八立体几何（理）-2021年高考数学真题模拟试题

（8）立体几何（理）一2021年高考数学真题模拟试题专项汇

编

1.［2021年新高考I卷，3］已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的

母线长为（）

A.2B.2近C.4D.4夜

2.【2021年新高考II卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平

面，轨道高度为36000km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为0,半

径为6400km的球，其上点A的纬度是指0A与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到

的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为a.该卫星信号覆盖的地球表面面积

S=27tr2（l-cosa）（单位：km2）,则S占地球表面积的百分比为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

4.【2021年新高考H卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则四棱台的

体积为（）

A,B.5642C.28夜1）.

33

5.【2021年全国乙卷（理），5］在正方体ABS-AqCQ中，P为BQ的中点，则直线PB与AR所

成的角为（）

A.-B.-C.-D.-

2346

6.【2021年全国甲卷（理），6］在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方

体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨

(<10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小明用一个圆锥形

容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

8.【2021年全国甲卷(理)，11】已知A,B,C是半径为1的球0的球面上的三个点，且AC_L3C,

4c=3C=1,则三棱锥O-ABC的体积为()

A.变B.且C.正D.@

121244

9.【2021年上海卷，9］已知圆柱的底面半径为1,高为2,AB为上底面圆的一条直径，点C为下

底底面圆周上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则415。面积的取值范围为.

10.【2021年全国乙卷(理)，16】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视

图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为.______(写出符

合要求的一组答案即可).

11.【2021年北京卷，17］已知正方体ABC£>—A4CQ,,点E为AA中点，直线4G交平面CDE

于点F.

(1)证明：点F为用£的中点;

(2)若点M为棱Ag上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为更，求则的值.

3A百

12.(2021年全国乙卷(理)，18］如图，四棱锥P-A8CD的底面是矩形，尸£>，底面ABCD,

PD=DC=\,M为BC的中点，且P3_LAM.

(1)求BC；

(2)求二面角A—PM—B的正弦值.

13.［2021年全国甲卷(理)，19】已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面例用8为正方形.AB=BC=2,

E,F分别为AC和CG的中点，D为棱A瓦上的点，BF

(1)证明：BFLDE；

(2)当耳。为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

14.［2021年新高考II卷，19］在四棱锥。-A8CD中，底面ABCD是正方形，若4)=2,

QD=QA=yf5,QC=3.

(1)证明：平面。ADJ.平面ABCD；

(2)求二面角8-QO-A的平面角的余弦值.

15.【2021年新高考I卷，20］如图，在三棱锥A-BCE＞中，平面4h，平面BCD,AB=AD，0

为BD的中点.

A

C

(1)证明：OAA.CD,

⑵若VOC。是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE^2EA,且二面角E-BC-。的大小

为45°，求三棱锥A的体积.

答案以及解析

1.答案：B

解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r,母线长为1.由题意可得2a=河，所

以/=2〃=2\/2.

2.答案：C

解析：由题意可知，cosa=—--=———z0.15,所以从同步卫星上可望见的地球的表

r+360006400+36000

面积S=2兀/(1-cosa)x27tr(l-0.15),此面积与地球表面积之比约为27tL。一,°,⑸x100%®42%.

4nr

3.答案：A

解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：

4.答案:D

解析:本题考查棱台的体积.将正四棱台ABCR-ABCD补成四棱锥P-ABCD，作PO_L底面ABCD

于点0,交平面AB£D、于点01,则棱台ABCR-ABCD的体积V=VP_ABCD-匕1Gq.由题意，

"=殁=2=2=4，易知，%=4,40=2也，而尸O=52片_A02=J42_(2夜.=20,

所以则VP_ABCI}=1x(4x4)x2>/2=,匕，-481c也=gx(2x2)xj5=殍，所以棱台

ABCR-ABCD的体积V=V^ABCI}-=竿-华=筝•

5.答案:D

解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a,则

AR=QB=AQ=BR=&,所以B/=PG=¥"，力尸二5/0尸+旦>2=^a.在△8C/中,

由余弦定理得cosNPBG=J,所以NPBG=*又因为AD,//BC,,所以

即为直线PB与AQ所成的角，所以直线PB与AR所成的角为四.

'6

DC

6.答案：D

解析：本题考查三视图.由正视图虚线可知所截为正方体的里面左下角，故侧视图为实线左下角.

7.答案：B

200

解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径r=N-=50,故匕.=1X7cx5O2xl5O=5O3•兀,

2"、叨11箕3

积水厚度〃=匕遒段=变==12.5,属于中雨，故选B.

S大圈K100-

8.答案：A

万

解析：本题考查三棱锥和球.设AB的中点是O,aI^O'A=O'B=O'C=—,又OA=OB=OC=1,

2

则三棱锥的高是00=立，故体积是'上屋也;正.

232212

9.答案：［2,右］

解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为0,下底面圆心记为0',连接0C,过点C作

CMLAB,垂足为点M,贝US”睦=gxA8xCM,根据题意，AB为定值2,所以工的大小随着

CM长短的变化而变化.当点M与点0重合时，CM=OC=J4+22=石,取得最大值，此时

SA.C=1X2X6=6•当点M与点B重合时，CM取最小值2,此时邑3=；x2x2=2.综上所述，

S.ABC的取值范围为⑵石】•

10.答案：②⑤或③④

解析：本题考查几何题的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.

当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1,平面R1C_L平面ABC,PA=PC=O,BA=BC=&

AC=2,此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2,上4,平面ABC,PA=l,

AC=AB=y/5,BC=2,此时俯视图为④.

11.答案：(1)证明：连接£>£,因为ABCD-ABCQ为正方体，所以AA〃4G，CD//C.D,.

又因为cz)a平面A4GR,GRU平面ABC.,所以cn//平面.

因为平面C£>EFn平面A4GR=EF，且CDu平面CDEF,所以CD//EF,所以C,D,//EF,

所以AiBt//EF//ClDt,

又因为AA〃4G，所以四边形外乌/石为平行四边形，四边形EFCQ为平行四边形，

所以AE=BF，ER=FC「而点E为AQ中点，

所以AE=ER,所以B,F=FQ,所以点F为8c中点.

(2)因为ABC£)-A81CQ为正方体，故DA,DC,OR两两垂直，

以D为坐标原点，分别以DA,DC,。。所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

令正方体ABCQ-AB|GA的棱长为2,设4力=24瓦(04彳41).

则C(0,2,0),£(1,0,2),F(l,2,2),M(2,22,2).

CE=(l,-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,22-2,2).

设平面CEF的法向量为％=a，y,zj,

则回j=°,即俨9+21。，

[CF-n.=0[玉+2马=0

故y[=0，令4=-1,x,=2,

可取a=(2,o,-i).

设平面CMF的法向量为%=(%，%，22)，

CM-=0(2X+(22-2)y+2z=0

___，即〈2-2-2

CF-n2=0[A+2Z2=0

设二面角M-CF-E为9且9为锐角故

解得九二工£[01],故皿=」.

2442

12.答案：(1)连接BD.

因为底面ABCD,且AAfu平面ABCD,

所以AM_LPE>.

又因为PBcPD=P,P3u平面PBD,PDu平面PBD,

所以AW_1平面PBD.

又3£>u平面PBD,所以AW_L3/),所以NA£)B+NDW=90。.

又NZM/W+ZM48=90°,

所以ZADB=ZMAB,所以Rt^DAB,

则拦=4竺，所以13c2=1,解得8C=0.

ABBM2

(2)易知DA,DC,DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则4夜,0,0),8(0,1,0),M

所以丽=(-夜QI),~AM=\--,1,0,BM=--,0,0,即

[2)I2)

设平面AMP的法向量为〃=(x,y,z),

r-TT,A[-V2JC+Z=0,

wn-Ar=0,

则有4____即Hr1《J?

n-AM=0,----x+y=0,

2

令x=>/2,则y=1,z=2,故〃=(>/2,l,2).

设平面BMP的法向量为机=(p,%r),

亭。,

则有卜•丽=。,即<

m-BP=0,-\[2p-q+r=0,

令4=1,则r=l,故帆=(0,1,1),

mw/M\n-m\33V14

所以cos<n,in)=------=-7=——7==-----

|n||m|77x7214

13.答案：(1)因为E,F分别是AC和CG的中点，侧面4Al始B为正方形且A8=5C=2,

所以CF=1,BF=y/5.

如图，连接AF,由BF_LAB|，AB〃A耳，得BFLAB,于是AF=4BF+AB。=3,所以

AC=jAF°-CF，=2猴.由AB'+BCJaC?得姑_LBC,故以B为坐标原点，以AB,BC,期所

在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Bxyz,

则8(0,0,0),£(1,1,0),尸(0,2,1),丽=(0,2。).

设用。=机(04相42),则。(〃?,0,2),

于是丽=(1-m,1,-2).

所以B户。月=0,所以BFLDE.

(2)易知面34CC的一个法向量为%=(1,0,0).

设面DFE的法向量为〃2=(%,y,z)，

DE•%=0,

则s

EFn2=0,

又逆=（1一九1,-2）,前=（—1,1,1）,

（1一加）尤+y-2z=0,人/口

所以,令x=3,得y=m+l,z=2-/n,

-x+y+z=0,

于是，面DFE的一个法向量为〃2=(3,机+1,2-加)，

3

所以COS〈％,〃2〉=

设面与面DFE所成的二面角为。，则sin6>=Jl—cos2(〃1,"2〉，

故当机=；时，面BBC。与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为理,即当耳短=；时，面84GC

与面DFE所成的二面角的正弦值最小.

14.答案：(1)如图，取AD的中点E,连接EQ,EC.

因为QA=Q£>=逐，所以QE_LA£>.

又因为在正方形ABCD中，4)=2,所以。E=2,EC<,

MQE'+EC2=9=QC2,所以QE_LEC.

又ECcAD=E,EC,4)u平面ABCD,

所以QEJL平面ABCD.

因为QEu平面QAD,所以平面04£>，平面ABCD.

(2)由(1)知QEJ_平面ABCD,因此以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,则

5(2,-1,0),£>(0,1,0),0(0,0,2),BD=(-2,2,0),丽=(0,-1,2).

设平面BDQ的法向量/=(x,y,z),则J〃「吧=°，即［V=*

ntDQ=01y=2z,

取z=l,得x=y=2,则%=(2,2,1).

易知平面A