2021-2022学年山西省大同市第第三中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年山西省大同市第第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是等比数列,前n项和,则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.设O在△ABC内部，且则△ABC的面积与△AOC的面积之比为

（

）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B3.已知复数，，则在复平面上对应的点位于（）A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D4.已知a，b∈R，若a﹣bi=（1+i）i3（其中为虚数单位），则（）A．a=1，b=﹣1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=1D．a=﹣1，b=﹣1参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．ks5u专题：计算题．ks5u分析：先对（1+i）i3进行化简，再由复数相等求出a和b的值．解答：解：由题意得，a﹣bi=（1+i）i3=﹣i（1+i）=﹣i﹣i2=1﹣i，则a=1，b=﹣1，故选A．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件应用，属于基础题．5.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点对称 D.关于点对称参考答案：D【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．6.已知集合U=R，集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x2-2x0}，则A∩B=

（

）A.（0，2）

B.（0，2］

C.［0，2］

D.［0，2）参考答案：

D7.已知，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：C8.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且成等差数列，则的值为（）A． B． C． D．或参考答案：B【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】题意可得，a3=a1+a2，结合等比数列的通项公式可得q2﹣q﹣1=0结合an＞0可求q，进而可求【解答】解由题意可得，a3=a1+a2即a1q2=a1+a1q∴q2﹣q﹣1=0an＞0∵q＞0∴∴故选B．【点评】本题主要考查了利用等差与等比数列的通项公式求解数列的项，属于基础试题．10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为

(

)

A.sinθ＝ρcos2θ

B.sinθ＝ρcosθ

C.2sinθ＝ρcos2θ

D.sinθ＝2ρcos2θ参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设则的值等于__参考答案：12.某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为的看台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为或，第一排和最后一排的距离，则旗杆CD的高度为

参考答案：3013.若不等式对任意都成立，则实数的最小值为

．参考答案：10014.（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．参考答案：因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，，所以球半径，所以球的表面积为。15.如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第个图中原三角形被剖分成个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为

；

．参考答案：；略16.函数的图像在点处的切线垂直于直线，则_______.参考答案：±1【分析】先求出，再解方程即得解.【详解】因为.所以.因.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：已知对于任意正数，则一定在和之间；并且比更接近．毛毛自己编制了一个算法来求的近似值（如图）．请你在①中填上适当赋值语句：_______．．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在点（0，）处的切线与直线平行，求a的值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）

由条件知，

因为函数在点的切线与直线平行所以,

（Ⅱ）①当时，，在上，有，函数增；在上，有函数减，

函数的最小值为0，结论不成立．②当时，

(1)若，，结论不成立

(2)若，则，在上，有，函数增；在上，有，函数减，只需，所以

(3)若，则，在上，有，函数减；在,有,函数增;在上，有，函数减函数在有极小值，只需得到，因为，所以综上所述可得

【思路点拨】根据导数的意义求出参数a，再根据单调性求出极值最值确定参数的范围。19.设Sn为数列{an}的前n项和，已知，.（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和.参考答案：（1）由，可知，两式相减得，即，∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式；（2）∵，∴，∴数列的前项和.

20.在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B，则，；所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为；…（或）

…（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3；

…则，，，；

…所以随机变量X的分布列为：X0123P…数学期望为．…21.（本小题满分12分） 已知抛物线y2=2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (Ⅰ)求t，p的值； (Ⅱ)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且

（其中O为坐标原点）.(ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.参考答案：（1）p=2（2）

96【知识点】抛物线及其几何性质H7（1）由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.（2）(ⅰ)设直线AB的方程为，、， 联立得，则，. 由得：或（舍去）， 即，所以直线AB过定点； (ⅱ)由(ⅰ)得， 同理得， 则四边形ACBD面积 令，则是关于的增函数， 故.当且仅当时取到最小值96.【思路点拨】根据抛物线性质求出方程，直线和抛物线联立求出最小值。22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）由将参数方程化为普通方程，由将=2化为普通方程；（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出的表达式，再由二次函数求最值.试题解析：（1）曲线的普通方程为，……2分

曲线的普通方程为.

……4分

（2）法一：由曲线：，可得其参