四川省内江市资中县球溪镇中学2021年高三数学理模拟试题含解析

四川省内江市资中县球溪镇中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）

A．

B．4

C． D．参考答案：D略2.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（

）A.32 B.4 C.8 D.2参考答案：A【分析】本题首先可以根据约束条件画出可行域，然后结合可行域得出最大值所对应的点，最后将点坐标带入目标函数中即可得出结果.【详解】由约束条件作可行域如图：由图可知，最优解为点，联立，解得，即.所以目标函数的最大值为.故选：A.【点睛】本题是线性规划问题，能否根据约束条件画出可行域是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，是简单题.3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．60

B．54C．48

D．24参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积.

G2

【答案解析】A

解析：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．【思路点拨】几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据，把数据代入棱柱的表面积公式计算．4.设集合A={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＜1}，则集合A∩B=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出集合A∩B．【解答】解：集合A={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＜1}，则集合A∩B={x|x≤0}=（﹣∞，0]．故选：B．【点评】本题考查了交集的运算问题，是基础题．5.已知函数f（x）=mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8] B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣∞，﹣6] D．（﹣∞，﹣6）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到m≤2x2﹣8x在[1，+∞），令h（x）=2x2﹣8x，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=+8﹣2x=，令g（x）=﹣2x2+8x+m，若函数f（x）=mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则﹣2x2+8x+m≤0在[1，+∞）成立，则m≤2x2﹣8x在[1，+∞），令h（x）=2x2﹣8x，x∈[1，+∞），h′（x）=4x﹣8，令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：1≤x＜2，故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增，故h（x）min=h（2）=﹣8，故m≤﹣8，故选：A．6.已知F、A分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点和右顶点，过F作x轴的垂线在第一象限与双曲线交于点P，AP的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q，若=（2﹣），则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设出F，A的坐标，令x=c代入双曲线的方程，可得P的坐标，求得AP的方程，联立渐近线方程可得Q的坐标，结合=（2﹣），可得c﹣a=（2﹣）（﹣a），进而化简得到双曲线的离心率．【解答】解：F，A分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点和右顶点，可设F点坐标为（c，0），A（a，0），过F作x轴的垂线，在第一象限与双曲线交于点P，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，则P点坐标为（c，），则AP所在直线方程为：y=（x﹣a），即y=（x﹣a），联立双曲线﹣=1的渐近线方程y=x得：Q点的横坐标为，∵=（2﹣），∴c﹣a=（2﹣）（﹣a）=（2﹣），∴b2﹣b（c﹣a）=（2﹣）ab，∴a+b﹣c=（2﹣）a，∴b=（1﹣）a+c，∴b2=（3﹣2）a2+c2+（2﹣2）ac=c2﹣a2，∴（4﹣2）a2+（2﹣2）ac=0，∴（4﹣2）a+（2﹣2）c=0，∴（4﹣2）a=（2﹣2）c，∴e===，故选：A．7.抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．y2﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决．【解答】解：∵抛物线y2=8x中，2p=8，∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．∵抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，∴c=2，∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，∴=1，即=1，解得b=1，∴a2=c2﹣b2=3，∴双曲线C的方程为﹣y2=1，故选：D．8.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】在上的投影为，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.9.下列命题中，真命题是A．

B．C．

D．参考答案：D10.设全集，集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，=8,=5,=7,则边上的中线AM的长为

▲

参考答案：12.已知点在函数（其中，e为自然对数的底数）的图象上，且，，则的最大值为

．参考答案：e由题意得，因数，，所以且，令t=,所以，等号在时成立。所以，填e。

13.曲线的长度是

.参考答案：无略14.如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

；参考答案：略15.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，那么角C的大小为__________．参考答案：【分析】由，可得角和．再利用正弦定理即可得出的值和角，根据三角形的内角和定理可求的值．【详解】解：，为钝角，可得，．由正弦定理，可得．为锐角，．．【点睛】本题考查了正弦定理，以及推理能力与计算能力，属于基础题．16.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有．参考答案：①③【考点】不等式的基本性质．【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣ex，x＞0，y′=1﹣ex＜0，函数单调递减，∵ea﹣eb=1，∴a＞b，∴a﹣ea＜b﹣eb，∴a﹣b＜ea﹣eb=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．17.设不等式组表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x﹣y的最大值是． 参考答案：1,2.【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域M的面积；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，1）， 联立，解得C（1，3）， 联立，解得B（2，2）， ∴平面区域M的面积为； 化z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知， 当直线y=2x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣2=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯调查，（Ⅰ）求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；（Ⅱ）若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2名学生均为中等生的概率.参考答案：19.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的右焦点坐标为，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆相交得到的弦的中点共线；（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆的一部分，试作出椭圆的中心，并写出作图步骤．参考答案：(I)(II)(III)见解析【知识点】直线与椭圆H5（Ⅰ）依题意，得，所以，所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）设直线：，：，分别交椭圆于及，弦和的中点分别为和．由得，令，即．又所以，．即．

………….6分同理可得．

………….7分所以直线所在的直线方程为．

………….8分设：是斜率为1且不同于的任一条直线，它与椭圆相交于，弦的中点为同理可得由于，故点在直线上．

所以斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线．

（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦∥，∥，其中与不平行．②分别作平行弦的中点及平行弦的中点．③连接，，直线，相交于点，点即为椭圆的中心．…【思路点拨】由已知条件可求出椭圆的几何量，再列出椭圆方程；设出斜率为1的直线方程，再求出中点所在的方程；找出平行弦垂直平分线的交点即可找到椭圆的中心.20.（12分）已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD⊥平面AEC，且AC=，AE=EC=1，AD=2EF，EF∥AD．（Ⅰ）求证：平面FCE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AD=2，求多面体ABCDEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥EC．AE⊥EC．推出EC⊥平面ADE，然后证明平面FCE⊥平面ADE．（Ⅱ）说明AE⊥平面BCEF，通过VABCDEF=VA﹣BCEF+VD﹣AEC，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面AEC，EC?平面AEC，∴AD⊥EC．又，AE=EC=1，∴AC2=AE2+EC2，∴AE⊥EC．又AE∩AD=A，∴EC⊥平面ADE．∵EC?平面FCE，∴平面FCE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：易知AE⊥AD，又EF∥AD，∴AE⊥EF，由（Ⅰ）知AE⊥EC，又EF∩EC=E，∴AE⊥平面BCEF，又AD=2，∴EF=1．∴VABCDEF=VA﹣BCEF+VD﹣AEC=×EC×EA+×EC×AD=××1×1×2=．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.在含有n个元素的集合中，若这n个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列(2,3,1)是的一个错位排列；排列(1,3,2)不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，，，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.参考答案：解：（1），，，，（2），理由如下：对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；若，这种错位排列就是将1，2，…，，，…，排列到第2到第个位置上，1不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；根据前面所述，对任意，都有为奇数.

22.如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线