2019年新课堂高考总复习数学文科第八章2讲空间几何体表面积和体积配套课件

第2讲

空间几何体的表面积和体积考纲要求考点分布考情风向标2011

年新课标第16

题考查球内接圆锥问题；2011

年新课标第18

题(2)以四棱锥为背景，求三棱锥从近几年的高考试题的高；来看，本部分内容是高1.认识柱、锥、台、球及其简单2012

年新课标第8

题考查求球的体积；2012

年新课标第19

题(2)以三棱柱为背景，求几何体考的必考内容，考查形式可以直接求几何体组合体的结构的体积；的面积和体积，也可以特征，并能运用2013

年新课标Ⅰ第15

题考查求球的表面积；根据几何体的体积、面这些特征描述2013

年新课标Ⅰ第19

题(2)考查线面位置判定定理及积求某些元素的量，与现实生活中简求三棱柱体积；三视图相结合求几何单物体的结构.2015

年新课标Ⅰ第6

题考查圆锥的体积公式的应用；体的面积、体积是课改2.

了解球、棱

2015

年新课标Ⅰ第11

题考查简单几何体的三视图、圆以来高考的热点，在备柱、棱锥、台的柱的侧面积公式及球的表面积公式；考时应予以重视.同时表面积和体积2015

年新课标Ⅰ第18

题(2)已知三棱锥体积，求三棱要特别注意有关球的的计算公式锥的侧面积；内接或外切几何体的2016

年新课标Ⅰ第7

题考查三视图及体积、表面积的计算，全国卷多年都有运算；考查2017

年新课标Ⅰ第7

题考查三视图及面积的运算1.柱、锥、台和球的侧面积和体积几何体侧面积体积圆柱S

侧＝

2πrh

V＝Sh＝πr2h圆锥S

侧＝πrlV

1

1

2＝3Sh＝3πr

h1＝3πr2

l2－r2圆台S

侧＝π(r1＋r2)lV

1＝3(S

上＋S

下＋S上S下)h1＝3π(r2＋r2＋r

r

)h1

2

1

2(续表)几何体侧面积体积直棱柱S

侧＝ChV＝Sh正棱锥S

1

′侧＝2ChV

1＝3Sh正棱台S

1

C＋C′)h′侧＝2(V

1

S

＋S

＋

S

S

)h＝3(

上

下

上

下球S

球面＝

4πR2V

4

3＝3πR2.几何体的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用等积法：包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(

A

)A.2π

B.π

C.2

D.1解析：由已知得，圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积S＝2π×1×1＝2π.2.若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(

C

)A.1∶2

B.1∶4

C.1∶8

D.1∶16解析：因为球的表面积S＝4πR2，两个球的表面积之比为41∶4，所以两个球的半径之比为1∶2.又因为球的体积V＝3πR所以这两个球的体积之比为1∶8.3，2VV2图8-2-13πrV1

πr2·2r

3解析：设球的半径为

r，则V2＝

4

3

＝2.3.(2017

年江苏)如图8-2-1，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2

的体积为V1，3球

O的体积为

V

，则

1

的值是

2

.4.(2016年新课标Ⅱ)体积为8

的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

A

)2π

32

C.8π

D.4π3

π解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2

3.所以正方体外接球半径为3.所以球的表面积为4π·(

3)2＝12π.故选A.考点1几何体的面积答案：14π例1：(1)(2017年新课标Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球

O的球面上，则球

O

的表面积为

.解析：长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线是球

O

的直径，即

32＋22＋12＝214＝2r，r＝

2

.则球O

的表面积为4πr

＝4π

14

1422＝14π.(2)(2017

年广东揭阳一模)如图

8-2-2，网格纸上小正方形的边长为

1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)A.96C.96＋4(2－1)π图8-2-2B.80＋4

2πD.96＋4(2

2－1)π答案：C解析：由三视图可知几何体为边长为4

的正方体挖去一个圆锥得到.圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2

2.∴几何体的平面部分面积为6×42－π×22＝96－4π.圆锥的侧面积为

π×2×2

2＝4∴几何体的表面积为96－4π＋42π.2π.故选C.(3)一个六棱锥的体积为

2 3

，其底面是边长为

2

的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为

.答案：123解析：设六棱锥的高为

h，体积为

V＝1Sh＝2 3，所以1

13×6×2×2×

3h＝23.解得h＝1.设六棱锥的斜高为h′，则h′＝

12＋(

3)2＝2.1则该六棱锥的侧面积为2×2×2×6＝12.(4)(2015

年福建)某几何体的三视图如图8-2-3，则该几何体的表面积等于(

)A.8＋2

2C.14＋2

2图8-2-3B.11＋2

2D.15解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2

的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2，直角腰1长为1，斜腰为2.底面积为2×2×3＝3，侧面积为2＋2＋4＋2

2＝8＋2

2.所以该几何体的表面积为

11＋2

2.故选

B.答案：B(5)(2017

年河北定州中学统测)如图8-2-4

为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(

)图8-2-427A.

2

πB.27πC.27

3πD.27

3π2解析：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3

的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3

的正方体的外接球，

所以外接球半径R

满足：2R＝

32＋32＋32＝

27.所以外接球的表面积为S＝4πR2＝27π.故选B.答案：B【规律方法】第(1)(3)小题是求实体的面积；第(2)(4)小题是只给出几何体的三视图，求该几何体的表面积，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.考点2几何体的体积例

2：(1)(2017

年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为

1，它的两个底面的圆周在直径为

2

的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

(

)A.π B.4

C.3π

π2D.π4答案：B解析：设圆柱底面的圆周的半径为r，r＝22121

－

＝

32，则圆柱的体积为π

322×1＝3π4.故选B.(2)(2016

年山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图

8-2-5.则该几何体的体积为(

)图8-2-52A.1

π3＋3B

1

2.3＋

3

πC.1

23＋

6

π

2D.1＋

6

π答案：C解析：由已知，半球的直径为2，正四棱锥的底面边长为1，高为113，所以其体积为×1×1×1

42

31＋

×

π×

231

22

3

6＝

＋

π.A.3

B.3

C.1

D.2解析：如图D52，显然AD⊥平面BCC1B1，答案：C图D52(3)(2014

年新课标Ⅱ)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

3

，D

为

BC

中点，则三棱锥

A-B1DC1的体积为(

)32A-

B1DC1即AD

为三棱锥A-B1DC1

的高，V31＝

×

B1DC1S

×AD＝1

1

2×

3×3×2×3＝1.【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.另外不要忘了锥体体积公式中的1

.3考点3立体几何中的折叠与展开例3：(2017

年新课标Ⅰ)如图8-2-6，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC

的中心为O.D，E，F

为圆

O

上的点，△DBC，△ECA，△FAB

分别是以

BC，CA，AB

为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以

BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB

，使得

D，E，F重合，得到三棱锥

当.ABC

的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为

.图8-2-6图D53解析：如图

D53，设正三角形的边长为

x，则

OG＝1

33×

2

x3＝

6

x.6∴

SG

＝

DG

＝

5

－

3

x

，

SO

＝

h

＝SG2－OG2

＝5－

3

6x2—

3

62

3

x

＝

55－

3

x.13∴三棱锥的体积V＝

S△ABC·h＝

×1

33

42x

×

3

55－

3

x＝

1512355x4－

3

x

.3令

n(x)＝5x4－

3

，则

n′(x)＝20x

－x5

35

334x

.3x4令

n′(x)＝0,4x

－

3＝0，解得

x＝4

3.当

n′(x)≥0

时，x≤4

3；当

n′(x)≤0

时，x≥4

3，则max12＝

15×48×5－4＝4

15.当

x＝4

3时，n(x)最大.故

V答案：4

15

cm3【互动探究】1.一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图8-2-7)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于

cm3

.图8-2-7解析：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，根据公式即可算出底面半径r，则容积易得.即

2πr

1

2π·4，则

r＝1.＝4×又母线长为4

cm，所以h＝42－12＝

15.1

12

2则V＝3πr

h＝3·π·1

·

1515＝

3

π.15答案：

3

π难点突破⊙组合体的相关运算例题：Rt△ABC

的角A，B，C

所对的边分别是a，b，c(其中

c

为斜边)，分别以

a，b，c

边所在的直线为旋转轴，将△ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是

V1，V2，V3，则(

)1

2

3A.V

＋V

＝V

B.

11

1V1＋V2＝V3C.V2＋V2＝V21

2

3V1V2

22D.

1

＋

＝1

1V23答案：D1132解析：以a

边所在直线为旋转轴的几何体的体积V

＝

b

πa，2132以b

边所在直线为旋转轴的几何体的体积V

＝

a

πb，以c

边所3在直线为旋转轴的几何体的体积V

＝

3

cπc＝1ab2

a2b2π3c，所以1V12＋V21

9

22(b

πa)＝

2＋

9

2(a

πb)2＝9(a2＋b2)a4b4π2

＝

4

429c2

1a

b

π

V23＝

.故选D.【互动探究】2.如图

8-2-8(单位：cm)，则图中的阴影部分绕

AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为

.图8-2-8答案：140π

cm33解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V

圆台12

2

2

21＝

3

×(π×AD

＋

π×AD

×π×BC

＋

π×BC

)×AB

＝

3

×π×1(AD2

＋

AD×BC

＋

BC2)×AB

＝

3

×π×(22

＋

2×5

＋

52)×4

＝52π(cm3)，V半球＝4π×AD3×

＝3

2

31

14π×23×＝16π(cm3)，所以旋2

3圆台

半球3转所形成的几何体的体积

V

＝

V

－

V

＝

52π

－

16

π＝3140π(cm3).1.长方体的外接球：长、宽、高分别为