2022年北京第六十六中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年北京第六十六中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则在[0,2π]上零点个数是（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：2.已知,,且,则等于(

)

A．－1B．－9

C．9

D．1参考答案：C3.数列，，，，……的前项和为（）A.

B.C.

D.参考答案：C4.直线的倾斜角为A．

B．

C．

D．参考答案：A5.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（

）

（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：A6.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A．5，﹣4 B．5，﹣15 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16参考答案：B【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数求导，利用导数研究函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的单调性，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果．【解答】解：由题设知y'=6x2﹣6x﹣12，令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，当x=0，y=5；当x=3，y=﹣4；当x=2，y=﹣15．由此得函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15；故选B．7.已知直线经过点和点，则直线的斜率为（

）A．B．C．D．不存在参考答案：B略8.将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

……

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为

A、

B、

C、

D、参考答案：D9.已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（

）A．a<－7或a>24

B．a=7或a=24

C．－7<a<24

D．－24<a<7参考答案：C略10.在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（

）A.

B．

C．

D．参考答案：D

解析：分三种情况：（1）若仅系数最大，则共有项，；（2）若与系数相等且最大，则共有项，；（3）若与系数相等且最大，则共有项，，所以的值可能等于二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．参考答案：15略12.不等式＞0对恒成立，则x的取值范围是________.

参考答案：13.设，若，则的最大值为

．参考答案：由柯西不等式，，知．14.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．参考答案：（2）（3）【考点】棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直证得两线垂直判断（1）；由线面平行的定义证得线面平行判断（2）；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断（3）；由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值判断（4）．【解答】解：对于（1），由题意及图形知，AC⊥AE，故（1）不正确；对于（2），由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故正确；对于（3），由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故正确；对于（4），由图知，当F与B1重合时，与当E与D1重合时，异面直线AE、BF所成的角不相等，故不为定值，故错误．∴正确命题的序号是（2）（3）．故答案为（2）（3）．【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．15.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．16.已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围为

▲

。参考答案：

17.已知样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.参考答案：【分析】由平均数的公式，求得，再利用方差的计算公式，求得，即可求解.【详解】由平均数的公式，可得，解得，所以方差为，所以样本的标准差为.【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间[－2,2]上的最大值为8，求它在该区间上的最小值.参考答案：(1)由题知：………………2分

令则x<-1或x>3;令则-1<x<3;…4分

所以减区间为（-1，3），增区间……6分(2)由(1)知f(x)在上为增函数，在上为减函数.所以,解得a=3……..8分则,所以f(x)在上的最小值为-19…….12分19.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导函数，通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（2）通过当a=0时，当a＜0时，当a＞0时，分别求解判断求解函数的最小值，推出a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）当a≤0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增…（3分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2）当a=0时，f（x）＞0恒成立…（6分）当a＜0时，当x→0时，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）当a＞0时，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）综上所述，a的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，导数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．20.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.参考答案：（1）解：设点由中点坐标公式有

……………2分又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：

……………4分（2）令，则当，即时面积最大为2

……………6分又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：

……………8分（3）设点，由于点则，令

……………9分有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以

……………12分21.已知数列满足，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和。参考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）22.将一颗正方体的骰子先后抛掷2次（每个面朝上等可能），记下向上的点数，求：（1）求两点数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆的内部的概率．参考答案：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事