2021年浙江省杭州市综合中学高三数学理模拟试题含解析

2021年浙江省杭州市综合中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】首先由余弦定理求出BC的长度，然后由数量积公式求值．【解答】解：由已知等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，得到BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos150°=2+；且B=15°，所以=1××cos（180﹣15）°=﹣=﹣=﹣=﹣﹣1；故选A．【点评】本题考查了平面向量的运算；化简二次根式是本题的易错点．2.已知（+i）?z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】解：（+i）?z=﹣i，∴（+i）（﹣i）?z=﹣i（﹣i），∴4z=﹣1﹣i，∴z=﹣﹣i，复数z对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于复平面内的第三象限．故选：C3.根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.若x，y满足则的最大值为A.0 B.1C.2 D.4参考答案：D【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线距离的倍最大，据此可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：D.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．5.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是()A、0

B、

C、1

D、参考答案：A略6.函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，3]参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2＜x≤3，故选：B．7.有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（） A．1 B． C． 1 D． 1参考答案：D略8.等于

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知双曲线的右焦点为F,以F为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若（其中O为原点），则双曲线C的离心率为A． B．

C．

D．参考答案：D10.如右图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B.C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，cosC=﹣，则sinB=_________．参考答案：略12.二次函数的部分对应值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406则不等式的解集是

．参考答案：13.将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合]A、B、C，其中，，，若A、B、C中的元素满足条件：，，1,2，…，，则称为“完并集合”.（1）若为“完并集合”，则的取值集合为

.（2）对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是

.参考答案：①，②14.若正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于______．参考答案：略15.一个几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的体积为______．参考答案：16

考点：三视图、棱锥的体积.16.已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是

．参考答案：

考点：双曲线试题解析：因为直线与双曲线交于两点，

所以，

故答案为：

17.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为

．参考答案：﹣【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点。

（I）求证：平面CFB1⊥平面EFB1；

（Ⅱ）若求三棱锥B1一EFC的体积为l，求此正方体的棱长．参考答案：略19.已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是为参数）.（1）求直线被曲线截得的弦长；（2）从极点作曲线的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.参考答案：解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是，其圆心到直线的距离是，所求的弦长是.（2）从极点作曲线的弦，弦的中点的轨迹的参数方程为为参数）且，其普通方程为，极坐标方程，化简得.20.已知椭圆E的方程是+=1，左、右焦点分别是F1、F2，在椭圆E上有一动点A，过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．（Ⅰ）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（Ⅱ）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设直线方程，代入椭圆方程，若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，由向量数量积的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故四边形ABCD不能是菱形；（Ⅱ）由三角形的面积公式SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得ABCD的面积取到最大值及m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程：+=1，F1（﹣1，0），如图，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x=my﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，即?=0，∴x1x2+y1y2=0，…又x1x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=m2y1y2﹣m（y1+y2）+1，∴（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0，得到=0，显然这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形．…（Ⅱ）由题SABCD=4S△AOB，而S△AOB=丨OF1丨丨y1﹣y2丨，又丨OF1丨=1，即SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，…由（Ⅰ）知y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴SABCD=2==24，∵函数，t∈[1，+∞），在t=1时，f（t）min=10，…∴SABCD的最大值为6，此时m2+1=1，即m=0时，此时直线AB⊥x轴，即ABCD是矩形．…21.已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．参考答案：略22.

机床厂2001初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．(1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ）当年平均盈利