2021-2022学年广西桂林市灵川县高一年级下册学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年广西桂林市灵川县高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.与-8（）。角终边相同的角是（）

A.80°B.280°C.240°D.100°

【答案】B

【分析】由终边相同角的概念即可得出答案.

【详解】解：因为与-80。角终边相同的角是-80。+360*#€2,

所以与-80。角终边相同的角是280。.

故选：B.

2.函数y=4sinx+3在［-乃，句上的递增区间为（)

冗717171兀

A.-71、---B.C.D.3"

2一"’5

【答案】B

【分析】根据正弦函数图象求单调区间即可

【详解】、=sinx的递增区间就是y=4sinx+3的递增区间，由三角函数图象可得y=sinx在

717171

一肛一］上递减，在一；力上递增，在gn上递减,

222

故选：B.

3.下列关于向量°,匕的命题中，正确的是（)

A.若贝!Ja=bB.若|々|＞仍|,则

C.若a=b,则Q//。D.若4//。，则〃与〃夹角是0

【答案】C

【分析】结合平面向量中相等向量的概念，平行向量的概念以及平面向量的夹角的定义逐项分析即

可求出结果.

【详解】因为1。日加，但是a，〃的方向不确定，故a，6不一定相等，故A错误;

因为向量不能比较大小，故B错误;

因为a=力，即〃，h的方向相同，所以故C正确;

因为“/〃，则a，匕的方向相同或相反，所以a与b夹角是0或万，故D错误;

故选：C.

4.已知角a的终边过点P(4,m)(加二0),且sina=£,则cosa的值为()

A.±-B.--C.±-D.-

5555

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义，由sine求得参数执，再求cosa即可.

【详解】角a的终边过点P(4,m)(m*0),

m

故可得sina=y,解得加2=9

故选：D.

TT

5.要得到y=sin(2x-g)的图象，需要将函数y=sin2x的图象(

A.向左平移？个单位B.向右平移?个单位

C.向左平移多个单位D.向右平移二个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数的图象变换的原则，准确化简，即可求解.

【详解】根据三角函数的图象变换的原则，将函数)=sin2x的图像向右平移J:T个单位后，可得到

y=sin2x=sin(2x-—).

3

故选：D.

6.设q,s是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是()

A.2q—e?和26一4qB.和弓

C.q+s和弓一2.D.《+62和2/+4

【答案】A

【分析】能作为平面的一个基底的两个向量必不共线，因此只需要判断选项中向量是否共线即可.

【详解】对于A,因为2e「4q=-2(2q-ej,所以和26-4勺共线，则这组向量不能作为平

面内的一组基底，故A正确；

对于B,假设q-Ze?和共线，则q-2e?=〃q(〃eR),故(1-〃)q=2e?,

所以《超2共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则e,-2eJOe,能作为平面内的一组基底，故B错误;

=e

对于C,假设q+e2和q—2/共线，则令+.^[\-22e2(AeR),即(1+2%)3=(%_l)q,

由于1+2/1与九-1不能同时为0,所以与/共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则q+6和q-26能作为平面内的一组基底，故C错误；

对于D,假设q+,和2/+q共线，则羽+q=+/)=%+Zq(%£R),即(2—%),=(Z—l)q,

由于2-2与2-1不能同时为0,所以与小共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，

则q+/和2/+q能作为平面内的一组基底，故D错误.

故选：A.

7.已知。=(3,2),h=,若a工b,则〃2=()

3322

A.一B.一一C.4D.一一

2233

【答案】C

【分析】由向量垂直的坐标表示求解

2

【详解】由题意得a.〃=3/%—2=0，得加=§

故选：C

8.已知〃=5后]，》=8$5]=1@112,则〃、b、c的大小关系为()

26

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根据正弦函数、正切函数的性质计算可得；

【详解】解：因为1〈工，丫=5山》在(0,9〕上单调递增，所以sinO<sin[<sin£,即0<b<1,

26<2J262

b=cos—=—>—,又g<2<乃，所以tan2v0,所以Z?>a>c；

6222

故选：C

9.若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm,则扇形圆心角的弧度数为()

A.B.8C.)或8D.2或一

【答案】A

【解析】设扇形的半径为，圆心角为。，由题意列出关于厂与a的方程组，求解即可得出答案.

【详解】解：设扇形的半径为「，圆心角为。，

—a广=4

由题意得2,

2r+ar=10

解得—=2或（舍去），

）=4­

••・扇形圆心角的弧度数为：，

故选：A.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，属于基础题.

10.“cosa=^”是“a=£”的（）

26

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.

【详解】若。=£，则cosa=也成立，当cosa=^时，a可以取-二，即a=f不一定成立,

62266

所以“cosa=正”是“a=£”的必要不充分条件.

26

故选：B.

TT

11.已知函数7U）=2cos（3x—：）,下面结论错误的是（）

A.函数的最小正周期为与

B.函数图像关于（一?0）中心对称

C.函数图像关于直线x=:对称

4

D.将y=2cos3x图像上的所有点向右平移与，可得到函数尸危）的图像

【答案】C

271

【分析】A：y=Acos（twx+0）+B的最小正周期为时；

B：八x）的对称中心处函数值为零；

C：7U）的对称轴过函数图像最高点或最低点；

D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断.

27t271

【详解】A：y=Acos（s+o）+B的最小正周期为时，的最小正周期7=胃，A正确；

B：八―g）=2cos[3x（一《）一。=0,所以（一三，0）是段）的中心对称，B正确;

1212412

TTTT

c：）—o,所以«x）关于（7,o）中心对称，c错误；

44

D：将y=2cos3x图像上的所有点向右平移!■不变为y=2cos3（x一驱）=2cos（3x—£）,D正确.

444

故选：C.

12.在A5c中，角A3,C的对边为a,b,c,若8=l,a=2c,则当C取最大值时，A5c的面积是（）

A.在B.3C.—D.g

363

【答案】B

【分析】由余弦定理可得：COSC=J（3C+3,再利用基本不等式的性质可得C的最大值，再利用三角

形面积计算公式即可得出.

【详解】解：在3ABe中，由余弦定理可得：8sc/+/-c2=（2"+2,a+3卜2月，

2ab2x2二c4c42

当且仅当°=正时取等号.

3

CG。乃）

0<C„

6

*'•当C取最大值［时，ABC的面积S=—x1xxsin—=—.

62366

故选：B.

二、多选题

…,Ik7r,_IsinxIIcosxI2|sinxcosx|__„/、

13.已知则函数y-L+--------1一一L--------1的值可能是（）

1|2Jsinxcosxsinxcosx

A.0B.-4C.4D.2

【答案】ABD

【分析】对x分四个象限讨论即可.

【详解】解：因为jxxWyMcZ）,所以sinxwO且cosxwO,

当x是第一象限角时：sinx>0,cosx>0,sinxcosx>0

Isinx||cosx|2|sinxcosx|,,_

y=---------+---------——!-------------1=1+1—2=0,

sinxcosxsinxeosx

当x是第二象限角时：sinx>0,cosx<0,sinxcosxvO

Isinx||cosx|2|sinxcosx|,,八八

y=---------1------------------------------=l-l+2=2,

sinxcosxsinxcosx

当R是第三象限角时：sinx<0,cosx<(),sinxcosx>0

|sinx||cosx|21sinxcos尤|t1.

y=---------1-----------------------------------------=—1-1—2=—4,

sinxcosxsinxcosx

当工是第四象限角时：sinx<0,cosx>0,sinxcosx<0

IsinxIIcosxI2|sinxcosx|,

y=­；-----+----------------；-------------=-1+14-2=2,

sinxcosxsinxcosx

所以函数的值域y«o,2,Y},

故选：ABD

14.己知向量a=(2,1),b=(-3,l),则()

A.（a+b）_LaB.|a+2b|=6

C.向量a在向量6上的投影向量是（-，|）D.（乎,4）是向量a的单位向量

【答案】AD

【分析】根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A；

根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B；

根据投影向量的计算公式即可判断C；

判断向量（竽，亭）是否与向量a共线，及模是否为1,即可判断D.

【详解】解：对于A,a+b=（-l,2）,则（a+勿=-2+2=0,

所以（“+力，”，故A正确;

对于B,a+%=(-4,3),则|a+26|=5,故B错误:

对于C,向量〃在向量心的投影向量为卜卜网。®b_abb_-5br4>

故C错误;

对于D,因为向量的模等于1，

4统1-2x半=0,所以向量（

与向量a共线，故（是向量a的单位向量，故D

正确.

故选：AD.

15.在A8C中，D,E,F分别是边BC,CA,A8的中点，点G为ABC的重心，则下述结论中正

确的是（）

A.AB+BC^CAB.AG=；（AB+AC）

C.AF+BD+CE=OD.GA+GB+GC=O

【答案】CD

【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.

【详解】由。，E,F分别是边BC,CA,A8的中点，点G为ABC的重心，

因为AB+3C=/片。4，故A错误；

由g(AB+AC)=GwAb,故B错误；

因为AF+8O+CE=g(A8+8C+CA)=0,故C正确；

因为GA+GB+GC=-|g"+码+g［法+砌+《&+d

T->->->f、f

=--\AB+BA+BC+CB+AC+CA\=O,(^DIE^.

故选：CD

三、填空题

16.己知tana=-J5,且a为第四象限角，贝ijcosa=

【答案】|

【分析】首先求a的值，再求cosa.

【详解】tana=-石，且a为第四象限角，

冗

：.a—+2k兀,keZ,

3

1

cosa=—.

2

故答案为：y

21

17.在3ABe中，AC=3,BC=—AC,cosC=—,则AB=__________.

34―

【答案】V10

【分析1根据AC=3,5C=2AC=2,COSC='，利用余弦定理求解.

34

【详解】在ABC中，因为AC=3,BC=2AC=2,COSC=」,

34

由余弦定理得：

AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC，

=32+22-2X3X2X1=10,

所以AB=JIU,

故答案为：>/io

18.己知4(1,2),8(-1/),。3,4)三点共线，贝”,=

【答案】0

【分析】4?=/47列方程来求得了.

【详解】依题意：A(l,2),8(-l,x),C(3,4)三点共线,

所以A8=rAC，即(-2,x-2)=f(2,2)=(”,2。,：n一

[X—2=Zt[x=U

故答案为：0

19.函数y=>/2sinx-l的定义域为.

【答案】2"+(AeZ)

【分析】由2sinx-120,可得sinxzg,结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域.

【详解】解：依题意可得2sinx-1N0,

[rr57r

可得sinx之一，解得2女;r+—KxK2女；r+—,ZeZ,

266

所以函数的定义域为卜&"+[，2&乃+为(&eZ).

OO

故答案为：辰万+!，20+智仕eZ).

OO

20.已知函数/(x)=3sin(s，qJ(<y>0)和g(x)=3cos(2x+e)的图象完全相同，若xe7t

0,y,则

〃x)的取值范围是.

「31

【答案】--.3

【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出。，再利用正弦函数的图象即可求出值域.

【详解】解：因为/(x)=3sin[<yx-芸=3cos]

所以0=2,则〃x)=3sin(2xq

冗

因为不£。，耳，

”…冗-冗，57r

所以-uV2x一丁4丁，

666

所以-g«sin(2x-2卜，

所以一Q4/(X)43.

'3'

故答案为：-33.

四、解答题

21.已知|。|=4,山=2,且“与匕夹角为120。.求:

(1)(a-2h)-(a+h)；

(2)\2a-b\

【答案】(1)12

(2)2>/21

【分析】(1)(2)利用向量的数量积的定义与运算法则，结合转化法即可得解.

【详解】⑴因为|“|=4,山=2,卜,。=120。,

所以J=]6,/=4,am=MWcos(4,8)=4x2x(-g)=-4,

^\^(a-2b)-(a+b)=a2-a-b-2b2=\6-(-A)-2x4=\2.

(2)因为囚-年=(2”叫2=4”2-+/=4xl6-4x(-4)+4=84,

所以囚_陷=2⑨.

sin(a—])cos(g+a)tan(兀-a

22.已知a是第三象限的角,

，(a)=

tan(2兀-a)•sin(一兀一a)

⑴化简/(a);

(2)若cos(a_£)=",求/([+])的值.

【答案】(l)/(a)=-cosa

⑵一:

【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可;

【详解】（1）依题意，得

.cos|a-tan

sin(a-]+(n-a)

/(«)=

tan(27t-«)sin(-7r-a)

-sin--a•sin«•(-tana)

(2

tan(一a)•sin(一兀-a+2兀)

-cosa•sina•tana)

一tanasin(兀一a)

cosasinatana

--------------------=-cosa.

-tanasina

（2）因为cos（a一半用+巴711

=cosa2w=cosa+=-sina=-,

225

所以sina=一1,

.1

所以/+]=-cosa+-=sina=——

l25

12

23.在中，已知8c*=4,AC=3,尸在线段3c上，SLBP=-BC9AQ=§A3,设C8=d，

CA—b.

⑴用向量a,b表示4P；

(2)若NACB=60。，求4PC0.

2

【答案】⑴”=铲"

【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算;

（2）利用基底法求向量的数量积.

22

【详解】(1)由题得AP=CP-CA=§CB-C4=§a-b；

(2)由已知得CQ=CA+AQ=C4+qAB=C4+g(CB-C4)=gcB+gcA=|a+g^

•..APCQ=(|a_"1|a+g”=/蕾

=—x42-—x4x3xcos600--x32=—

9939

24.己知函数/(x)=2sin(：-2x),求:

(1)/(x)的最小正周期;

(2)/(x)的单调递增区间;

(3)/(x)取最大值时自变量x的集合.

【答案】(1)71;(2)ku———(%wZ)；(3)xx=k7i-/,keZ卜

88

【分析】利用诱导公式化简得到〃x)=2sin(2x+当)，再利用正弦函数的性质求解.

【详解】由诱导公式得/(x)=2sin[?-2x)

(1)由7=下-=乃，得/(X)的最小正周期为".

rr3yrTT

(2)由2匕r---领---2k兀4—(kGZ),

242

得攵万一•^领kk兀-](kwZ).

5TTTC

因此〃X)的单调递增区间为kn--,k7t--(fceZ).

oo_

377元7T

(3)由2x+把=2br+&(&eZ),解得x=eZ).

428

故fM取最大值时自变量x的集合为xx=k7r--,keZ

8

25.己知函数/(x)=Asin(0x+Q)(A>O,0>O,|财的部分图象，如图所示.

⑴求函数/(X)的解析式；

(2)将函数/(x)的图象向右平移。个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的纵

坐标不变，得到函数g(x)的图象，当xe0,y时，求函数g(x)的值域.

【答案】(l)/(x)=6sin(2x+?)

⑵-•|,6

【分析】(1)根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A,由最小正周期求出

并确定力.

(2)根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【详解】(1)解：根据函数〃x)=Asin(0x+e)(A>O,0>O，M<]]的部分图象

—r127r5zrlli、：八

可得A=近r~，-...=■——TCTC所以69=2.

2co632

再根据五点法作图可得2・7T鼻+。=乃，

所以3=(,/(x)=Gsin(2x+2).

(2)将函数."X)的图象向右平移三个单位后，可得y=&sin214卜+3=氐in(2x-])的图

象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的千，纵坐标不变，得到函数g(x)=Gsin(4x-?)

的图象.

._7T_/I.TCTC

由0,—,可^4x——G——,71

又函数g(x)在o，|j上单调递增，在单调递减

g(x)=Gsin卜-|,>/3

3r-

.•・函数g㈤在0,JI-的值域-5，百.

26.为迎接2022年的亚运会，城市开始规划公路自行车比赛的赛道，该赛道的平面示意图为如图所

示的五边形A8CDE.运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以在本队的器材车、公共器材车或收

容车上获得帮助，也可以从固定修车点上获得帮助.另外，为满足需求，还需要运送一些补给物品，

例如食物、饮料、工具和配件.所以项目设计需要预留出赛道内的两条服务通BO,BE（不考虑宽度）