雷达成像技术(保铮word版)第三章-方位高分辨和合成孔径

PAGEPAGE4第三章方位高分辨和合成孔径要得到场景的二维平面图像，同时需要距离和方位二维高分辨，这一章主要讨论方位高分辨。雷达本质上是一种基于距离测量的探测系统，容易获得高的距离分辨率，方位分辨率是比较差的。方位分辨率决定于雷达天线的波束宽度，一般地基雷达的波束宽度为零点几度到几度，以窄一些的波束为例，设天线波束宽度等于0.01弧度（即约0.57°）为例，它在距离为50公里处的横向分辨约为500米，显然远远不能满足场景成像的要求。需要大大提高方位分辨率，即将波束宽度作大的压缩。天线波束宽度与其孔径长度成反比，如果要将上述横向分辨单元缩短到5米，则天线横向孔径应加长100倍，即几百米长。这样长的天线，特别要装在运动载体（如飞机）上是不现实的，实际上对固定的场景可以用合成孔径来实现。3.1合成阵列的概念合成阵列与实际阵列的异同现代天线阵列常用许多阵元排列组成，图3.1示用许多阵元构成的线性阵列，阵列的孔径可以比阵元孔径长得多。图3.1的阵列可以是实际的，也可以是“合成”的。所谓合成是指不是同时具有所有的阵元，而一般只有一个阵元，先在第一个阵元位置发射和接收，然后移到第二个阵元位置同样工作，如此逐步右移，直到最后一个阵元位置，如果原阵列发射天线的方向图与单个阵元相同，则用一个阵元逐步移动得到的一系列远场固定目标（场景）信号与原阵列各个阵元的在形式上基本相同（其不同点将在下面讨论），条件是发射载波频率必须十分稳定。下面通过分析证实上述结论。设发射载波信号为（是起始相位，是我们故意加上去，说明初相的影响），利用2.2节中三种时间（即全时间，慢时间和快时间）的概念，设在时刻在第个阵元发射包络为的信号，则发射信号为（3.1）式中快时间。若在场景中有众多的散射点，设它们到第个阵元相位中心的距离分别为，子回波幅度为（），则第个阵元的接收信号为（3.2）若用发射的载波与接收信号作相干检波，得基频信号为（3.3）上式中没有全时间，又由于目标是固定的，不随慢时间变化，所以只要阵元位置准确，什么时间测量都是一样的。再强调一下，条件是发射载波在全过程不同，也就是照射多普勒频率不同，从而能加以分辨。如上所述，为了提高横向分辨率，应减小天线横向孔径。但天线孔径取多大还要考虑雷达其它因素，例如孔径减小会使天线增益随之降低，通常是有限制的。但（3.9）式横向分辨率的限制是在天线射线方向不变方式下得到的，这样的方式是用来观测与航线平行的条带，称为条带模式（Stripmapmode），这时雷达射线对目标射线的转角受波束宽度限制。如果天线波束指向可以改变，为了更细致地观测某一较小的特定地区，可以在飞行过程中不断调控天线波束在较长时间指向该地区，这显然可对目标有更大的观测角，而不受波束宽度限制，这种方式为集中观测一特定区域，称为聚束模式（Spotlightmode）。后者在后面还要详细介绍。条带模式和聚束模式的示意图如图3.4所示。聚焦模式和非聚焦模式在天线技术里，天线方向图及波束宽度等都是远场条件下分析的，所谓远场即设电磁波为平面波。实际上点辐射源的辐射为球面波，只是在距离很远处，球面波可用平面波近似。以阵列接收天线为例，在平面波假设条件下，根据来波方向和各阵元的空间几何位置，计算出各阵元上同一时间的信号；发射天线也一样，根据要求的波束指向，在平面波假设条件下，从各阵元的激励信号计算空间场强与方向的关系，所得到的方向图只和方向有关，而和距离无关。用距离“很远”作为平面波近似的条件是不科学的，“很远”究竟是多远？以图3.5的线性阵列接收点辐射源为例，若设入射波为平面波，从阵列法线方向射入，则各阵元接收到的信号是同相的；严格地说，这只在时成立。如果为有限值，波前应为图中所示的球面波，在同一时刻各阵元上接收信号的相位是不相同，离阵列中心越远，相位的导前量也越大，当将各阵元信号作相干处理而直接相加时，为使信号相位的不一致不产生大的影响，对两端相位的导前量应加以限制，例如要求其不大于，雷达一般作双程工作，这里要求图中的单程波程差不大于（即双程波程差不大于），按图3.5的几何关系，得即（3.10）或②②实际上，当阵列上的信号相位基本相同时，阵列的增益随长度加长而加大；由于球面波的影响，长度进一步加长，增益的增加会趋缓。有些文献，用增益曲线斜率为0处的阵列长度称为极限长度。这时（3.9）式的结果应为。对一般雷达，上述条件总是满足的，以波段为例，厘米，设孔径米，则远场条件为米，这是不成问题的。但对同波段的合成孔径雷达就不同了，若合成孔径长度为200米，则（3.10）式的远场条件为公里，而一般机载SAR只有几十公里，相差甚远；星载SAR一般为千余公里，但星载SAR的合成孔径通常为几千米或更长，远场条件同样远远不能满足。因此，合成孔径雷达通常在近场条件下工作。为此，下面讨论近场条件如何实现相干接收，以及这时的天线方向图。设图3.5里的是一个点目标，阵列为合成阵列，各阵元自发自收。从图中可见，阵列位置不同，到点的距离也不同。设阵列上的某点，距离阵列中心的距离为，则到的距离比法线距离大由于双程波程差，点的信号的相位较点导前（3.11）式中后一个近似等式用了的条件，常称为Fresnel近似。在实际情况，最大的（即点位于阵列端点）一般以厘米计或以米计，比起微波波长已经很可观，但比起几十公里的观测距离（即）还是很小的，距离长度的微小不同对信号幅度的影响可以忽略不计，主要讨论它们的相位关系。以阵列中心为准（，），可根据（3.11）式画出信号相位沿阵列的分布，它近似为抛物线分布。从上述分析可知，在阵列孔径较大时，对各阵元的信号直接相加是不行的，号间会有大的相位差。为了在这种情况下仍能相干相加，必须作相位校正，即按图3.6的相位分布加移相器加以校正（如为数字处理，则可在数字运算中完成）。这实际上即匹配滤波的概念。从图3.5还可看出，当通过相位校正对点目标实现相干接收时，不仅点上下，而且它的前后的目标，阵列输出信号都不会完全相干，而使合成输出信号幅度下降，通常称之为对点聚焦。在聚焦模式下，线性阵列的天线方向图是二维的，即不仅与方位有关，还和距离有关。下面推导这一二维方向图。如图3.7所示，用表示场景的坐标（以点为原点），场景中任一点到阵列上点的距离与距离之差为（3.12）根据上述距离差可以计算出合成阵列工作时由双程波程差而产生的阵列各点的相位差，在通过图3.7对点聚焦的相位校正，求出合成信号幅度与坐标（）的关系，计算不困难，但比较繁琐，这里从略。应当指出的是，虽然形成了二维波束但在纵向和横向的分辨率是不一样的，长的合成孔径具有高的横向分辨率，但纵向分辨率相当差。下面对它的纵向分辨率作一些分析，为此设而改变，即点目标只沿纵向变化。这里点目标到阵列上点的距离为与点目标位于点时相比，两者在点处的相位差为（3.13）上式即阵列已对点聚焦后，将目标移远距离而使阵列信号发生新的变化。为了比较阵列上不同处的相位，与无关的常数相位对相干处理没有影响，（3.13）式中需加注意的为项。举一个数字例子，设厘米，公里，米，该项变化的相位约为弧度，若位于阵列端点米，则该处信号感兴趣的信号相位分量只有0.25弧度。可见，虽然阵列对点聚焦，纵向远离100米处的目标，其回波相位沿阵列的分布变化很小，合成信号幅度较峰点（点）处下降很少。仍用上面的参数，取合成孔径长度为200米，阵元（即装于飞机的实际天线）间隔为0.5米。对法线距离40公里处聚焦的二维波束如图3.8所示，其中（a）为立体图，（b）为主波束的等值线图，以峰值下降3分贝为准，横向波束宽度为米，而纵向波束宽度米，两者相差很远，二维波束呈刀片状，为了能看清楚，图中的横向和纵向坐标用了不同的尺度。有关纵向分辨率差，有两个问题需加说明：其一是合成孔径雷达只靠合成阵列获得高的横向分辨率，而用宽频带信号获得高的纵向分辨率；其二是纵向分辨率差会给聚焦处理带来方便，为使观测条带各处均能很好聚焦，有时需将条带沿纵向分成若干段，每段的长度称为聚焦深度，纵向波束越宽，则聚焦深度也越长，分段数可少一些。这种随距离变化的聚焦方式称为动态聚焦。最后还要补充说明一下，为得到合成阵列的二维波束，用连续波也是可以的，这时在各个阵元处得到的基频信号为一复常数，从而得到各阵元的相位值。如果合成阵列用单频窄脉冲发射（实际上如用线性调频的宽脉冲发射，通过对接收回波的脉压处理，也可等效单频窄脉冲），则得到的基频信号也为窄脉冲，其复振幅即连续波时的复常数，这时可视为对连续波采样。合成信号为将各阵元的脉冲作聚焦滤波处理。这里应当指出的是不同阵元处到目标的距离是不同的，如果场景里只有一个点目标，可不管回波距离的差别，只要将每次的脉冲回波复振幅作合成处理就可以了。如果在场景里有不同距离的多个目标，就需要根据所需处理目标位置的先验知识，将各次脉冲在距离上对齐，才能再作处理，详细情况后面还要介绍。这一小节的最后我们介绍非聚焦模式，所谓非聚焦就是将各阵元得到的信号不加相位校正而直接相加。图3.4已经说明了这种模式只能用于合成孔径较短的场合，其极限情况如图3.6所示，在孔径边缘处的单程波程差为，孔径极限长度为，而不是由实际波束照射限制的（3.9）式。将该极限长度代入（3.8）式，得非聚焦的为（3.14）上式的推导中忽略了合成阵列两端相位变化的影响。在推导（3.10）式时，我们在那里注明，用增益最大定义孔径极限长度，则长度应为。这里考虑阵列上信号的相位变化，（3.14）式仍然成立。从上面的讨论可知，对于实际阵列，由于波束宽度一定，横向分辨单元长度和距离成正比，距离越远，横向分辨越差。聚焦模式合成阵列充分利用了实际阵元波束的照射宽度，通过相位校正处理，横向分辨单元长度可保持为常数，而与距离远近无关。非聚焦模式合成阵列介乎两者，其孔径长度受到较严格的限制，而横向分辨单元长度与距离的次方成正比。运动平台的合成孔径雷达横向成像为使读者能对合成阵列的特性，以及它和实际阵列的关系有清晰的概念，在上一节里，我们是用一个阵元自发自收，将该阵元移动到指定的位置上，分别获取场景的回波数据，然后进行合成处理。只要发射信号载频十分稳定，且场景目标固定不动，则与在各阵元处什么时候测量，以及用什么顺序测量都没有关系。实际合成孔径雷达是装置在运动载体（如飞机）上，载体平台平稳地以速度直线飞行，而雷达以一定的重复周期发射脉冲，于是在飞行过程中在空间形成了间隔为的均匀直线阵列，而雷达依次接收到的序列数据即相应顺序阵元的信号。因此可用二维时间信号――快时间信号和慢时间信号分别表示雷达接收到的回波信号和雷达天线（即合成阵列的阵元）相位中心所处的位置。用时序信号进行分析处理更适合雷达工程技术人员的习惯。在这一节里我们用时域信号分析和处理的概念和方法来讨论合成孔径技术。为简单起见，暂假设载体以理想的匀速直线飞行，即在空间形成的阵列为均匀线阵，而不存在误差。严格地说，载机运动形成的阵列和上一节逐次移位形成合成阵列还是有区别的，前者为“一步一停”地工作，而后者为连续工作，即在发射脉冲到接收回波期间，阵元也是不断运动着的。不过这一影响是很小的，快时间对应于电磁波速度（即光速），而慢时间对应于载机速度，两者相差很远，在以快时间计的时间里载机移动很小，由此引起的合成阵列上的相位分布的变化可以忽略。为此，在这一节里我们仍用“一步一停”的方式，用快、慢时间分析。合成孔径雷达通常发射周期性的线性调频脉冲，由于要对接收回波在较长的相干时间（以秒计）内作相干处理，发射载频信号在全过程必须十分稳定，为全时间，而第个周期发射的信号为（3.15）式中，为调频率，和分别为慢时间和快时间，，信号频带。这些均与第二章2.2节相同。若目标是距离为的理想点目标，则接收回波的形状与发射信号相同，只是时间上（包括快时间和全时间）滞后了，其中为光速。将回波变换到基频，并作匹配滤波的脉压处理，接收回波为（3.16）上式表明，当飞机沿直线飞行时，由于目标到雷达的距离是变化的，回波脉冲的滞后也随之变化，同时也使回波相位发生变化，它们都与距离成正比，回波包络滞后和相位变化的曲线分别如图3.9（a）和（b）所示。实际上，接收回波振幅也是变化的，若天线向正侧方照射，则当目标正在波束射线上时振幅最大。因为雷达成像只能利用主波束，所以图3.9中的曲线长度与主波束扫过目标的时间相当。图3.9（a）和（b）画的是位于处的点目标回波的包络和相位历程，到航线的垂直距离为，称为最近距离。图3.9所示的回波相位历程还可以用多普勒表示（3.17）由于,将其近似式代入上式，得（3.18）即接收回波在慢时间域为一线性调频波（LFM），其调频率为（3.19）当用条带模式对场景成像时，通常用场景的中心线（平行于载机航线）作为参考线，若该线与载机航线的距离和载机速度已知，则该信号的参数容易计算得到：线性调频率可由（3.19）式计算，信号时宽即波束扫过目标所需的时间，考虑的3dB波束宽度为（为实际天线横向孔径），该时宽为，即该LFM信号的多普勒带宽为。多普勒带宽的倒数即横向压缩后的时宽，它相当的横向距离为。这与前面用合成阵列分析的结果相一致。若场景中心线上分布有许多个散射点，则当载机飞过时，从每个散射点在慢时间域形成一LFM回波序列，它们混合在一起，画在平面里如图3.10所示，将这一慢时间序列通过参数与之相匹配的脉压系统，得到横向高分辨的一系列脉冲，从而实现了横向高分辨。有关横向高分辨的实现还有几个问题需加以说明。首先要提出的是虽然与载机航线相平行的一系列目标具有平移不变性，但对不同纵向距离的目标回波，其调频率是不一样的，即目标的系统响应沿纵向距离具有空变特性，而在匹配滤波时要注意对不同的纵向距离应采用与之相应的匹配函数。这就是前面提到过的动态聚焦。不过，前面也提到，实用的合成孔径二维波束的纵向波束很宽，即系统函数沿距离的空变是缓慢的，可以将条带场景沿纵向分段，而在同一个段里用同一个匹配函数。近年来，由于信号处理技术和微电子技术的迅速发展，不分段而直接采用连续空变的匹配函数也不难实现。另一个问题是将各次脉冲回波通过相位校正后相加作相干处理，应考虑如图3.9（a）所示的回波脉冲时延随变化，即序列脉冲求和应在特定的曲线上进行，这是比较麻烦的，通常的做法是先将由距离变化所形成的曲线补偿成为直线，然后沿直线作求和的相干处理，具体做法将在后面第5章里介绍，这里从略。应当指出，距离变化对相位校正和包络对齐的影响是不一样的，前面提到过，与球面波前相比较，若线性阵列上最大的波程差超过就应当作相位校正，对微波雷达来说，其距离变化的限制为厘米级或毫米级。包络对齐就不一样，距离分辨单元一般为亚米级、米级或更长，最大距离变化不超过距离分辨单元的1/4~1/8，则可以只作相位校正而不作距离对齐。在上面所有的讨论里，我们都假设实际天线是正侧视的，即波束射线与载机航线垂直，这是条带模式的习惯用法。不过，在有些实际场合，要求斜视工作，即实际天线波束射线与载机航线的法线方向成一定的斜视角，这时波束扫过目标所得回波历程不像图3.9（a）、（b）所示的对称形式，而是偏向斜视的一边。有关斜视条带模式的情况也将在后面详细讨论。在这一节的最后，我们简单总结一下用多普勒分析的合成孔径雷达成像的工作过程。设场景里有三个散射点、和［图3.11（a）］，载机在飞行过程中周期性地发射LFM脉冲信号。将采集到的回波分别以快时间和慢时间为横坐标和纵坐标加以排列，如图3.11（b）所示，图中回波在快时间方向延伸的长等于LFM的脉冲宽度。对回波沿快时间作脉冲压缩得到的回波历程如图3.11（c）所示。最后再作包络对齐、相位校正的横向脉冲压缩，得到图3.11（d）所示重构后的散射点图像。图中各散射点附近的纵、横向增加了小的十字形，这是脉压所形成的旁瓣，纵、横向为其主平面方向，通常可控制在约-40dB。合成孔径雷达横向成像的分析计算在上一节里我们主要定性说明了合成孔径雷达横向成像的原理，其目的是帮助读者建立初步的概念，在此基础上，再进行详细的定量分析。前面已多次提到，横向高分辨是依靠大的阵列孔径获得的，用单频连续波同样可以得到横向高分辨，而且不存在包络对齐的问题。这里我们只分析横向分辨，为此，假设发射信号为连续波，为全时间。上面也提到过，对运动平台的合成孔径仍可近似视之为“一步一停”，即在慢时间（为重复周期，为整数）时发射和接收信号，同时将接收到的回波变到基频（为复常数）后加以记录。已知载机为直线平稳飞行，速度为，于是在空间形成间隔的线阵。合成孔径雷达的慢时间信号和多普勒谱如图3.12所示，载机沿轴直线飞行，用表示合成阵列各阵元的位置，设场景中心线与载机航线的距离为，中心线上有一系列点目标。前面已提到过，与航线平行线上的点目标回波对慢时间具有平移不变性，因此只要分析其中一个目标（）的情况即可。载机可以飞很长距离，但有效孔径长度由实际雷达天线（相当于合成阵列的阵元）的横向孔径长度确定，该天线的波束宽度，当天线为正侧视工作时，有效合成孔径长度。在图3.12里用区间表示雷达对的斜视角的有效照射范围。设在慢时间时刻雷达位于，在发射信号照射下，点目标的回波为（3.20）式中为的坐标。将（3.20）式的回波乘以，即以相干接收方式变换到基频，得（3.21）式中为载机速度。（3.21）式称为球面相位调制信号，相位随慢时间变化。因为发射为单频连续波，回波没有快时间的距离信息。对任一，回波为复常数。在前面的讨论中，我们利用，的条件，将（3.21）式的相位函数近似为二次型，于是多普勒为线性调频。这种近似称为Fresnel近似，可使计算简化。长期以来，在合成孔径雷达的分析和计算中均采用这一近似，在大多数场合是适用的，但在有些场合不成立。近年来计算技术、微电子技术和信号处理技术快速发展，用（3.21）式直接计算并不困难。为此，为了理论分析的完整性，在这里我们不采用Fresnel近似，以获得更有一般意义的结果。当然，在Fresnel近似完全成立的场合，还应当采用以简化设备和运算。将（3.21）式的慢时间域信号变换到频域（多普勒域），得（3.22）式中为多普勒角频率，这里用而不用多普勒为的是便于和后面要讨论的波数域相联系。积分限表示雷达照射点目标的全过程。求解（3.22）式的积分式通常用驻相法，它的被积函数的幅度为常数（实际考虑波束方向图的影响会有缓慢的起伏），而相位函数起伏很快，为调频信号，其相继的正负部分在积分过程中相互抵消，整个积分值主要由瞬时频率为零处的被积函数值确定。而被积函数瞬时频率为零的时间称为驻相点。用驻相法求解（3.22）式时需对每一个频率值求被积函数慢时间域的驻相点，即对各个特定解下式由于载机以速度飞行时，回波的最大角多普勒（机首方向），所以上式又可写成（3.23）解上式，并稍加整理得（3.24）上式中的后一等式可从图3.12看出，为雷达至点目标的斜视角，它随载机位置而变化，是的函数，当时，。，这是我们所熟悉的瞬时多普勒角频率的公式。由此可知，求（3.22）式多普勒角频率为某值时被积函数的驻相点，可从该相对应的求得相应的驻相点。此外，对（3.22）式的积分限还需作一些说明。从图3.12可见，雷达波束扫过任一点目标的时间长度（称为驻留时间或相干积累时间）为，设载机与点目标最接近的时刻为，则（3.22）式的积分限为。于是，我们可以用驻相法解（3.22）式的积分（其振幅为，是缓变的，对下面的分析不重要，故略去），得（3.25）频谱的支撑区与的位置无关，这是由于我们假设载机航线很长，各个点目标均被波束完整地扫过一遍，且扫描过程相同。因此，当沿中心线分布有多个点目标时，只要将（3.25）式对求和即可，点目标间的差异表现在上。当实际天线波束宽度为时，合成孔径雷达慢时间信号的多普勒角频率谱宽为（3.26）而横向分辨时间长度（3.27）横向分辨距离（3.28）这和前面（3.9）式的结果相同。这里我们提出一个问题，既然，是否可尽可能地减小，无限提高横向分辨率呢？这是不行的，减小可以增宽波束宽度，其极端情况是雷达采用无方向性天线，这相当于（3.26）式中第二等式的，即于是可求得极限横向分辨距离（3.29）上面我们以连续波形式在慢时间域分析了合成孔径雷达的信号及其多普勒谱，而实际雷达是以重复周期发射和接收回波，即实际雷达的慢时间信号是以（为整数）对上述连续信号采样，而实际多普勒应为原多普勒谱以周期排列。为此，必须适当选择雷达重复频率，使之与实际多普勒谱宽应适应，即避免产生多普勒谱混迭。在上面推导（3.24）和（3.25）式时已经给出了多普勒谱的支撑区为。不过那里也指出，回波信号的多普勒频率与雷达射线指向相对应，上述支撑区范围实际是3dB波束宽度（3dB是指单程，实际上双程的衰减更大一些）对应的范围，这是工程上常用的带宽概念，并不表明支撑区外的谱强为零。上面也提到，若连同旁瓣回波考虑，即天线作全向考虑，回波多普勒的范围为，这要大得多。合成孔径雷达的天线按低旁瓣设计，旁瓣回波的影响较小，可以忽略不计。如果只考虑主瓣，可以主波束第一对零点的宽度为准，即其支撑区为。但通常为的一倍，且接近方向图零点的分量已经很小，所以实际的可在和对应的多普勒范围之间折衷选取。3.3.2合成孔径雷达横向成像的匹配滤波已知（3.25）式的信号多普勒谱，实现匹配滤波是容易的。（3.25）式中第二个指数项为点目标的平移项，匹配滤波器的频率特性应为（3.30）多个点目标信号通过匹配滤波器后，其频谱为（3.31）上式有一定的近似，首先是设各点目标的振幅谱为常数，这时波束近似为矩形。也是由于这一近似，频谱的支撑区宽度为，实际主波束近似余弦形，因而振幅谱有变化，且信号频谱在上述支撑区外不会立即下降到零，一般应在匹配滤波器里加以限制。暂不考虑实际因素，在上述近似条件下，将（3.31）式的输出信号频谱作逆傅里叶变换，得横向压缩后的信号为（3.32）式中为信号谱的多普勒角频率宽度，其值为。以上是对条带场景中心线（）上各点目标的横向脉压情况，其匹配函数［（3.30）式］与有关，因而对中心线以外的目标是不匹配的，这也说明了横向压缩需作随变化的动态聚焦。顺便提一下，上面的讨论是在发射为单频连续波（载频为）下进行的，不可能得到纵向距离信息。原理上说，可以像步进频率方式那样变化，得到一组不同的频谱信号［见（3.25）式］，实际上公式里的，它也是的函数，即频谱信号可写成，只要有一定频宽，就可得到一定分辨率的距离信息。但要从获得二维时域波形还要通过几步变换。这一问题用下一节的波数域来解释可以较易理解。用波数域分析合成孔径雷达成像条带模式合成孔径雷达成像的波数域分析本章一开始讨论合成阵列时是在空间域进行的，并一再说明只要发射载频稳定，逐个获得不同位置处阵元的信号信息就可进行处理。后来由于考虑到雷达工程技术人员熟悉时域信号分析，且合成孔径雷达实际得到的又是时域信号，用时域信号中的一些概念（如多普勒频率等）在许多场合确有利于理解。但也有不少场合，直接用空域分析更加直观。类似的成像问题不仅用于雷达，也用于地震勘探、医疗诊断等，那里都是直接在空域分析。我们理解空域分析方法也有利于学科间的交叉。和时域与频域信号之间有傅里叶变换联系一样，空域与波数域之间也有同样的关系，所谓波数是空间单位长度里波的数目，像频率以单位时间弧度计一样，波数的单位一般用弧度/米（rad/m），相当时频域的角频率，不过在名称上不再加“角”字。同时将空间信号在波数域的表示称为波数谱。时间与空间、频谱与波数谱具有对偶关系，因而我们可以从时频关系去理解空间和波数谱的关系。不过空域和时域也有不同之处，时间量是一维的，而空间量只有线性空间为一维，平面空间为二维，立体空间为三维。在合成孔径雷达里一般讨论平面空间，波数谱应以向量表示。例如对频率为的平面波，用表示其传播方向的单位距离向量，则其波数向量；而对垂直于其传播方向的波数则为零。波数向量的方向决定于相应空间向量的方向，至于沿该方向的波数谱则决定于该方向空间场的分布，对于复杂的电磁场只要知道某时刻的空间分布，也就知道了沿某方向直线上的分布，则可以通过傅里叶变换求出该方向的一维波数谱。在合成孔径雷达里应用波数域还有它的特点，此时场的空间分布是通过移动阵元发射和接收信号测得的基频信号，对单频连续波发射的回波信号为复常数。因此，空间各处测得的信号是与观测场景里的目标分布相联系的，由此可以建立目标分布状况与波数谱的关系。下面单个点目标为例说明空间谱的情况，以及和点目标位置的关系。如图3.14（a）所示，为简化说明以及便于和上一节的讨论相联系，设点目标位于原点，阵元位于点，阵元到目标的距离为（3.33）由于雷达作收发双程工作，回波信号的相位为（3.34）由此可写出点、和各个方向波数值（3.35）由上式可得（3.36）图3.14（a）和（b）画出了空间域和波数域的对应关系。应当指出，当阵元或点目标的位置发生变化，和不仅数值改变，方向也随之变化。但和的方向则由坐标所确定。在上一节里，我们已经在时域对合成孔径雷达进行了分析，并得到信号的多普勒谱。利用时域和空域的对偶关系，以及阵元沿轴的位移，可得波数和多普勒的对应关系（3.37）将上式代入（3.25）式，并考虑到（其中是在中心线上的位置），（3.38）式中，当信号为单频连续波时，它是常数，这里为了进一步讨论多频率点的情况，而将它作为自变数。如果利用（3.36）式几个波数之间的关系，可得（3.39）若点目标不在中心线上，设它与航线的最接近距离为，则由（3.39）式可知其波数谱为（3.40）用匹配函数与之相乘，得输出波数谱为（3.41）将上式通过二维傅里叶逆变换到空域，可重建点的位置，它呈现为二维窄脉冲，各维的脉冲宽度由相应波数宽度确定；重建的窄脉冲还会有旁瓣，应在波数域作幅度加权来压低它。（3.41）式的结果看来是很理想的，它没有采用Fresnel近似，同时也不存在动态聚焦，（3.40）式乘的匹配函数只是移动原点。实际上，这种算法也有缺点，主要是运算量大。运算量大的原因在于（3.41）式中的是由和通过（3.36）式变换得到的，图3.15（a）的方框表示它们的支撑区，图中间的横线表示，设信号频带为，则的支撑区范围为。的支撑区已在（3.38）式里给出，考虑到波束宽度一般较窄，故的支撑区近似为。的这一支撑区是为得到最高横向分辨率充分利用合成孔径时的最大支撑区，如果合成孔径，取为某一固定值，则信号频率为时的支撑区为，其中和是点目标位于合成孔径中心时，点目标到合成孔径两端的斜视角，这时的支撑区与信号频率有关，平面的支撑区应为上宽下窄的梯形。在数字信号处理中，我们总是以一定的间隔对波数谱采样，实际采集到的是图3.15（a）中的一系列采样点上的值，由、通过变换得到，的采样点应与上述采样点相对应，而得到如图（b）所示的一系列采样点。非线性变换使平面采样点的分布不均匀。在直角坐标系里，要从的波数谱通过二维IFFT得到平面的分布，其采样点必须位于方形网络上。为从图3.15（b）不均匀分布的采样点，得到方形网格排列的采样点，需要采用插值的方法。插值的运算量是比较大的，后面讨论具体成像算法时还要介绍。聚束模式合成孔径雷达成像的波数域分析条带模式为合成孔径雷达的主要工作模式，有些场合为对某些特定区域作更细致的观测，也常用聚束模式。聚束模式的天线波束在载机运动过程要加以调整，使之长时间照射指定的区域［图3.4（b）］。由于驻留时间（相干积累时间）加长，或者说对目标照射转角加大，可以得到更高的横向分辨率。在条带模式里，天线波束保持一定模式扫过条带场景，目标回波在横向（亦即慢时间）上具有平移不变性。聚束模式不具有这样的特点，无法将横向和纵向处理截然分开。由于在波数域分析比较方便，是当前常用的方法，所以我们在这里一并介绍。这一小节还有一个目的是通过聚束模式的分析，进一步加深波数域的概念。聚束模式不能再用条带的中心线为基准，而是选择场景中间的某一特显点作