高中数学教学案.余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课题：1．1．2余弦定理授课类型:新授课【教学目标】1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.【教学过程】[创设情景]C如图1．1—4，在ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c，已知a,b和C，求边cbaAcB(图1．1—4）［探索研究］联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1．1—5，设,，，那么，则CB从而（图1．1-5)同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=,则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。【典例分析】例1．在ABC中，已知,，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:⑵解法一:∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴评述：解法二应注意确定A的取值范围。【变式训练1】．在△ABC中，若，则解：例2．在ABC中，已知，，,解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）例3。例2.在△ABC中,=，=，且,是方程的两根，。求角C的度数;求的长；（3）求△ABC的面积。解：（1）（2）因为，是方程的两根，所以（3）评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。【变式训练2】在△ABC中，，求。解:，而所以【课堂演练】1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．解：设中间角为,则为所求答案：B2。以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C。钝角三角形 D。锐角或钝角三角形解：长为6的边所对角最大，设它为，则答案：A3。如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C。 D。解:设顶角为C，因为，由余弦定理得：答案：D4。在中，角A、B、C的对边分别为、、，若,则角B的值为（）A. B. C.或 D.或解:由得即，又B为△ABC的内角，所以B为或答案：D5．在△ABC中，若,则最大角的余弦是（）A．B．C．D．解：，为最大角，答案:C6.在中，,则三角形为(）A.直角三角形 B。锐角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为答案：C[课堂小结］（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。作业:第11页［习题1.1]A组第3（1），4(1）题.§1．1．2余弦定理【课前学案】【预习达标】在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c,1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b,DC=b，BD=a。由勾股定理得c2===;同理得a2=；b2=。2．cosA=；cosB=；cosC=。【典例解析】在三角形ABC中,已知a=3,b=2，c=，求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精确到0。1）例2三角形ABC的顶点为A（6,5),B（-2，8）和C（4,1），求∠A（精确到0。1)例3已知的周长为，且．(=1\*ROMANI）求边的长；（=2\*ROMANII）若的面积为，求角的度数．【双基达标】1。已知a,b，c是三边之长,若满足等式（a＋b－c)（a＋b+c）=ab，则角C大小为()A.60oB。90oC.120oD.150o2．已知的三边分别为2,3，4，则此三角形是（)A.锐角三角形B.钝角三角形C。直角三角形D。等腰直角三角形3．已知,求证：(1)如果=，则∠C为直角；（2）如果>,则∠C为锐角；（3)如果〈，则∠C为钝角.4．已知a：b:c=3：4：5,试判断三角形的形状。5．在△ABC中,已知，求△ABC的面积6．在，求(1）(2）若点【典例解析】例1（见教材）例2（见教材）例3解：（=1\＊ROMANI）由题意及正弦定理，得，,两式相减,得．（=2\＊ROMANII)由的面积，得由余弦定理，得 ，所以．【课堂演练】1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．2。以4、5、6为边长的三角形一定是(）A.锐角三角形 B。直角三角形C.钝角三角形 D。锐角或钝角三角形3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B. C。 D.4.在中,角A、B、C的对边分别为、、,若,则角B的值为（)A. B。 C.或 D.或5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是(）A．B．C．D．6.在中，,则三角形为（）A。直角三角形 B。锐角三角形C。等腰三角形 D.等边三角形【课后训练题】1．在△ABC中，若，则其面积等于（)A．B．C．D．2.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是．3．在△ABC中，若，则4．若三条线段的长分别为5，6，7,则用这三条线段能组成（)三角形。

A。锐角 B。钝角C.直角D.等腰5。△ABC中,若a4+b4+c4=2（a2+b2)c2则∠C的度数（）

A、600B、450或1350C、12006。设a，a+1,a+2是钝角三角形的三边,则a的取值范围是()

A.B。C。D.4〈a〈67.△ABC中，a,b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0，则△ABC（）8。在△ABC中，a=1，B=450，,则△ABC的外接圆的直径是.9.在△ABC中,,则角A=。三．解答题10。在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3：7：4：10，求AB的长.11.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.12.在中，角所对的边分别为，且满足,．（I）求的面积；（II）若，求的值．课题:§1．1．2余弦定理应用授课类型：习题课【教学目标】掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。【教学重、难点】重点：熟练应用余弦定理。难点：解三角形，判断三角形的形状。【教学过程】【知识梳理】1．余弦定理：（1）形式一：,，形式二：，，，（角到边的转换)2。解决以下两类问题:1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中4。解决以下两类问题：1)、已知三边，求三个角；（唯一解)2)、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解)【典例应用】题型一根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝（eq\r(3)＋1)∶（eq\r(3）－1）∶eq\r(10），求最大角.解:∵eq\f(a,sinA)＝eq\f（b,sinB）＝eq\f（c，sinC）＝k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(eq\r(3）+1）∶（eq\r(3）－1)∶eq\r(10）设a＝(eq\r(3）＋1）k，b＝(eq\r(3）－1）k，c＝eq\r(10)k（k＞0)则最大角为C。cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f((eq\r（3)＋1）2＋(eq\r（3)－1)2－eq\r（10）2，2×（eq\r（3）＋1）(eq\r(3)－1））＝－eq\f(1，2）∴C＝120°。评析:在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中,大边对大角,所以角C最大。[变式训练1］在△ABC中,若则（）A．B．C．D．解:答案：B题型二：题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根,。求角C的度数;求的长；（3）求△ABC的面积。评析:在余弦定理的应用中,注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点.[变式训练]1在△ABC中，2。钝角△ABC的三边长为连续的自然数,求三边的长。题型三：判断三角形的形状例3。在中，若，试判断的形状。解：方法一：由正弦定理和已知条件得：，∵，∴,即,∵B、C为的内角，∴，故为直角三角形。方法二：原等式变形为:，即：,由余弦定理得：故为直角三角形。评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。[变式训练2］1。在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形 B。直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由2cosBsinA=sinC得×a=c,∴a=b.答案：C2。在中，，则三角形为（）A。直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形 D。等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为答案：C［典例训练］1．在△ABC中,若，则等于（）A．B．C．D．2．若为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是(）A．B．C．D．3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（）A．B．C．D．5．在△中，若，则等于(）A．B．C．D．6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．7.在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？8．在△ABC中，求证：9．在△ABC中,设求的值。10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°,求三角形的周长最小值。[课堂小节］:熟练应用余弦定理解三角形,判断三角形的形状。［课下作业]：［典例训练]部分的5、7、10：§1．1．2余弦定理应用［课前学案］[课前回顾]1。∠A=60°，∠B=30°，a=3,则b=,c=,∠C=2。∠A=45°，∠B=75°，b=8，则a=,c=,∠C=。3.在ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则ABC是4．在ABC中，acosA=bcosB,则ABC是。5。在ABC中，s,则ABC是。6.在ABC中,a2+b2=c2，则ABC是三角形.7。在ABC中，a2+b2>c2,a2+c2>b2c2+b2〉a2则ABC是8。在ABC中，a2+b2〈c2,则ABC是三角形。9.在ABC中,a∶b∶c=5∶12∶13则ABC是三角形。10。在ABC中，，则∠A=。11．a=4，b=3，∠C=60°,则c=。12。a=2,b=4,c=3,则∠B=。13．在ABC中，b=4,c=3，BC边上的中线,则∠A=,a=,S＝.［达标演练］1．在中，，,，则此三角形的最大边的长为__________．2．在中,,，,则_________，________．3．在中，已知，，，则___________．4．在中,，，，则的面积是（）A．B．C．D．5．在中，若，则的值为（）A．B．C．D．6．在中，若,则这个三角形中角的值是（）A．或B．或C．或D．或7．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角、、所对的边分别为、、，则的值为(）A．B．C． D．9已知两线段，,若以、为边作三角形，则边所对的角的取值范围（)A． B．C． D．10．在中，，若此三角形最大边与最小边之比为，则最大内角（)A．B．C．D．11．在中,角、的对边分别为、，且，则的取值范围是（)A． B．C．D．12．（1）在中，已知，,，求及、的值;(2）在中，已知,，，解此三角形．13.（文科做)（07山东文17)在中，角的对边分别为．(1）求；（2）若，且,求．：§1．1．2余弦定理应用