中考复习 K字型相似常考题型 考前冲刺专题提升训练

春九年级数学中考复习《K字型相似常考题型》考前冲刺专题提升训练（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1．在矩形ABCD中，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处．（1）如图1，若tan∠EFC=34（2）如图2，在线段BF上取一点G，使AG平分∠BAF，延长AG，EF交于点H，若FG=BG+CF，求AB:BC的值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE⊥BC，∠EAF=∠ABC时，①求证：AE=AF；②连结BD，EF，若EFBD=2（2）当∠EAF=12∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB=4，AC=2，则当CE3．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．4．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°, ∠∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=3，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD,AE，点F,G分别是BD,AE（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝5，AE＝1，求线段DG的长6．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a,CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中，△CEF的面积是否发生变化？请说明理由．7．问题提出（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，点E为AB的中点，点F在BC上，过点E作EG//BC交FD于点G．若EG=5cm，则问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm，点P是AD边上一动点，点Q是CD的中点将．△ABP沿着BP折叠，点A的对应点是A′，将△QDP沿着PQ折叠，点D的对应点是D′．请问是否存在这样的点P，使得点P、A问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD中，BC=4cm，点D到BC的距离为5cm,AD⊥CD，且CD=3AD．若过点D作MN//BC，过点A作MN的垂线，交MN于点E，交CB的延长线于点H，过点C作CF⊥MN于点F，连接AC．设AE的长为x(①根据题意求出y与x之间的函数关系式；②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．(8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA=2，△AOB的面积为2．(1)如图1，求直线AB的解析式．(2)如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y=kx−2k(k<0)，AD⊥y轴，将BC绕点B顺时针旋转90°，交AD于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD，交直线BC于点E，若3∠ABC−∠BDO=45°，求点E的坐标．9．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若HFHG10．点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．(1)【操作发现】如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM=PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系；．（直接写出结论即可）(2)【类比探究】如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明PMPN(3)【拓展应用】如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB=8，AD=6，∠EPF=∠BAD>90°时，求PMPN11．如图，已知二次函数y=ax2−8ax+6a>0的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若ΔODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点且在x轴上方，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE=∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．12．经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O，A两点．（1）若抛物线的对称轴为直线x=2，点C(6，-6)在抛物线上．①直接写出抛物线的解析式；②如图1，B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，在抛物线上取点E，使∠EOB=∠CBD，求E点的坐标．（2）如图2，若A点的坐标为(4，0)，a＞0，P为抛物线上第四象限内的一点，过点P作PN⊥x轴于点N，过点N作直线MN//AP交y轴于点M，求证：直线PM与抛物线只有唯一的公共点．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，∴tan设CE=3k，则CF=4k，∴DE=EF=5k，又∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴△ABF∼△FCE，∴AB∴8k4k∴BF=6k，∴BC=BF+CF=6k+4k=10k，∴AB（2）如解图2，过点G作GM⊥AF于点M，∵FG=BG+CF，FG+BG+CF=∴FG=∵AD=AF，∴FG=∵∠MFG=∠BFA，∠FMG=∠FBA=90°，∴△MFG∼△BFA，∴GMAB设BG=x，∵AG平分∠BAF, ∴BG=MG=x，AB=AM=2x，设FM=y，则BF=2y，∵A∴(2x)2而AF=∴2x+4∴ABBC2．（解：（1）①证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD//BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，∵∠EAF=∠ABC,∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=②解：如图1，连结AC．由①知，△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∴CE=CF，∵AE=AF，∴AC⊥EF．在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF//BD，∴△CEF∽△CBD，∴ECBC设EC=2a，则∵AE=AF，AB=BC，∠EAF=∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴S△AEF∴S△AEF（2）解：在菱形ABCD中，∠BAC=1∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠CAM，∵AB//CD，∴∠BAE=∠ANC同理，∠AMC=∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴AC△AMN是等腰三角形有三种情况：①如图2，当AM=AN时，△ANC≌△MAC，∴CN=AC=2，∵AB//CN，∴△CEN∽△BEA，∵AB=4，∴CE∵BC=4，∴CE=1②如图3，当NA=NM时，∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA，△ANM∽△ABC，∴AM∴CN=2AC=4，∴△CEN≌△BEA，∴CE=BE=1③如图4，当MA=∠MNA=∠MAN=∠BAC=∠BCA，∴△AMN∽△ABC，∴AM∵△CEN∽△BEA，∴CE∴CE=1综上所述，当CE=43或2或453．（1）证明：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D，∴AC′∥EC，∵∠CAC′＝∠AC′D，∴AC∥EC′，∴四边形ACEC′是平行四边形，∵AC＝AC′，∴四边形ACEC′是菱形．（2）解：当α＝2∠BAC时，四边形BCC′D是矩形．理由：如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，由旋转的性质，得AC′＝AC，∴∠CAE＝∠C′AE＝12α＝∠ABC，∠AEC∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC．同理，AE∥DC′，∴BC∥DC′，又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，又∵AE∥BC，∠AEC＝90°，∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°，∴四边形BCC′D是矩形．（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝12AC＝1在Rt△BCF中，BF＝BC在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴CEBF=AC解得CE＝12013∵AC＝AC'，AE⊥CC'，∴CC'＝2CE＝2×12013＝240∴BD＝240134．解：（1）观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=3，∴AE=2DC=23，AC=3BC=3，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG=12AE=3，CG=AG，CF=1∴CG=3CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，故答案为：CG=3CF，CF⊥CG；（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=3，∴∠BCD=∠ACE，AC=3BC，CE=3CD，∴ACBC∴△BCD∽△ACE，∴AE，∠CAE=∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF=12BD，AG=1∴AG∴△ACG∽△BCF，∴CGCF∴CG=3CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；（3）问题解决如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH，∵点F是BD中点，BC=CH=1，∴CF=12由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积=12×CF×CG=32CF∴△CFG的面积=38∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，∵CD=3，∴点D在以点C为圆心，3为半径的圆上，∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为3+1，∴△CFG的面积最大值=38∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小3-1，∴△CFG的面积最小值=385．解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG即：DG＝2BE，∵∠AIB＋∠ABE＝90°，∴∠AIB＋∠ADG＝90°，∵∠AIB＝∠DIH，∴∠DIH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）EG与AD的交点记作M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝5，∵AB＝5，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上如图4，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝AB2由（2）知，△ABE∽△ADG，∴BEDG∴2DG∴DG＝4．6．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCF=∠DCE=90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE,∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，∠ACF=∠ACEAC=AC∴△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，CE=CF，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵∠EAF=45°,∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°,∴∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠AEC,∴CE=AC=42，即a=b=4（2）当△AFE是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF∵AE∴AF∴2(CE∴CE∴CE∴CF∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴ABCE∴4CE∴4CF=CE(CE+4)②，联立①②得，CE=4，CF=8，∴a=4，b=8；②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4；（3）∵AB//∴∠BAF=∠AFC，∵∠BAC=45°，∴∠BAF+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°−(∠CFE+∠CEF)−∠EAF=180°−90°−45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA∴ACCE∴CE×CF=AC∴ab=32，∵S△CEF=1∴S△CEF=16，∴△CEF的面积不变．7．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,CD=AB=4．∵EG//BC，∴AD//EG//BC．∵点E为AB的中点，∴S=12===10故答案为：10cm（2）存在，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°,BC=AD=9,AB=CD=6cm∵Q是CD的中点，∴DQ=3cm由折叠的性质得：∠APB=∠A当点P、A′、D′三点在同一条直线上时，∴∠APB+∠DPQ=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPQ．∵∵∠BAP=∠PDQ=90°，∴△BAP∽△PDQ，∴ABPD=AP解得：AP=6cm或AP=3（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：CF=EH=5．∵AD⊥CD，∴∠EDA+∠CDF=90°．∵CF⊥MN，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠EDA=∠DCF．又∵∠AED=∠DFC=90°，∴△AED∽△DFC，∴CFDE由AE=x，则AH=5−x．∵CF=5,CD=3∴5DE∴DE=5∴y==12==3②由①知，y=3当x=233cm时，四边形∴最低造价为10+7∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．8．解：（1）∵OA=2，∴A(0,2)，∵S△AOB∴12∴OB=2，∴B(2,0)，设直线AB的解析式为：y=kx+2，代入点B(2,0)，得2k+2=0，∴k=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x+2；（2）如图1，过D作DH⊥x轴于H，∵DA⊥y轴，∴∠DAO=∠AOB=∠DHO=90°，∴四边形DAOH为矩形，∴DH=AO=OB=2，由题可得，∠CBD=90°，∴∠CBO+∠DBH=90°，又∵∠DBH+∠BDH=90°，∴∠CBO=∠BDH，在△CBO与△BDH中，∠COB=∠BHD=90°OB=HD∴△CBO≌△BDH(ASA∴CO=BH，令x=0，则y=kx−2k=−2k，∴C(0,−2k)，∴BH=CO=−2k，∴OH=OB+BH=2−2k，∴D(2−2k,2)；（3）如图2，连接CD，取CD中点N，连接AN，BN，则在Rt△ACD中，AN=CN=DN同理，BN=CN=DN，∴AN=CN=DN=BN，∴A，C，B，D四点共圆，∴∠ABC=∠ADC,∠CDB=∠OAB，∵OA=OB,∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵3∠ABC−∠BDO=45°，∴3∠ADC−(∠BDC−∠CDO)=45°，∴3∠ADC−45°+∠CDO=45°，∴3∠ADC+∠CDO=90°，∴2∠ADC+∠ADO=90°，又∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOD=2∠ADC，在AD上取一点M，使MD=MC，则∠MCD=∠ADC，∴∠AMC=2∠ADC=∠AOD，∴tan∠AMC=∴ACAMAM=x，MC=MD=2−2k−x,AC=OA−OC=2+2k．∵MC∴(2−2k−x)2∴x=4k∴2+2k4解得，k=−1∴直线BC解析式为：y=−13x+设直线OD解析式为：y=mx，把D(82=8∴m=3则直线OD解析式为：y=3联立y=3解得x=8∴E(89．解：（1）∵E、F为BD、CD的中点∴EF为△BCD的中位线∴EF=12∵矩形ABCD中，∠C=90°∴∠EFC=90°∵∠GEF=90°∴四边形EGCF为矩形∴EG=FC=12（2）不变化．如图，作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，∴∠NEM=90°∵∠GEF=90°∴∠GEN=∠FEM∴△GEN∽△FEM∴EG即tan∠EFG=34（3）如图所示，不变化．tan∠EFG=34理由：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，∴∠NEM=90°∵∠GEF=90°∴∠GEN=∠FEM，又∠ENG=∠EMF=90º，∴△GEN∽△FEM∴EG即tan∠EFG=34(4)过E分别做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，∵tan∠EFG=34故可设EG=3a，EF=4a，则GF=5a，ET=125a，GT=∵HFHG∴FH=54a，GH=∴HT=GH-GT=154a-95∴EH=ET2+HT2∵∠BCD=90º，BC=8，AB=CD=6，∴BD=10，又E是BD的中点，∴CE=12∴CH=CE-EH=5-317∵tan∠CE=EUCU=4∴∠UCE=∠EGF，又∠CHF=∠EHG，∴ΔFHC∽ΔEHG，∴FHCH=EH∴3174a×(5-3174∴a=5∴EF=2017∴UF=EF2−E∴CF=CU-UF=3-3219=2510．（1）解：PM=PN．理由：过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽∴PMPN∵PG∥AB，∴PGAB∴PGPH∴PM=PN，故答案为：PM=PN；（2）证明：如图，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽∴PMPN∵PG∥AB，∴PGAB∴PGPH∴PMPN（3）解：如图，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交∵PG∥AB，∴∠CPG=∠CAB，∠CPH=∠CAD，∴∠HPG=∠DAB，∵∠EPF=∠BAD，∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM，∴∠HPN=∠GPM，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠B+∠D=180°，∴∠PGC+∠PHC=180°，又∵∠PHN+∠PHC=180°，∴∠PGC=∠PHN，∴△PGM∽∴PMPN∵PG∥AB，∴PGAB∴PGPH由①②可得，PMPN11．解：（1）抛物线为：y=ax2-8ax+6，对称轴∵抛物线与y轴交于C点，D点在对称轴上，且CD//x轴，故CD=4，∴平行四边形ABCD中，AB=CD=4，故A(2，0)，B(6，0)，将点A(2，0)代入y=ax2-8ax+6，解得：a=∴抛物线为：y=1（2）如下图所示，作EN⊥y轴于点N，设点E坐标为(m，12S=12化简得：m2∴点E坐标为(3，−3（3）①当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝