高中数学立体几何解答题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精立体几何解答题C1、已知三棱柱，底面三角形为正三角形,侧棱底面，，为的中点，为中点．C（Ⅰ）求证:直线平面;（Ⅱ）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．1、法一（Ⅰ)取的中点为，连接，则，，且,…………3分则四边形为平行四边形,则，即平面．………………6分(Ⅱ）延长交延长线于点，连接，则即为平面与平面的交线，且，则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．……8分在中,．…………12分法二取中点为,连接，以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴建立空间直角坐标系，则,，……2分(Ⅰ）则，，设平面的法向量为，则,即………………4分令，则，即，所以,故直线平面．………………6分（Ⅱ）设平面的法向量，则．………………12分2、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．(1）求证:BC⊥A1D；（2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．解：（1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O， 因为BC⊥CD,A1O∩CD＝O,∴BC⊥面A1C 因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1 D．(6分） （2）连结BO,则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角． 因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1B C．A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1 在Rt△DA1C中，A1D＝3,CD＝5，∴A1 根据S△A1CD＝eq\f（1，2）A1D·A1C＝eq\f(1,2)A1O·CD，得到A1O＝eq\f（12,5）, 在Rt△A1OB中,sin∠A1BO＝eq\f(A1O，A1B)＝eq\f(\f（12,5)，5)＝eq\f（12,25)． 所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(12,25）．（12分）3、如图,PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点,点E在边BC上移动．（Ⅰ)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;（Ⅱ）证明:无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；(Ⅲ)当BE等于何值时，二面角P—DE-A的大小为45°．思路点拨：本题是一个开放型问题,考查了线面平行、线面垂直、二面角等知识，考查了同学们解决空间问题的能力。（Ⅰ)利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（Ⅱ）通过证明即可解决；(Ⅲ）作出二面角的平面角，设出BE的长度,然后在直角三角形DCE中列方程求解BE的长度.本题也可利用向量法解决。解：解法一：（Ⅰ)当点为的中点时，与平面平行．-——--——1分∵在中,、分别为、的中点，∴∥又平面，而平面∴∥平面．………4分（Ⅱ）证明：，，又，又，∴．---—--—-———------—--——--——-——-———6分又,点是的中点,，．．………8分（Ⅲ）过作于,连，又∵，则平面,则是二面角的平面角，∴,………10分∵与平面所成角是,∴，∴,．∴,，设，则，,在中，,得．………12分解法二：(向量法)（Ⅰ）同解法一………………4分（Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，则，，，．设，则∴………8分(Ⅲ）设平面的法向量为，由,得：，而平面的法向量为，∵二面角的大小是,所以=，∴，得或（舍）．………………12分归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系,再从结论入手分析所要证明的平行(垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容.4、如图,在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．（I）当时,求证平面（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小．解：（Ⅰ)在平行四边形中，由，，，易知,…2分又平面，所以平面,∴，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，，,又，∴，可得。∴,……5分又∵，∴平面．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,，，可知为二面角的平面角，，此时为的中点。……………8分过作，连结,则平面平面,作,则平面,连结，可得为直线与平面所成的角．因为，，所以.……………10分在中，，直线与平面所成角的大小为.……12分解法二:依题意易知,平面ACD．以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（Ⅰ)由有，……………3分易得，从而平面ACE．……6分(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.又，则E为的中点，即，………………8分设平面的法向量为则，令,得，…………10分

从而，所以与平面所成角大小为．………………12分5、如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．（Ⅰ)证明：平面平面;（Ⅱ）求棱与所成的角的大小;（Ⅲ）若点为的中点,并求出二面角的平面角的余弦值．证明：（Ⅰ）∵面∴,—-—--—1分又，∴面，-----—3分∵面，∴平面平面;—-———-4分（Ⅱ)以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则，,---———6分，故与棱BC所成的角是．-—-—--8分(Ⅲ）因为P为棱的中点，故易求得．-—--——9分设平面的法向量为,则，由得令,则——-——-11分而平面的法向量=（1，0,0)，则—-——--12分ABDEABDEC故二面角的平面角的余弦值是—-————13分6、已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8,E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△，使得平面⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：平面ABD；(Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ）求二面角的余弦值．证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8,沿直线BD将△BCD翻折成△可知CD=6，BC’=BC=10,BD=8，即，故．……2分∵平面⊥平面，平面平面=，平面，∴平面ABD5分（Ⅱ)由（Ⅰ）知平面ABD,且,如图,以D为原点，建立空间直角坐标系．6分ABDECxyz则，ABDECxyz∵E是线段AD的中点，∴,．在平面中，，，设平面法向量为，∴,即，令，得,故．8分设直线与平面所成角为，则．…9分∴直线与平面所成角的正弦值为．10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为,而平面的法向量为，∴,因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为7、如图，四棱锥的底面是直角梯形，,,和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．(Ⅰ）求证：平面；(Ⅱ）求证:平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：设为的中点，连接,则F∵，，，F∴四边形为正方形，∵为的中点,∴为的交点，∵，∴，∵，∴，，在三角形中，，∴，4分∵,∴平面;5分（Ⅱ）方法1：连接，∵为的中点,为中点,∴，∵平面，平面,∴平面.9分F方法2：由(Ⅰ）知平面，又，所以过分别做的平行线,以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，F由已知得：，，，，，，则，，,.∴∴∵平面,平面，∴平面；9分（Ⅲ)设平面的法向量为，直线与平面所成角,则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，∴直线与平面所成角的正弦值为。14分8、如图，已知菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起,使，得到三棱锥。（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；(Ⅱ）求二面角的余弦值；M（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置,使得，并证明你的结论。M（Ⅰ)证明：因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线,.1分因为平面,平面，所以平面。3分ABCODxyABCODxyzM因为，所以，.4分又因为菱形,所以，.建立空间直角坐标系，如图所示.。所以6分设平面的法向量为,则有即：令,则，所以。7分因为，所以平面.平面的法向量与平行，所以平面的法向量为.8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.9分（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，，则，所以，10分则,，由得，即,11分解得或，12分所以点的坐标为或。13分（也可以答是线段的三等分点，或）9、如图，在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90º，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD.(1）若点O为线段AC的中点，求证:；（2）求平面与平面所夹的角。10、如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点。（1）求证:平面ABCD；（2）求证：(3）若二面角D-PA-O的余弦值为，求PB的长。（Ⅰ）证明：因为，是的中点，所以，又侧面PBC⊥底面ABCD,平面，面PBC底面ABCD，所以平面．┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ)证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设,则,，, 因为，所以， 即．┄┄┄┄┄┄8分（Ⅲ）解：设平面和平面的法向量分别为,注意到，，，由，令得，，由令得，,所以，解之得，所以为所求．┄┄┄┄┄┄12分11、ABCDEA1B1C1(第11ABCDEA1B1C1(第11题图)（1）若BB1=BC，B1C⊥A1B,证明:平面AB1C平面A1BC1（2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥B1DE，求的值． 解：(1)因为BB1=BC,所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．………又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1,…………又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．（2）设B1D交BC1于点F,连结EF,则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF．因为A1B//平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1B//EF．……11分所以＝．又因为＝，所以＝．…………14分12、如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，，现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ)求证：DC平面ABC;图甲图乙（Ⅱ）图甲图乙（Ⅲ）求二面角B－EF－A的余弦．（Ⅰ）证明:在图甲中∵且∴，，即…………(1分）在图乙中,∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………（3分）又，∴DC⊥BC,且∴DC平面ABC．…………（4分）（Ⅱ）解法一：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD,又由（1）知,DC平面ABC，∴EF⊥平面ABC,垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角……………(5分）在图甲中，∵,∴,设则,，……（7分)∴在Rt△FEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为．……(8分)解法二:如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，……（5分）可得,,,，∴，……(6分）设BF与平面AB