2021-2022学年安徽省滁州市天长第二中学高二数学文期末试卷含解析

2021-2022学年安徽省滁州市天长第二中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（

）A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍参考答案：A略3.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（

）A.60 B.65 C.80 D.81参考答案：D由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：当时，只有一种情况，即；当时，即，有种；当时，即，有种；当时，即，有种当时，即，有16种，综合以上五种情况，则总共为：81种，故选D.【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.4.设函数，则（）．A． B．3 C． D．参考答案：C．选．5.已知命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”，则下列结论正确的是A.否命题是“若函数在(0,+∞)上是减函数，则”，是真命题B.逆命题是“若，则函数在(0,+∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若，则函数在(0,+∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若，则函数在(0,+∞)上不是增函数”，是真命题参考答案：D【分析】本题首先可以根据原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果。【详解】原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”，是真命题；逆命题为“若，则函数在(0,+∞)上是增函数”，是真命题；否命题为“若函数在(0,+∞)上不是增函数，则”，是真命题；逆否命题为“若，则函数在(0,+∞)上不是增函数”，是真命题，综上所述，故选D。【点睛】本题考查命题的相关性质，主要考查原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的相关性质以及联系，考查推理能力，是简单题。6.直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6

（B）7

（C）8

（D）23参考答案：B略8.若集合，，则“”的充要条件是A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A． B． C．4 D．8参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选B．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．10.已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为

。参考答案：12.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．参考答案：

13.将函数f（x）=2sin（）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的得到函数g（x），则g（x）在区间[0，π]上的最小值为．参考答案：﹣1【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在区间[0，π]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）=2sin（x+）的图象，在区间[0，π]上，x+∈[，]，故当x+=时，函数g（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1．14.命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣16≤a≤0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．解答：解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为．故答案为：﹣16≤a≤0．点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化的数学思想，属中档题．15.下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A=

，B=

，C=

，D=

。参考答案：A=47,B=53C=88,D=82

略16.在下列命题中（1）且是的充要条件；（2）命题“若，则”的逆命题与逆否命题；（3）命题“若，则”的否命题与逆否命题；（4），使。是真命题的序号为：

.参考答案：（４）17.对于实数，若，，则的最大值

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点，若（为坐标原点）的面积为4，求抛物线的方程。参考答案：19.设数列{an}满足an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有an≥n+2．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）分别取n=2，3，4依次计算得出，猜想：an=n+1；（2）利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）由a1=2，则a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3，则a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4，a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5．猜想：an=n+1．（2）证明：当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立；假设n=k（k≥1）时不等式成立，即ak≥k+2，则ak+1=ak2﹣kak+1=ak（ak﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1=2k+5＞k+3，即n=k+1时，不等式仍成立．综上，对于所有n≥1，都有an≥n+2．20.（本题满分12分）如图，正方形所在平面与平面ABC垂直，是和的交点，且.(1)求证：⊥平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求锐二面角的大小．

参考答案：依题可知，CA，CB，CD两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz，设正方形边

长为1，则AC＝BC＝1.

C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，0，1)，

...................2分(1)

证明：21.已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn．（1）若a1=8，b2=24，且对任意的n∈N*，总有=，求数列{nan]的前n项和Pn；（2）当n≤3时，bn﹣an=n，若数列{an}唯一，求Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【分析】（1）通过在=中分别令n=1、2，结合a1=8、b2=24，可得a2=72、b1=8，进而利用错位相减法计算即得结论；（2）通过bn﹣an=n（n≤3）整理可知a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0，对其根的判别式进行讨论即可．【解答】解：（1）依题意，===1，==，又∵a1=8，b2=24，∴a2=72，b1=8，又∵数列{an}、{bn}均为等比数列，∴an=8?9n﹣1，bn=8?3n﹣1，∴Pn=8（1?1+2?9+3?92+…+n?9n﹣1），9Pn=8[1?9+2?92+…+（n﹣1）?9n﹣1+n?9n]，两式相减得：﹣8Pn=8（1+9+92+…+9n﹣1﹣n?9n），∴Pn=n?9n﹣（1+9+92+…+9n﹣1）=n?9n﹣=+?9n；（2）依题意，b1=1+a1，b2=2+a2，b3=3+a3，设数列{an}的公比为q，则（2+a2）2=（1+a1）（3+a3），即（2+a1q）2=（1+a1）（3+a1q2），整理得：a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0，又∵数列{an}唯一，∴若上式为完全平方式，则：当△=﹣4a1（3a1﹣1）=4+4a1=0时，解得：a1=﹣1（舍）或a1=0（舍）；当△＞0，且a1q2﹣4a1q+3a1﹣1=0有一个零根和非零根时，由韦达定理可知：3a1﹣1=0，即a1=，此时q=4；当△＞0且两根都不为零时，但是若有一根可以使bn中有项为0，则与bn为等比数列矛盾，那么这样的话关于an的方程虽然两根都不为0，但使得bn中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去，这样an也是唯一的，由此易求出a1=﹣，此时q=（舍）或；∴当a1=、q=4时，Sn==；当a1=﹣、q=时，Sn==．22.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.（2）讨论函数的单调性.参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）求函数f（x）的导数，令f'（2）＝4求出a值，利用切点P（2，f（2））在函数f（x）和切线y＝4x﹣2上，求出b值，可得答案．（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，分类讨论，确定函数的单调性；【详解】（1）求导函数得f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2∵若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y＝4x﹣2∴f′（2）＝4a﹣2（a+2）+2＝4∴2a＝6，∴a＝3,∵点P（2，f（2））在切线方程y＝4x﹣2上,∴f（2）＝4×2﹣2＝6，∴2+b＝6，∴b＝4∴函数f（x）的解析式为；（2）f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝(ax-2)(x-1),函数定义域为R，①当a=0时，f′（x）＝﹣2（x-1）,函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为增函数，