一道变质量问题的分析与解答

一道变质量问题的分析与解答伍佑中学于正荣问题如图1所示，质量为M=1.0kg、长为L=1.0m的匀质铁链静放在桌面上，现以竖直向上的恒力作用于铁链的一端，将铁链从桌面竖直提起。当整条铁链刚离开桌面时，速度为v=4.0m／s，取g=10m／s2。则整条铁链离开桌面时的加速度为多大?错解设恒力大小为F，提起过程中，恒力F做正功，重力做负功，根据动能定理有：（1）整条铁链离开桌面的瞬间，根据牛顿第二定律有：（2）由（1）、（2）两式解得a=3m／s2。分析恒力在将铁链逐渐提起的过程中，铁链的各部分依次被牵拉而向上运动。在被拉直部分的正下方、仍处于静止状态的一小段铁链（微元），在极短的时间内被拉入上方竖直运动的主体铁链而进入运动状态。此极短过程类似于两个物体相碰撞而粘合在一起，相当于一个完全非弹性碰撞。因而铁链在提起的过程中必定不断存在着耗散内力做功，不可避免地导致整个铁链机械能的损失。所以对提起铁链的过程，不能将铁链看成一个运动整体，而只能把它看成质点组处理。质点组动能定理告诉我们：质点组（系统）所受外力及内力做功的代数和等于质点组（系统）动能的增量。显然，错解中的（1）式在应用动能定理时，只考虑了外力的做功，没有考虑系统内力的做功，结果自然存在问题。正解1本题是一道典型的变质量物体运动问题，通常需用普通物理中的密切尔斯基方程求解：设t时刻运动主体的质量为m，速度为，经过dt时间后，有质量为dm的质点并入到m中，dm并入前的速度为。合并后运动主体的质量变为（m+dm），共同速度为（v+dv）。如果作用于主体m及并入质点dm的合外力为，则密切尔斯基方程为：（3）本题情形特殊，即并入部分dm的速度=0，所以（3）式可简化为：。取已提起的、长为l的竖直部分（运动主体）为研究对象，其质量，设其速度为v。该部分受拉力F和重力mg作用。根据有：，变形后得：（4）将（4）式的等号两边同时乘以（mv）后分离变量并作积分，有：。由于、，所以上式可变为：，化简后得：，变形后可得恒力F所做的功为：（5）（5）式明显与前面的（1）式不同。并且由（5）式还可以看出，恒力F所做的功比铁链增加的动能和重力势能之和多了，这部分能量正是由于铁链之间的不断粘合而损失的。前面的（1）式显然没有注意到这一点。将M=1.0kg、L=1.0m、v=4.0m／s代入（5）式可解得F=N，再代入（2）式得a=m／s2，这才是本题的正确答案。上述解答，显然已经超出了中学物理的范畴。实际上，作为一道物理竞赛题，本题还可用中学阶段的微元叠加的方法、力和运动的独立作用原理求解。下面给出两种解答，希望能使大家对该类问题的处理有所认识或启示。解答2利用微元法和数学递推的方法求解。将整个铁链分成相等长度的n等份，每等份长度，质量。铁链提起的整个过程，可等效为若干次的竖直部分的匀加速提升、竖直部分与即将运动部分之间发生粘合（完全非弹性碰撞）的组合。首先是第一等份被恒力F拉起高度，速度由零变为v1，此过程可看成是匀加速运动，根据运动学公式有：（6）其中。紧接着第一等份与第二等份发生粘合，粘合后速度变为，由动量守恒定律有：，得，即有：（7）前两份再被恒力拉起高度，速度变为，此过程的加速度，仍根据运动学公式有：（8）前两份再与第三等份发生粘合，速度变为，再由动量守恒定律有：，得：。即有：（9）以此类推…，当最后一等份与前（n-1）份发生粘合后，整条铁链被完全拉起。通过数学递推，不难得到铁链被全部提起时速度的表达式为：（10）由于、、、…，所以（10）式可化简为：（11）当时，、，所以对（11）式取极限后可简化为：（12）将v=4.0m／s代入（12）式，可得F=N，再代入（2）式同样可解得a=m／s2，结果与解答1完全一致。本解答虽然过程复杂，计算繁琐，但却容易被中学生接受。解答3根据力和运动的独立作用原理求解。假设铁链不受重力作用，并以速度v0向上匀速运动，考察这时必须施以铁链的外力F。显然力F的作用就是在时间内使质量为的铁链（微元）从静止离开地面加速至速度v，由动量定理得：。由于，，代入上式可求得：（13）即在不考虑铁链本身重力的情况下，恒力F的作用恰好可使铁链以的速度匀速向上运动。再考虑铁链本身重力的作用。若铁链向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，则在时问内，一方面质量为的铁链离开地面获得速度v；另一方面已经处于竖直运动状态、质量为m的铁链速度增加了。以（+m）为研究对象，设该部分铁链所受合力为，则由动量定理得：，即，由于、，化简后得：（14）其中l为竖直部分铁链的长度。令恰好等于竖直部分铁链的重力，即：，则有：（15）即铁链的重力恰可使铁链向上做初速度为零，加速度的匀变速运动。最后再根据力和运动的独立作用原理可知：铁链在恒定向上的拉力和竖直部分重力的共同作用下将做初速、加速度的匀减速直线运动，因此铁链的速度-时间关系应满足：；位移-时间关系应满足：。将=1m、v=4.0m／s代入上述两式可解得s、F=N，再代入（2）式可得a=m／s2。另外，根据（13）式可知：若将静止在地面