得,,所以,,所以,此时,点到直线:距离,所以△的面积考点:1、椭圆的简单几何性质;2、直线和椭圆的位置关系;3、椭圆的标准方程;4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程,椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离,属于难题.解决本类问题时,注意使用椭圆的几何性质,求得椭圆的标准方程;求三角形的面积需要求出底和高,在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形,进而知道定点与弦中点的连线垂直,这是解决问题的关键19、(1),(2)当时,每瓶酸梅汤的利润最大,最大利润为28.8π【解题分析】(1)直接由条件写出关系式即可;(2)直接求导确定单调性后,求出最大值即可.【小问1详解】设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k,则瓶子的制造成本,由题意,当时,∴,即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅汤的利润是,∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为:,【小问2详解】由(1)知,则,令,则,当时,;当时,∴函数在上单调递减,在上单调递增,∴当时,每瓶酸梅汤的利润最大,最大利润为28.8π.20、(1),;(2).【解题分析】(1)根据已知条件可得出关于方程,解出的值,可求得的值,即可得出数列与的通项公式;(2)求得,利用错位相减法可求得,分析可知数列为单调递增数列,对分奇数和偶数两种情况讨论,结合参变量分离法可得出实数的取值范围.【题目详解】(1)设等差数列的公差为,因为,,,且是和的等比中项,所以,整理可得,解得或.若,则,可得,不合乎题意;若,则,可得,合乎题意.所以,;;(2)因为,①,②②①得因为,即对恒成立,所以当且,,故数列为单调递增数列,当为偶数时,,所以;当为奇数时,,所以,即.综上可得21、(1)(2),【解题分析】(1)设数列公比为,根据列出方程,即可求解;(2):由(1)得到,利用等比数列的求和公式,即可求解.【小问1详解】解:设数列公比为,因为为的等差中项,可得,即,即,解得或(舍去),所以等比数列的公比为.【小问2详解】解:由(1)知且,可得,所以.22、(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).【解题分析】(Ⅰ)的定义域为,,分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)由题意可得对于恒成立,分离可得,令,只需,利用导数求最小值即可求解.【题目详解】(Ⅰ)函数的定义域为,当时,对于恒成立,此时函数在上单调递增;当时,由可得;由可得;此时在上单调递减,在上单调递增;综上所述:当时,函数的单调递
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