初中数学-勾股定理的逆定理教学设计学情分析教材分析课后反思

《勾股定理的逆定理》课标分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三部分课程内容第三学段（7-9年级）中指出：“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”勾股定理及其逆定理是初中数学中非常重要的定理，华罗庚把它称为“茫茫宇宙星际交流的语言”，西方一些国家把它称为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理的内容是在学生学习了前面勾股定理的基础上继续学习的内容,勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，具体表现在：

1、它是对直角三角形的再认识；

2、它是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；

3、它是解决其他学科及今后学习几何有关计算的必备工具；4、它还是向学生渗透“数形结合”思想的很好素材。根据课标的要求，本节课重点让学生探索勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理解决一些简单的问题。《勾股定理的逆定理》教材分析这节内容选自《人教版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十七章《勾股定理》中的第二节。是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法。还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。课标要求学生必须掌握。探索勾股定理的逆定理教材编写者是先从古埃及人画直角的方法说起，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想:如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．此猜想是否正确，需要证明，教材编写者结合几何图形用几何语言表述此猜想：已知的三边长分别为，且满足，则是直角三角形．接着让学生画一个两条直角边长分别为的直角三角形，再证明与此直角三角形全等，从而证明了此猜想，得到勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．教材编写者设置例题1，让学生学会运用这种方法判断三角形是否为直角三角形，通过小贴士在例1的旁边给出勾股数的概念，需要注意的是勾股数一定是三个正整数。逆命题、逆定理的概念教材编写者是通过对照17．1节中命题1和本节中命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题、逆定理的概念：两个命题的题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．并举例说明原命题成立时其逆命题不一定成立。根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。知识技能：1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法：1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。情感态度：1、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.本节课的重点是勾股定理逆定理的应用；难点是勾股定理逆定理的证明；关键是辅助线的添法探索。《勾股定理的逆定理》学情分析尽管已到八年级，但下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键。重点是勾股定理逆定理的应用。难点是勾股定理逆定理的证明。关键是辅助线的添法探索。八年级的内容难度的增加使得两极分化严重，特别是在乡镇学校，地理条件的限制这个问题尤其明显，所以我在教学中通过兵教兵的方法，小组合作的方法尽量让每一个学生都学有所得。《勾股定理的逆定理》教学设计一、内容和内容解析1.内容

勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系．

2．内容解析

把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题．本节内容证明了这个逆命题是个真命题．勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义．

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理．二、教学目标知识技能：1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法：1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。情感态度：1、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.

三、教学问题诊断分析

勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导．

本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理．四、教学过程设计思路本节课从复习勾股定理引入勾股定理的逆定理，再以古埃及人画直角的方法谈起创设情境，激起学生的兴趣；让学生动手画一画、量一量、算一算，直观感受、猜想、交流得出勾股定理的逆命题，通过画出的的两三角形全等直观验证猜想并孕育辅助线的添加，理论证明勾股定理的逆定理，然后对勾股定理及逆定理从数与形方面进行辨析，接着讲解例题，尝试运用；加深记忆，巩固练习；小结，梳理本节课所学到的知识，使新知识纳入自己的知识体系；最后布置作业。教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图复习回顾教师多媒体出示问题：勾股定理的内容是什么？能用几何语言表示吗？学生回答问题，教师板书在复习旧知识的基础上通过调换命题的条件和结论，巧妙的过渡到本节课的课题，知识衔接流畅自然。创设情境激励探索介绍演示古埃及人画直角的方法激起学生的兴趣，同时进行数学史的教育。（一）、画一画．画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.（1）：3、4、5；（2）：3、6、8；（3）：2.5、6、6.5（二）、量一量.用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三个三角形的最大角的度数，并判断上述你们所画的三角形的形状：（按角分类）（三）、算一算．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.你能发现什么规律？算一算的结论（1）：3、4、5；三角形大小关系：____（2）：3、6、8；三角形___________________（3）：2.5、6、6.5;三角形________________在教师的指导下学生分组完成并思考问题进行猜想、交流。最后上台展示。通过动手实践，在对学生进行动手能力培养的同时凸显命题的形成过程，自然地得出勾股定理的逆命题。既锻炼了学生的实践、观察能力，又渗透了人文和探究精神。探索归纳证明推测提出问题：对于我们的猜想是否成立要进行说理证明，大家能证明你的猜想吗？给学生介绍画三角形的方法，提出问题：观察所画三边是3、4、5的三角形和两直角边是3、4的直角三角形之间有什么关系？你能验证吗？努力思考问题遇障。按同学们画图的不同方法，使两直角边与刚才所画三角形的较短两边相等，再进行观察、猜想、验证。变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程。问：此猜想和验证能够说明什么？证明并写出证明过程。引导学生辅助线的添加。思考组织语言如果三角形的三边长分别为a、b、c且满足a²+b²=c²,那么它是直角三角形。讨论、交流写出证明过程写好之后把书上的证明过程读一遍。通过动手操作、观察、验证两个三角形全等，从中孕育了辅助线的添加为逻辑论证作好了铺垫。充分发挥教科书的作用，养成学生看书的习惯，这也是培养学生的自学能力。熟悉定理讲解互逆命题互逆定理通过勾股定理及其逆定理，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一关系。尝试运用判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：1、a=15b=8c=172、a=13b=15c=14学生板演练习其他同学在课堂作业本上完成。进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点。待学生板演完毕教师纠正学生练习中出现的问题。总结给出勾股数的定义，规范解题过程。修正自己的练习。例2一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？AABCD学生独立思考完成后展示思路。进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，并会解决实际问题，突出本节的教学重点。课堂练习（例1之后的练习）下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15(2)a=13b=14c=15(3)a=1b=2c=(4)a:b:c=3:4:5（例2的变式训练）变一变1:已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD=13，求四边形ABCD的面积?AABCD变一变2：如图，四边形ABCD中，∠C＝600，BC＝CD＝2cm，AB＝cm，AD＝1cm,求四边形ABCD的面积?AACBD学生在课堂作业本上完成，然后学生讲解。最后学生总结解决问题的方法。决问及时反馈教学效果，查漏补缺，对学有困难的同学给予鼓励和帮助。小结教师引导学生回忆本节所学知识，待学生总结后再作补充。梳理、小结作业1、必做题：课本34页，习题17.2第1题、第2题（1）（2）（4）2、选做题：课本34页，习题17.2第7题板书设计17.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆命题互逆定理勾股定理AAc∵a2+b2=c2∵△ABC是Rt△cb∴△ABC是Rt△∴a2+b2=c2bCBCBaa《勾股定理的逆定理》评测练习课堂测评：(一)选择题：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、(C)4、7、5(D)1、、2．下列命题中，假命题是()(A)三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1::2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1::2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为::2的三角形是直角三角形（二）解答题：3.如图所示△ABC三边a、b、c为边向外作正方形，S1+S2=S3成立，则△ABC是什么三角形？为什么？第3题图第4题图4．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米?5.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求AC《勾股定理的逆定理》效果分析进入八年级内容难、任务重。同时，有部分学生基础能力较弱，两极分化严重。对于《勾股定理的逆定理》计划用两课时完成，采取由易到难、演练结合的方法进行。第一课时，勾股定理的证明及简单应用。第二课时，勾股定理的实际应用。这两课时老师做适当的帮助和指导，可能还是出于老师的不放心，老师代劳了很多，总感觉学生归纳的不够完整、不系统，所以讲课中，学生回答完，我总是最后再总结一遍，以至于有些地方浪费了时间。从整个学习效果上看，基本达到了目标要求，学生基本掌握了勾股定理的逆定理。下面我根据课堂教学环节再进行简单分析：一、勾股定理的逆定理的证明，我利用了学生画三边为3、4、5的三角形的两种方法，一是利用边边边画三角形，二是3、4为直角边利用勾股定理求出第三边是5的直角三角形。这样让学生很容易发现两个三角形全等，故3、4、5三边的三角形是直角三角形，为证明勾股定理的逆定理做了很好的铺垫，这也这节课的亮点，也轻松解决了这节课的难点。二、例题分析：本节课我设计了两个例题，第一个例题是利用勾股定理的逆定理判断直角学生基本掌握可以，但是对于第二个审题是关键，抓住勾股定理的逆定理的题设和结论，在教师的引导下也轻松解决了，并且根据这个例题也能总结出判断直角三角形的简便方法。例2是勾股定理的逆定理的实际应用，看学生是否能找到解决问题的关键，确定直角，此例题学生回答的很好，我没有多做过多的说明，但是从后面的练习看来，学生学的还是可以的，效果还是不错的。二、练习分析：典型例题之后，都会紧接练习题，看看学生掌握如何，学生回答的不错，但是对于全体同学的掌握度教师还是把握不够好。为了开阔学生思维我在第二个例题之后进行了两个变式，学生通过交流也能得出正确的答案。三、课后测评分析：课堂完成之后我出了一份测评试卷，一共5个题目，目的看学生掌握如何，最后结果前4个题目基本可以，最后一题由于自己画图，给一部分学生造成了困难。总之，新授课的学习要让学生掌握方法，让全体学生都学有所成，调动学生学习的积极性也是很重要的。《勾股定理的逆定理》课后反思录课完成之后反思这节课的得与失，具体从以下2个方面谈一谈。

一、本节课的成功之处:本节课以活动为主线,通过从让学生画一画、量一量、算一算，直观感受、猜想、交流得出勾股定理的逆命题，通过画出的的两个边为3、4、5的三角形全等直观验证猜想并孕育辅助线的添加，理论证明勾股定理的逆定理，然后对勾股定理及逆定理从数与形方面进行辨析，最后回到解决生活中实际问题,思路清晰,脉络明了。1、在学生画3、4、5为三边的直角三角形，学生利用了两种方法，而这两种方法正好构造了两个全等的三角形，使得学生理论证明勾股定理的逆定理埋下伏笔。

2、体现了“数学源于生活,寓于生活,用于生活”的教育思想;突出了“特征让学生观察,思路让学生探索,方法让学生思考意义让学生概括,结论让学生验证,难点让学生突破,以学生为主体”的教学思路。3、尊重个体差异，面向全体学生。“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”这是新课标努力提倡的目标，