【上海54】期中模拟卷01【24-25章】

2023-2024学年上学期期中模拟考试九年级数学（沪教版24-25章）（考试时间：100分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）1．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定2．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（

）A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（

）A．， B．，C． D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（

）A．a B．2a C．a D．a5．如图，在中，，，为垂足，且，则（）A． B． C． D．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．如果，那么．8．长为、的线段的比例中项长是．9．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是10．在中，与是锐角，且，，那么度．11．如图，已知在中，点在边上，，，，那么．（用含向量和的式子表示）

12．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．13．如图，梯形中，，，，，，那么．14．如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是．17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则．18．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为.三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．计算：．20．如图，、是的边、上的中线，、相交于点，联结，设，．(1)用、来表示，，．(2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．如图，在中，点、分别在边、上且，．(1)求证：；(2)若，，，求的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．23．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接．(1)求证：；(2)求证：．24．已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，另有一点．(1)求一次函数解析式；(2)连接，点是反比例函数的第一象限图像上一点,过点作轴的垂线，垂足为.如果与相似，求点坐标；(3)连接，求的正弦值．25．在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点．（1）求证：；（2）设，求关于的函数关系式及其定义域；（3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长．

2023-2024学年上学期期中模拟考试九年级数学（沪教版24-25章）（考试时间：100分钟试卷满分：150分）一、选择题1．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【解析】三角形各边长度都缩小为原来的倍，∴得到的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的正弦、余弦值不变，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键．2．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（

）A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米【答案】C【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．【解析】解：根据题意，10÷（1：5000）=50000厘米=500米．即两地间的实际距离是500米．故选C．【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（

）A．，B．，C．D．【答案】D【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可．【解析】A选项，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符题意；B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意；C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意；D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意．故选：D【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（

）A．a B．2a C．a D．a【答案】C【分析】先根据三角函数求出，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：∵∠C=90°，，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角函数的相关知识．5．如图，在中，，，为垂足，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明，利用相似三角形的性质求解即可．【解析】解：，，又，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解析】解：根据题意得：，∴，∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；第2个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；第3个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；第4个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．二、填空题7．如果，那么．【答案】/【分析】已知，设，，代入求值的代数式化简即可．【解析】解：∵，设，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确设出a和b的值进行化简．8．长为、的线段的比例中项长是．【答案】【分析】根据成比例线段的定义和比例的性质进行解答即可．【解析】解：长为、的线段的比例中项长是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例线段的性质，解题的关键是列出比例中项的算式．9．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是【答案】2：3/【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，两个相似三角形的相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．故答案为：2：3．10．在中，与是锐角，且，，那么度．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值得出锐角、的值，再根据三角形的内角和定理即可得出答案【解析】解：∵，，与是锐角，∴，，∴；故答案为．【点睛】本题考查了由特殊角的函数值求角度，以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．11．如图，已知在中，点在边上，，，，那么．（用含向量和的式子表示）

【答案】【分析】利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．【答案】【解析】过点C⊥AB于点D,在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AC=100m，∴AD=100⋅sin∠ACD=100×=50(m)，CD=100⋅cos∠ACD=100×=(m)在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=m，则AB=AD+BD=50+(m).故答案为50+13．如图，梯形中，，，，，，那么．【答案】6【分析】根据题意可知△ABD∽△DCB，利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案．【解析】解：在直角梯形中，∵，，，∴∠ADB=∠DBC，∠A=∠BDC，∴△ADB∽△DCB,∴又∵AD=4,,BC=9,∴BD=6故答案为:6．【点睛】本题考查了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出△ABD∽△DCB．14．如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是．【答案】6.4/【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．【解析】解：∵，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得，∴．故答案为：6.4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则＝．【答案】【分析】根据平行四边形的性质得，，根据平行线的性质得，，可得，根据相似三角形的性质得，根据得，即可得．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是．【答案】2【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得，再由重心的性质即可得到，从而可证明△FAG∽△DAH，得到，由此求解即可．【解析】解：设直线AG与BC的交点为H，∵AB=AC，AD⊥BC，∴CD=BD，∠ADB=90°，D是BC的中点∴，∴，∵CE是AB边的中线，AD是BC边的中线，AD与CE交于F,∴F是△ABC的重心，∴，∴，∵G为△ACD的重心，∴∴同理可得，，∴，又∵∠FAG=∠DAH，∴△FAG∽△DAH，∴，∴，故答案为：2【点睛】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能熟练掌握重心的性质．17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则．【答案】/0.28【分析】过点A作于D，过点B作于E，设，，根据勾股定理得，，进而判断是锐角三角形，点E在AC边上，从而得，由三角函数的定义即可求解．【解析】如图，过点A作于D，过点B作于E，∵，∴设，，∵，∴，根据勾股定理得，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是锐角三角形，∴点E在AC边上，∵，，∴即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．18．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为.【答案】【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.【解析】如图，过N作NF⊥AD于F，∵四边形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，∴∠AEM+∠NEF=90°，∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠NEF，又∵∠A=∠EFN=90°，∴△AEM∽△FNE，∴，∵AE=2AM，NF=6，∴EF=3，∴BN=EN===，∵BC=8，∴CN=BC-BN=8-，故答案为：8-【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.三、解答题19．计算：．【答案】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解析】===【点睛】此题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，、是的边、上的中线，、相交于点，联结，设，．(1)用、来表示，，．(2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】(1)；；(2)图见解析【分析】（1）根据平面向量运算法则即可求出答案；（2）根据平面向量的基本定理进行求解即可．【解析】（1）解：，分别是边，上的中线，是的重心，是的中位线，，，，，，，．故答案为：；；（2）解：作图如下：为所求，【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于中等题型．21．如图，在中，点、分别在边、上且，．(1)求证：；(2)若，，，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，可得：，进而推出，然后证明，得出，即可证明；（2）根据，得到，得到，再利用，得到：，从而得到，即可得到的值．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质．熟练掌握平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，cosB＝．∴BE＝，在Rt△ACB中，AB＝＝4，∴AE＝.（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．∴在Rt△AHE中，cosA＝，AH=AE•cos45°=，∴CH＝AC−AH＝4−＝，∴EH=AH=，∴在Rt△CHE中，cot∠ECB=，即∠ECB的余切值是．【点睛】此题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．23．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据结合已知条件，直接证明根据相似三角形的性质即可得证；（2）证明，得出，根据（1）的结论得出，根据公共角，证明，即可得证．【解析】（1）∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，即．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，另有一点．(1)求一次函数解析式；(2)连接，点是反比例函数的第一象限图像上一点,过点作轴的垂线，垂足为.如果与相似，求点坐标；(3)连接，求的正弦值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分和两种情况讨论求解即可；（3）如图所示，过点B作于D，利用勾股定理求出，，利用面积法求出，再根据正弦的定义求解即可．【解析】（1）解：∵一次函数的图像经过点，，∴，∴，∴一次函数解析式为；（2）解：如图所示，当时，∵，，∴，∴，即，∴，设，则，∴，解得（负值舍去），∴；同理可得当时，可得；综上所述，点P的坐标为或；（3）解：如图所示，过点B作于D，∵，，．∴，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，相似三角形的性质，反比例函数与几何综合，勾股定理，正弦，熟知相关知识是解题的关键．25．在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点．（1）求证：；（2）设，求关于的函数关系式及其定义域；（3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．【分析】（1）只要证明△OBD∽△NED，即可解决问题；（2）由tan∠DBC＝，又因为，可得，由此即可解决问题；（3）分两种情形：①如图2−1中，当DE＝DF时，②如图2−2中，当