概率论与数理统计第二章

概率论与数理统计课程代码：04183教材版本：概率论与数理统计（经管类）课程代码：04183出版社：北京大学出版社（2018年版）主编：柳金甫张志刚课程教材1.三个学习过程：稳、准、快2.勤于动手，一定多做练习！！！3.数学学习需要思考！！！4.随堂考课后作业是每节课核心，一定按时完成。学习方法第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布连续型随机变量及其概率密度知识框架随机变量的分布函数离散型随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的概念0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

2.1.1一、随机变量的概念离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

2.1.1一、随机变量的概念离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

X

:不同情况2.1.1一、随机变量的概念离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量2.1.2二、离散型分布变量及其分布律分布律若随机变量X

只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

2.1.2二、离散型分布变量及其分布律分布律离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

分布律也可用表格形式表示：X……P…2.1.2二、离散型分布变量及其分布律分布律离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习1.设离散型随机变量X的分布律为X012P0.2c0.5求常数c.离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习1.设离散型随机变量X的分布律为X012P0.2c0.5求常数c.解：由分布律的性质知：1=0.2+c+0.5解得c=0.3离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习2.设随机变量X的分布律为，则P{-1<X≤1}=（）A.0.1B.0.2C.0.6D.0.5X012P0.20.30.4离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习2.设随机变量X的分布律为，则P{-1<X≤1}=（）A.0.1B.0.2C.0.6D.0.5X012P0.20.30.4【答案】D离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习3.投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习3.投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。X123456P

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习4.袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律。离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习4.袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律。X345P1/103/106/10

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量2.1.3三、0-1分布与二项分布

XP离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量2.1.3三、0-1分布与二项分布

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习1.离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习1.答案：A离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习2.离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习2.答案：A设每次试验成功的概率为P(0＜p＜1)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为1-（1-p）³离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1.3三、0-1分布与二项分布课堂练习一个工厂生产废品率为0.005，任取1000件，计算：其中至少有两件是废品的概率？离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习一个工厂生产废品率为0.005，任取1000件，计算：其中至少有两件是废品的概率？

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布2.1离散型随机变量2.1.4四、泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,...,n,...,而X的分布律为其中，则称X服从参数为的泊松分布，简记为X~P(λ).离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习

离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习

答案：C离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布课堂练习设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律0-1分布与二项分布泊松分布第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布连续型随机变量及其概率密度知识框架离散型随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的概念0-1分布与二项分布泊松分布随机变量的分布函数性质概念2.2随机变量的分布函数2.2.1一、分布函数的概念设X为随机变量，称函数为X的分布函数。随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。解：当x＜-1时，F(x)=P{X≤x}=0；当-1≤x＜0时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}；当0≤x＜1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1.随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。解：当x＜-1时，F(x)=P{X≤x}=0；当-1≤x＜0时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}；当0≤x＜1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1.随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。解：当x＜-1时，F(x)=P{X≤x}=0；当-1≤x＜0时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}；当0≤x＜1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6；当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1.分布函数本质上是一种累计概率。随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2随机变量的分布函数离散型：“符合范围，直接相加”（0-1分布，二项分布，泊松分布）2.2.1一、分布函数的概念随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2随机变量的分布函数

2.2.1一、分布函数的概念随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2随机变量的分布函数

分布函数积分符号概率密度积分区间被积表达式2.2.1一、分布函数的概念随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2随机变量的分布函数

2.2.2二、分布函数的性质随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习1.设F(x)为随机变量X的分布函数，则有（）A:F(-∞)=0,F(+∞)=0B:F(-∞)=1,F(+∞)=0C:F(-∞)=0,F(+∞)=1D:F(-∞)=1,F(+∞)=1随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习1.设F(x)为随机变量X的分布函数，则有（）A:F(-∞)=0,F(+∞)=0B:F(-∞)=1,F(+∞)=0C:F(-∞)=0,F(+∞)=1D:F(-∞)=1,F(+∞)=1答案：C随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是（）A:F(-∞)=0B:F(+∞)=1C:0≤F(x)≤1D:F(x)是连续函数随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是（）A:F(-∞)=0B:F(+∞)=1C:0≤F(x)≤1D:F(x)是连续函数答案：D随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习3.设随机变量X的分布律为，F(x)为X的分布函数，则F(0.5)=（）A:0B:0.2C:0.25D:0.3X-1012P0.10.20.30.4随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习3.设随机变量X的分布律为，F(x)为X的分布函数，则F(0.5)=（）A:0B:0.2C:0.25D:0.3答案：DX-1012P0.10.20.30.4随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习4.随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习4.答案：B随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习4.答案：B随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2随机变量的分布函数已知X的分布函数F(x)，我们可以得到下列重要事件的概率：随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质2.2.2二、分布函数的性质课堂练习4.

设随机变量X的分布函数为

F(x)=

随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质课堂练习4.

设随机变量X的分布函数为

F(x)=

随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的性质第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布知识框架离散型随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的概念0-1分布与二项分布泊松分布随机变量的分布函数性质概念连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法预备知识导数导函数原函数积分求导

(C)`=0

(xu)`=uxu-1

(ex)`=ex(uv)`=u`v+uv`

分布函数积分符号概率密度被积表达式导数导函数原函数积分求导

(C)`=0

(xu)`=uxu-1

(ex)`=ex(uv)`=u`v+uv`

分布函数原函数导函数积分符号概率密度被积表达式导数例:求取下列函数的导数导数例:求取下列函数的导数

不定积分

函数为f(x)的不定积分为：

不定积分

函数为f(x)的不定积分为：不定积分

函数为f(x)的不定积分为：

不定积分对x取积分，得到的是：对x²取积分，得到的是：不定积分

定积分函数为f(x)的定积分为：

函数f(x)在某段区间[a,b]上其函数曲线与x轴围成的面积的求取。设F(x)是连续函数f（x）在[a,b]上的一个原函数，则有牛顿-莱布尼茨公式

定积分函数为f(x)的定积分为：

计算定积分：定积分函数为f(x)的定积分为：

计算定积分：2.3连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对任意的实数x，有则称X为连续性随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度(有些书称密度函数）.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.1一、连续型随机变量及其概率密度2.3连续型随机变量及其概率密度密度函数的性质：x0f(x)面积为1熟记a

(4)设x为f(x)的连续点，则F(x)存在，且F(x)

f

(x).连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.1一、连续型随机变量及其概率密度2.3连续型随机变量及其概率密度密度函数的性质：x0f(x)面积为1熟记a

(4)设x为f(x)的连续点，则F(x)存在，且F(x)

f

(x).baf(x)dx连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.1一、连续型随机变量及其概率密度课堂练习1.下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（）连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习1.下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（）答案：A连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度密度函数的特点：

x0f(x)面积为1熟记a

baf(x)dx注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0.即P{X=x}=0离散型随机变量X在某一指定点取值的概率不一定为0.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.1一、连续型随机变量及其概率密度课堂练习2.设随机变量X的概率密度为求X的分布函数.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习即X的分布函数为：一般，f(x)为分段函数时，F

(x)也是分段函数，二者有相同的分段点.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度三种重要的概率密度分布及分布函数均匀分布X

~

U

(a,b)指数分布X~E(λ)正态分布X~N(,

2)重点连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布.若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,简记为X

~

U

(a,b).区间长度的倒数连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.2二、均匀分布与指数分布2.3连续型随机变量及其概率密度均匀分布的分布函数为:连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.2二、均匀分布与指数分布2.3连续型随机变量及其概率密度均匀分布的均匀性是指随机变量X

落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率是相等的.均匀分布概率计算的重要公式设

X

~

U(a,

b),

a

c

d

b,即a,

b

c,

d

,则：连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.2二、均匀分布与指数分布课堂练习1.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习1.答案：由随机变量X的概率密度可知，X服从均匀分布，具有均匀性，均匀性是指随机变量X落在区间长度相等的子去见上的概率都是相等同的，故选B.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习2.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习2.答案：连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布.若随机变量X的概率密度为:其中λ>0为常数,则称X

服从参数为λ的指数分布，简记为X~E(λ).其分布函数为连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.2二、均匀分布与指数分布课堂练习例

.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布

(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。

(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习例

.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布

(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。

(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布.若随机变量X的概率密度为其中,

2为常数,

,

0,则称X

服从参数为,

2的正态分布,简记为X~N(,

2).f

(x)的图形如右图连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度习惯上,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质如下：(1)曲线关于直线x

对称,这表明对于任何h

0,有P{

h

X

}

P{

X

h}.(2)当x

时取得最大值连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度(3)当确定,2

1时，f1

(

x)与f2

(

x)的图形如下。实际上两条曲线可沿x轴平行移动而得,不改变其形状,

可见正态分布曲线的位置完全由决定,

是正态分布的中心.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度(4)

当给定,且

1

2时，f3

(

x)与f4

(

x)的图形如右，可见当σ越小时，图形变得越尖锐；反之，σ越大时,图形变得越平缓.因此，正态分布曲线中的值刻画了正态随机变量取值的分散程度.σ越小，取值分散程度越小；σ越大,

取值分散程度越大.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度标准正态分布连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度(

x)与(

x)的图形见下图.

标准正态分布分布函数(x)的性质：连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布2.3连续型随机变量及其概率密度一般正态分布分布函数F

(x)与标准正态分布分布函数(x)的关系：连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布2.3.3三、正态分布课堂练习1.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习1.答案.A连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习2.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习2.答案：A连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习3.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布课堂练习3.答案：C连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布与指数分布正态分布第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布知识框架离散型随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的概念0-1分布与二项分布泊松分布随机变量的分布函数性质概念连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法连续型离散型2.4随机变量函数的概率分布设X一个随机变量，分布律为X~P{X＝xk}＝pkg(x)是一给定的连续函数，称Y＝g(X)为随机变量X的一个函数，显然Y也是一个随机变量.本节将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数Y＝g(X)的概率分布.2.4.1一、离散型随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布离散型连续性课堂练习1.设随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求:(1)Y=X³的分布律.

(2)

Z=X²的分布律.2.4.1一、离散型随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布离散型连续性课堂练习1.设随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求:(1)Y=X³的分布律.

(2)

Z=X²的分布律.解:(1)Y的可能取值为-1，0，1，8.由于P{Y

-1}

P{X

3

-1}

P{X

-1}

0.2,P{Y

0}

P{X

3

0}

P{X

0