新高考数学二轮复习：数列（测试）（解析版）

模块四数列（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知5“是数列｛%｝的前/项和，若q=1,用，则（）

A.数列｛%｝是等比数列B.数列｛4｝是等差数列

C.数列｛5｝是等比数列D.数列｛S,,｝是等差数列

【答案】C

1111

【解析】因s.=52+1①可得，当“22时，②，于是，由①-②可得：Sn-Sn_l=-a„+l--an,

即见可得曝=3,因4=1,在S“=4ax中，取"=1,可得。2=2岳=2,即

22。〃2

生=2*3,

ax

故数列｛%｝不是等比数列，选项A,B错误；

又因当“eN*时，都有。"M=S”+「S”,代入S“=9“M中，可得整理得：*=3,

故数列｛5“｝是等比数列，即选项C正确，D错误.

故选：C.

2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,…，其中从第

三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列也“｝称为“斐波那契数

列”.若把该数列｛%｝的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列也｝,则数列｛bn｝的前2024

项和是（）

A.2275B.2276C.2277D.2278

【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,...,

除以3所得余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0...,

即帆｝是周期为8的周期数列，

因为2024=8x253,

b[+仇+•••+4=9,

所以数列也｝的前2024项和为253x9=2277.

故选：C

3.已知等比数列｛。"｝的前”项积为S"，若如=2",则%d=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】设等比数列｛。“｝的公比为q,则%=%/…%0%i=&i=2n,贝U%=2,

所以a4a7=-^(44)=4=8.

q

故选：B.

+l

4.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，an+l=Sn+T,4=2,贝”“=()

A.B.(71+1)-2"

C.77-2"-1D.n-r

【答案】D

【解析】因为矶=5“+2向，贝电+「S,=S“+2"+i,整理得费一寸=1,

又4=2,则?一l，

因此数列[多｝是首项为1,公差为1的等差数列，

则¥=l+(l)xl=〃,所以5〃=加2〃.

故选：D.

3〃22/77+2w<7

:~n「一，若对任意〃cN*,都有。〃+1>风，则实数方的取值范

(4n+94,n>7

围是()

23923923

A.tG[3,4-00)B.te[—,—)C.tG)D.tG[7y^00)

14214214

【答案】C

【解析】当〃e{l,2,3,4,5,6}时，an+i-an=3（〃+1）2-2/（4+1）+2-3〃2+2M-2=6〃+3-2/>0恒成立,

所以2r<6"+3对〃e｛l,2,3,4,5,6卜恒成立，故2r〈gntv?,

又当”>7,〃eN时，氏=4〃+94为单调递增的数列，

故要使对任意刀eN*,都有。则网>%，即4x8+94>3x7?-14f+2,

解得"上，

14

综上可得优噌23,9*,

故选:C

6.已知等差数列｛为｝中，4=100,公差1=一3,前〃项和为S“，则下列结论中错误的是()

A.数列，为等差数列

B.当”=34时，S“值取得最大

C.存在不同的正整数V,使得s,=s,

D.所有满足q+%=101(，</)的正整数,"中，当i=17,j=18时，值最大

【答案】C

【解析】S“=吗+'("1讨=一3"2+垩",得之=一3〃+学，数列［1］为等差数列，A正确；

"1222"22［nJ

203

当川的对称轴为“33.8,因为“eN*,所以当〃=34时，S,值取得最大，B正确；

6

因为当S,的对称轴为〃=£20B333.8,且〃eN*,因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数，，),使

6

得s，=Sj,C错误；

由题可知an=103-3n,ai+a.=103-3z+103-3j=101(z<j),解得i+j=35,

2

aiaj=(103-3z)(103-3j)=10609+9z/--309(z+j),化简可得4%=-9z+315z-206,

根据二次函数性质可知当，=17.5时,4勺取最大值,因为二N*,所以当7=17,/=18时，值最大,D

正确.

故选：C.

7.若数列｛%｝满足二一一1=d(〃eN*,d为常数)，则称数列｛%｝为调和数歹1J.已知数列士为调和数

an+lanJ

歹(J,且x；+x；+%；+,,,+^2022=2022,则X9+X2014的最大值为（）

A.0B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】数列3为调和数列，故X；

：,27：=d,所以｛d｝为等差数列,

〔X"

fx23+%第)x2022

1

由町+x；+x；+.•.+X|022=2022,所以二一空"------二2022，

2

故%]+%2022=2,所以/+%2014=2,故为+%2014=2N2%9^2014,故工9%2014—，

由于(与+*2014)2=¥+X2014+2罚尤2014=2+2Mx刈4&4，

当且仅当F=々014时等号成立，故为+尤2014的最大值为2,

故选:B

33a“111

8.已知数列｛4｝的首项%=],且%+i—十一+…+一<2。25,则满足条件的最大整数〃=

+1

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

3%12%+1，所以二一

【解析】因为q，所以——二

‘用一2%+1an+\3%3%3a

n+l

1,2

所以数列｝是等比数列，首项为百3,公比为g,

5

n-l

所以;l=；x1,即，=2x

=2x+1,

3anI

2

1111

所以S〃=-------1----------1-,••H--------=2x-++…++n

3II

1Y)

—X

3

=2x——+n=n+1—I

而当时，S〃单调递增,

门产4=2026一］『>2025,

又因为$2024=2025—§<2025,且S2025

所以满足条件的最大整数〃=2024.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知数列｛（｝中，4=1,。用=q,+2"（〃eN*）,则下列结论正确的是（）

A.%=13B.{4}是递增数列C.aw<1000D.«„+i=2a„+l

【答案】BD

【解析】由。用=。,+2"，可得需=1舞+；，则黑一1=:（祟一1），

又由4=1,可得11=一（，所以数列］果-11表示首项为-;，公比为3的等比数列,

所以墨一1=一"T=一9"，所以?=2"_1,

由&=24-1=15,所以A不正确;

由%.一%=2向一1-2"+1=2">。，即所以｛%｝是递增数列，所以B正确；

由％0=21°-1=1023>1。。。，所以C错误；

由4m=2向-1,2%+1=2-2"-2+1=2向一1,所以ax=24+l,所以D正确.

故选：BD.

10.已知S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且为>。，/+%。<。，则下列选项正确的是（）

A.数列｛%｝为递减数列B.&<。

C.S”的最大值为S7D.S14>0

【答案】ABC

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,

由于%>0,。5+%0<°,故％+。8="5+”10<°，

则a<0,B正确；

d=a.-a1<0,则数列｛%｝为递减数列，A正确,

由以上分析可知6吗，…时，a„<0,

故S”的最大值为S’，C正确;

3=14（%;%）=14（%；区。）<0,D错误，

故选：ABC

11.已知数列｛%｝满足q=1,^-T--=«„+1--,则%023的值可能为（）

2

an

【答案】AD

【解析】由守-=an+i-,可得—"="四一-n(%。用-1)(2%+i-«,,)=0,

22an+1an2an+lan

故见。用T=°或2%+i-4=°，

当44+「1=。时，则。”。"+1=1，因此%=1,故4=1，。2023=1，

2022

若2%-%=0时，则｛玛｝为等比数列，且公比为，贝1%。23=1

故选：AD

函数〃x）满足〃》+〉）=器需

12.对于任意非零实数x,y,且“X）在（0,+8）单调递减,

"1）=1,则下列结论正确的是（）

C./（X）为奇函数D./（X）在定义域内单调递减

【答案】AC

【解析］令彳=>=；,

是以/（g）=2为首项，2为公比的等比数列,

所以

20232(1_22。23)

故。=22024-2,故B错误;

~1^2-

i=l7

由题意，函数“X）的定义域为（-s，0）U（0,+s）,关于原点对称,

“尤)/(-2x)

令y=-2x,则〃T)=

f(x)+f(-2x)'

/(T)/(T)

令-x代换羽y,则/(-2x)=

2/(-x)

由两式可得/（T）=------｛「化简可得/（-x）=-〃x）,所以/⑺为奇函数，故C正确;

/（尤）+勺2

因为/（X）在（0,+8）单调递减，函数为奇函数，可得/（X）在（-8,0）上单调递减，

但是不能判断"X）在定义域上的单调性，例如/。）=!，故D错误.

X

故选：AC

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

a

13.各项均为正数的等比数列｛。“｝的前〃项和为S“，且-卬，：小，生成等差数列，若弓=1，则

【答案】15

【解析】设等比数列何｝的公比为心

3

因为-〃1，4%，”3成等差数列,

3

以2x—a?-—6+Q3，

3

以2xaqq=-a1+qg,

因为q=1,且各项均为正数,

所以解得4=2,

34

所以S,=i_L?^=15.

41-2

故答案为：15

14.设数列｛g｝的前〃项和为S“，且〃eN*,a“>an+l,Sn<S8.请写出一个满足条件的数列｛a,｝的通项公式

【答案】8—n(答案不唯一)

【解析】因为〃eN*“>%,则数列㈤｝递减，又S：即"最大，所以4=8-九符合.

故答案为：8-n(答案不唯一)

10

15.已知数列｛。“｝满足。3=5,«„+an+l=4/7,则WX，=.

z=l'

【答案】4082

【解析】因为。,+。用=4",

所以4+〃2=4,%+〃3=8,

又〃3=5,所以〃2=3,。1=1,

因为%+〃〃+1=4"，所以an+\+°"+2=4"+4,

两式相减得为+2-%=4,

所以｛%｝的所有奇数项成等差数列，首项为1,公差为4,

｛%｝的所有偶数项成等差数列，首项为3,公差为4,

n—1

所以当〃为奇数时，fl„=l+(^-+l-l)x4=2»-l,

V)—2

当"为偶数时，a„=3+(—?-+l-l)x4=2n-l,

a

综述：n=2n—1(weN,),

所以％,=2*2-1=2阳—1,

ioo2—211x2

所以2%，=22-l+r—1+…+2U-l=(2?+23+…+2")-10=~~~—10=212-14=4082.

z=i1—2

故答案为：4082.

16.已知数列｛为｝满足4=1,%M=2%+l(〃eN*),记数列7—守一方的前”项和为1.若对于

任意"cN*,不等式左恒成立，则实数上的取值范围为.

【答案】g,+8)

【解析】由题设+1=2(%+1),而4+1=2,则依+1｝是首项、公比都为2的等比数列，

所以4+1=2",则%=2"-1,

%+1X11

所以

(4+2)(%+2)(2"+1)(2向+1)2"+12n+1+l

---1-------1--=-1------1--<!在

贝1|7；=-------—+----------+•••+〃cN*上恒成立,

〃2+14+14+18+12"+12"+'+132"+1+13一

要使不等式%恒成立，只需左2;,所以实数左的取值范围为今,+8).

故答案为：［；,+8)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知数列何｝的前«项和为S„,且满足S"="2+1.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)若数列bn=(-1)"«„,求数列也｝的前2n项和T2n.

【解析】⑴因为S"=»+l,

当〃=1时，4=y=『+1=2,

当〃22时，Sn_x=(n—1)+1,贝!J=*+1—(〃-1)—l=2n—l,

一f2,〃=l

当〃=1时，％=2〃一1不成立，所以为=《

\2n-l,n>2

—2,n=l

⑵由⑴可得K-DZ=](TX21),〃”

所以耳=-2+3-5+7-9+11-13+—+(4"-5)-(4"-3)+(4"-1)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+---+[(4«-5)-(4??-3)]+(4«-1)

=-2-2(/!-1)+(4«-1)=2«-1,

18.(12分)

已知等差数列｛4｝的前n项和为Sn,且％+必=16,S5=30.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

11I1

(2)求证:—+—+•••+—<1.

【解析】(1)设数列｛%｝的首项为4,公差为d.

则%=4+(〃-l)d,S>nf=nax+

2。]+6d=164=2*

由〃2+4=16,85=30,可得5a+10d=300=>q=2〃，neN；

ld=2

(2)由(1),=2〃+〃(〃-=+贝"g"11

n(n+l)nn+1'

11111

—L-=U+i-l+...+l-J-=i—L<i

取SIS2Sn1x22x3n(n+l)223n〃+l〃+l

19.(12分)

3

数歹U{4}前”项和S“满足an+x=23+3,4=3,数歹ij{%}满足bn=log3.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;

⑵对任意小£N*,将数列圾｝中落入区间（4,4+I）内项的个数记为或，求数列也｝前加项和图.

【解析】(1)%=3,。〃+i=2S〃+3①，当〃=1时，％=2H+3=9,

当〃22时，〃〃=2S〃_i+3(2),

两式①■②得4+1-4=2%,即%=3aH,

其中%=9=3%,也满足上式,

故｛%｝是以3为首项，3为公比的等比数列,

故4=%3一=3〃；

a333n

2=1嗝才=log3g=3〃_2；

79

令3m<3〃一2<3加+1,m13w-,+-<H<3"+-,又〃£N*,

故〃=301T+1,3加1+2,…，3机,贝I]%=3旭—3加一1二2•3W-1,

9.3加

故c"旦=3奈=3,所以｛1｝为等比数列，首项为。=2,公比为3,

Cm

而N2（1-3"）

所以（“=13/=3山_]

20.（12分）

已知数列｛叫的前W项和为s“，且满足S“=一为，4=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

2%,“为偶数

⑵设数列也｝满足6“=%+2a.小注将，求数列出｝的前2〃项和&.

---------1------n------Z,〃刃可缴

.a,%+2

n+1

【解析】（1）因为5,=受为，

n

”22时，Sn_i=-«„_1，

an

两式相减得工n二-7，

a2_2%=3L4"—〃

%，%2，'an_xn-1

相乘得，二九，所以〃〃=〃（〃之2）,

当〃=1时符合上式，

所以％=";

2”,〃为偶数

（2）4=<n+2n

---------1-—---2--,--几-为奇数

、nn+2

当“为奇数时优=1+2+1-=-2=21，--二

nn+2\nn+2

=22+24+...+22n+2|1--+---+...+

I335

4（1—4〃）4n

1-42n+l

4n+1-44n

-------------1-----------

32n+l

21.（12分）

已知等比数列｛%｝的公比4>0,且qwl,首项的=1,前w项和为S”.

⑴若久2,且旦^为定值，求q的值；

。〃一,

（2）若Sn+1>an+1+2an（"eN*）对任意”22恒成立，求q的取值范围.

%（j"）

【解析】（1）易知S“l-q1\-q"q1q

an-2一（1姆-2%~'q'^-2一~q^i'尸-2

若/2,且」\为定值，

册-2

则当且仅当4时，工；为定值一1.

2。〃一，

1_〃"+1

(2)因为S加>4+I+〃(〃N2),所以T—>q"+2qi=qi(q+2),

1-q

当4>1时，有qn+l-