高中数学五第三章4基本不等式（1）教案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课题：3.4基本不等式第课时总序第个教案课型:新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日教学目标：1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣批注教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点：基本不等式等号成立条件教学用具：投影仪教学方法：通过实例探究抽象基本不等式教学过程：1。课题导入基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2。讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。2．得到结论：一般的，如果3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为当所以,,即4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的,如果a〉0,b>0，我们用分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证（1)只要证a+b(2）要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（—)(4）显然,(4）是成立的。当且仅当a=b时,(4）中的等号成立.3）理解基本不等式的几何意义探究:课本第110页的“探究"在右图中,AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝。这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合,即a＝b时,等号成立。因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。2。在数学中，我们称为a、b的算术平均数,称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。［补充例题]例1已知x、y都是正数,求证:(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2)（x3＋y3）≥８x3y3。分析:在运用定理：时,注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件），进行变形.解：∵x，y都是正数∴＞0,＞0，x2＞0，y2＞0,x3＞0，y3＞0(1）＝2即≥2.（2）x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2)(x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）(x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.随堂练习1。已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理:（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果。解:∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2＞0b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）(c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数(）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们