高中数学-1.1.7柱锥台和球体的体积教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析:国家课程标准明确指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。对1.1.7棱柱棱锥棱台球的体积一节教与学的要求是:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。本节课将立足总课标提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力的要求，在教学中合理使用多媒体辅助帮助学生认识和理解祖暅原理，合理使用多媒体信息技术展示空间图形，达成课堂教与学目标和突破本课教学难点，提高学生空间几何解题能力。利用教材中和拓展补充的古代科学家的成就，感染和激发学生的学习数学的兴趣，通过拓展半球的体积的推导，开阔学生的数学视野，继而激发学生的数学探索意识，树立学好数学的信心，以便更好地完成本节课的学习。学情分析:本节课是必修二第一章的最后一节，学生在前期的学习中对空间几何体的棱柱、棱锥、棱台，和圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及性质有较全面的认知，并且初步学会运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式解决问题，从学习的动机上，对柱锥台和球的体积公式有较强的学习兴趣。另一方面学生在小学曾经学习过长方体体积公式，并且用实验的方式验证过，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，虽然已过多年，但作为常识性普及知识，学生对于结论还是比较清晰的，只是如何将棱柱分解成等积的三个三菱锥并不了解，个别同学也可能通过故事了解过祖暅原理，这可以通过课前交流得到反馈信息。本节课的学习主体来源于重点高中，学生有较好的学习习惯和学习能力，学生基础普遍比较好，本节课的学习选择问题导引探究方式展开教与学，在教学中辅助多媒体技术，展示分析祖暅原理，帮助学生理解原理的内容，在例题的设计上，通过投影辅助学生理解抽象的空间图形。通过本节课的学习，了解祖暅原理，并利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式，学会体积计算的换底技巧，通过层层递进提问、回答，了解学生掌握的情况，掌控课堂的进程。观评记录：1．课中展示“祖暅原理”及我国杰出数学家、科学家祖冲之、祖冲之之子祖暅的成就，以及曹冲称象的故事，体现我国古代人民的卓越智慧和才能，课中两段数学史的穿插教学，一方面将爱国主义教育和激励教育恰到好处整合进学科教学，也两度调节了学生学习的紧张程度，使整节课学生学习热情都很高涨，这一方面展示了授课教师深厚的教学调控的专业素养，另一面也体现了授课教师整合使用多种学习素材的组织能力。

2．本课充分体现教师为主导、学生为主体的教学观。本课适时运用小组合作学习方式，适时鼓励学生参与课堂互动，教学活动从学生的认知结构出发，通过问题层层设计教与学活动，鼓励学生独立思考寻找发现台体体积公式的推导方法，再通过小组探究交流推证应用，注重渗透转化和化归的数学思想，体现了探究—发现---证明的科学思维方法，学生在新知探寻过程中体会到数学学习的成功，小组合作学习成效明显。

3．教师授课语言极具磁性和感召力，整堂课紧紧抓住学生的心，调动学生的思维层层递进，教师不断鼓励学生创新思考，教学效果显著。让学生在学习中体验──在体验中探究──在探究中创新，每到关键处，教师总是适时点拨，学生思维活跃，不同层次的学生思想互相碰撞，课堂收获源于教材又高于教材。4．本课注重运用现代教育技术，多媒体的使用将学生的数学实践，直观思维与理性思维、理性精神的培养融合一体，促进学生掌握有效的数学学习方法，授课教师熟练使用评价-反馈手段，多次用鼓励性的语言评价学生的学习过程和结果，注重了非智力因素的培养。5．教师教学中注重数学思想的渗透，让学生体会到如何研究一个新问题，同时通过问题链和合理的探究活动，培养了学生的探索精神，鼓励学生发现问题与提出问题。本课较好的突出学生的主体地位，课堂中学生积极思考，积极参与，合作学习氛围浓厚，很好达到了预设的教与学效果。教材分析:教材地位与作用教材前一节主要从量的角度研究研究了柱锥台球的表面积公式，学生初步学会了求空间几何体的表面积的球阀，体会到研究的方法是转化为平面图形的面积，而本节课的目的是解决空间几何体的体积问题，本节课是前一节内容的继续和发展，从研究方法上看，利用祖暅原理将立体空间的一般问题转化为特殊问题求解，同样体现了数学转化的思想。本节内容是会考及高考的必考内容，在必修二中对培养学生探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握，培养学生空间想象能力和理解计算能力，起着非常重要的作用。教学内容：1、祖暅原理的内容2、利用祖暅原理推导柱、锥、台和球的体积公式3、熟练运用体积公式求简单几何体或组合体的体积教与学目标：1．知识与技能（1）（2）了解几何体体积的含义，利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式。（3）明确2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，培养学生空间想象能力和思维能力，理顺柱、锥、台和球之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱、锥、台和球的体积之间的关系和推导培养学生探索意识，学习重、难点：重点：柱、锥、台和球的体积公式的推导和应用。难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式间的关系。突破方式：多媒体演示、问题导学教学方法：问题立教、问题导学教学法+多媒体辅助教学教具：多媒体、三角尺课程类型新授课课时安排1课时效果分析:本节课教师对教学内容的把握，非常精准的，内容的选择和拓展都非常的到位。比如：以生活实例引入课题，祖暅原理的介绍、分析和应用，增添了台体体积公式的推导、球的体积的公式的推导，特别是知识拓展知识的介绍，都反映了教师极高的的知识的水平以及业务能力。教师对教材理解的广度和深度也非常的到位，对教材的内容，做了必要的补充，使得整个内容更加深入、更加具体，特别是教师用朴实的语言、和蔼可亲、极具磁性的引问引答，辅助学生更好的理解和运用祖暅原理解决问题。教师驾驭课堂的能力很强。教师合理地运用问题导学教学法，熟练的运用提问层层递进，学生在教师的引领下不知不觉已突破难点，那抑扬顿挫、耐人深思的问答多次有效的调动学生的积极性。教师很好的创造教学情景，比如：合理的利用“一摞书”的变形，自然引入祖暅原理，他评价学生的回答具有建设性和实践性，环环相扣的师生互动是本课的一大亮点。本节课在教师个人魅力的引领下，学生参与度很高，回答问题非常踊跃，课堂气氛热烈。整节课全体学生注意力高度集中，这与老师教的能力是密不可分的。学生在体积公式的探究、以及范例的解决各个环节主动表达自我观点，在探究球的体积的过程中，主动思考，积极寻求与半球截面积相等的几何体，这说明学生学生的学已经有效的激发并达到到一定的思维深度。新课程背景下的课堂教学，要求教学评一体化，评教评学紧密结合，基于这一原则，本节课是一节难得的好课。教学反思:多媒体课件的使用有时是一把双刃剑，本节课的教学我没有跳出课件线性程序化的教学安排，严格的按照课件的顺序进行了授课，只在课堂练习变式训练中方显灵活，在教学中球体的体积的推导也过多的占用了授课时间，个人认为课堂讲解的时间还可以再压缩一点，把学生对于体积计算中的换底，换高，进行拓展变式训练，为之后求体积的简单综合问题的解决打下了基础。而锥体体积的推导，可以通过更加生动的动画，演示三棱柱分解为三个三棱锥，让学生有更加感性的体验。另一方面，课堂教学学生的活动，还应该更加放手，胆子再大一些，让学生更多地展示自己，充分体现学生的主观能动性。同时学生互动的时间，也应该掌控的更加充分些，然学生有更多的时间和机会参与期间，这对培养学生的探索和批判性思维会更加有力，这要求观察评价课堂学生学习情况应更加深入。本次课课堂练习时间相对较短，时间调控上应更加科学。当然，受得固有知识的限制，有些公式以学生已有认知暂时还不能证明，这更能激发了学生继续学习的热情。从教的角度来说这已经是一节成功的课，但它并不完美，但只要能够让学生有收获，同时又想收获更多的课，我们的教与学又何必追求学生没有疑问的看似“完美”。《1.1.7柱、锥、台和球的体积》教学设计课型：新授课课时安排：1课时(如出现乱码，请查看课件包中swf文件)教与学目标：1．知识与技能（1）（2）了解几何体体积的含义，利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式。（3）明确2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，培养学生空间想象能力和思维能力，理顺柱、锥、台和球之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱、锥、台和球的体积之间的关系和推导培养学生探索意识，学习重、难点：重点：柱、锥、台和球的体积公式的推导和应用。难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式间的关系。突破方式：多媒体演示、问题导学教学方法：问题立教、问题导学教学法教具：多媒体、三角尺教与学具体过程：教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1、提问复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系2、复习正方体、长方体体积的求法教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V=Sh(S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积.公式：V=Sh(S为底面面积，h为高)复习巩固点出课题创设情境探索新知课堂探究一课堂探究二PPS'hSO'OD'DABCA'B'C'学生探究实践一拓展实践二知识拓展：取一摞纸张放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？祖暅原理：幂势既同，则既不容异。也就是说：夹在两个平行平面间几何体被平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。拓展:祖冲之与祖暅父子的杰出贡献的文献。柱、锥、台体积公式的推导：问题一:由祖暅原理,两个棱柱体积相等需要具备什么条件?如果是两个柱体呢?学生回答:底面积相等,高相等.问题二:两个棱锥体积相等需要具备什么条件?如果是两个锥体呢?学生回答:学生回答:底面积相等,高相等.得到结论:等底面积等高的两个柱体或锥体的体积相等.应用一：棱柱和圆柱的体积公式推导问题一：想求柱体的体积公式，如何转化呢？（由祖暅原理，课件中三个几何体等底面积，等高体积相等，故转化成长方体的体积。）得到结论：应用一：棱锥和圆锥的体积公式推导：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.问（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？棱锥与同底等高的棱柱体积之间有何关系？锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出).锥体的体积公式都是V=(S为底面面积，h为高)ＶＶ圆锥＝πｒ２ｈ应用三：台体的体积公式推导：V台体=(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)圆台体体积V圆台=π(r+Rr+R)h；其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.应用四：球的体积高等于底面半径的旋转体体积对比RR等积法（曹冲称象），阿基米德原理至少晚了一千年．微积分，我们可把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就由半球的近似体积推出准确体积．师：等底等高柱体的体积相等吗？学生观察思考实验师：介绍祖暅原理及祖暅事迹解释祖暅原理幂指截面积，势指高度师：投影并以讲故事的方式介绍。教师以问题链的方式层层追问进行引导学生明确利用祖暅原理进行等积变换进行公式的推导。师：演示投影动画。师：投影问题生在教师问题引导下进行探究。师：现在请对照演示结合祖暅原理你有什么发现？.生：棱锥的体积是同底同高的棱柱的体积的。师：台体的结构特征是什么？根据台体的特征，如何求台体的体积？生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分。师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差。师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式。师演示动画生观察在教师引导下得出结论师：推导球的体积公式的方法（你知道几种？）实践感知为祖暅原理的教学做铺垫激趣扬志柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用问题链追问式导学式提高课堂学习效率培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握让学生发现公式及公式的推导思路，体会数学学习的成功感师生协作探究激趣，调节课堂学习气氛，突破课堂注意力限制典例巩固典例提升例1.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1：5.例2有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即≈2956(mm3)=2.956(cm3)所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)答：这堆螺帽大约有252个。学生讨论完成，教师参与交流点评，鼓励表扬学生师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等体会公式的基本应用明确空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征随堂练习探究提升一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是。适当根据课堂学生反应，变式训练外接2、把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，问需用多少油漆.9.6kg柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系S=S=S′S=0V柱体=ShV锥体=学生独立完成教师点评激励师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式令S′=S，得到柱体体积公式培养学生空间想象能力和理解计算能力，巩固所学完善点睛归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系填表2．简单组合体体积的计算3．等积变换4．空间问题平面化、分割的手段等转化划归思想。学生归纳，教师重点强调巩固所学，提高自我整合知识能力课后作业基本作业：课本P32练习B1、2、3拓展选作：思考并尝试球、台体体积公式的推导。分层提升能力六．板书设计投影区课题三、应用例1板例2演评测练习:(如出现乱码，请查看课件包中swf文件)一、选择题1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.eq\f(2\r(3),3)π B．2eq\r(3)π C.eq\f(7\r(3),6)π D.eq\f(7\r(3),3)π2．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A.eq\f(288,π)cm3 B.eq\f(192,π)cm3 C.eq\f(288,π)cm3或eq\f(192,π)cm3 D．192πcm33．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋2eq\r(3) B．4π＋2eq\r(3)C．2π＋eq\f(2\r(3),3) D．4π＋eq\f(2\r(3),3)二、填空题4．若一个球的体积为4eq\r(3)π，则它的表面积为__________．5．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1—DFD1，V2＝VEBE1A—FCF1D1，V3＝VB1E1B—C1F1C，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．三、解答题6．三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．7．一个正四棱台的斜高为12cm，侧棱长为13cm，侧面积为720cm2，求它的体积．8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．答案：1．D[上底半径r＝1，下底半径R＝2，因为S侧＝6π，设母线为l，则π(1＋2)·l＝6π.∴l＝2.所以高h＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π·eq\r(3)×(1＋1×2＋2×2)＝eq\f(7\r(3),3)π.]2．C[若底面圆周长为12，则2πr＝12，所以r＝eq\f(6,π)，所以V＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,π)))2·8＝eq\f(288,π)(cm3)．若底面圆周长为8，则2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)，所以V＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,π)))2·12＝eq\f(192,π)(cm3)．]C[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为eq\r(2)，高为eq\r(3)，所以体积为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)，所以该几何体的体积为2π＋eq\f(2\r(3),3).]125．4eq\r(13)解析本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA1E—DD1F＝12，∴S△AA1E＝3，∴AE＝2.∴A1E＝eq\r(13)，∴S矩形A1EFD1＝4eq\r(13).6．方法点拨：三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．解如图，在长方体中，PA、PB、PC两两互相垂直，显然AP⊥平面BPC.∴AP是三棱锥A－PBC的高．∵S△BPC＝eq\f(1,2)·BP·PC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC＝eq\f(1,3)S△BPC·AP＝eq\f(1,3)×6×2＝4.7．解设该棱台的上、