2021-2022学年辽宁省沈阳市高二年级下册学期期初自我检测数学试题含答案

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才高二下学期期初自我检测数学

试题

一、单选题

i.抛物线2/的焦点坐标为（）.

3加B.1川

c.[0,dD.M）

【答案】C

【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.

…j]。闱

【详解】由>=2x可得2',焦点在y轴的正半轴上，设坐标为I2人

2p=-p=-尾）

则2,解得4,所以焦点坐标为I8人

故选：C.

2.若两条平行直线4：x-2y+”=0（m>0）与八2》+。-6=0之间的距离是2石，则机+〃=（）

A.3B.T7C.2D.3或-17

【答案】A

【分析】利用两条直线平行的性质求出〃，再利用两条平行线间的距离求出小，从而可得机+〃的

值.

【详解】由题意直线4：x-2y+〃，=05>0）与/2：2x+〃_y-6=0平行，

则两条直线的斜率相等，即〃=-4,

|2加+6|2亚

又直线间的距离为2石，即/^而，解得加=7,

所以机+〃=3.

故选：A

【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

3.北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机

安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（）

A.16种B.36种C.48种D.60种

【答案】B

【分析】将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.

C；xC；xC；

xA；=36

【详解】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.

故选：B.

a\10

4.已知二项式（次+y）“"€2的展开式的所有项的系数和为32,则&的展开式中常数项

为（）

A.45B.-45C.1D.-1

【答案】A

【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出.

【详解】令x=L'=1,可得展开式的所有项的系数之和+=32,得a=l,

所以

如=3，严\；］号20-2=0

其通项'皆），令2,得左=8,所以展开式中常数项为

（-1）*3=45

故选：A.

5.阿基米德（公元前287年〜公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用

“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴

皂

为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为2,面积为6兀，则椭圆C的标准方程为（）

------1=1------1=1------1=1------1=1

A.916B.34c.416D.312

【答案】D

v2X2

~--r=1（〃>6>0）2»2

【分析】设椭圆的方程为矿从，根据题意得到。=26和必万=67，求得“一”的值，

即可求解.

—z-4———1（。>>0）

【详解】由题意，椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的方程为/b2

x/3_c_A/3

因为椭圆C的离心率为2,可得，一。一2,

£=1_£=3

又由即/一一/一.,解得。=2忆

又因为椭圆的面积为6万，可得a%=6乃，即"=6,

联立方程组，解答/=124=3,所以椭圆的方程为+

故选：D.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆°：x2+/2直线/与圆。相切，与圆

=1,C（X+1）+/=9>

C相交于48两点，分别以点48为切点作圆C的切线4,I"设直线4,‘2的交点为尸，则1°刊的

最小值为（）

7

A.9B.7C.3拒D,2

【答案】D

【分析】根据题意得切点弦N8的方程为（w+Dx+帆+〃L8=°,进而根据其与圆O相切得

1=63-18加20,即进而根据二次函数性质得最小值.

【详解】解：设点P（M"）,«知必）,8区为）,C（-1,0）,

因为分别以点48为切点作圆C的切线4,4.设直线4,4的交点为P,

所以CZ_LNP,贝万=0,即（玉+1）（根一&）+乂（〃-必）=0,

所以X；+演一机为一机+乂2_%〃=0,

因为0+1>+疗=9,

所以（〃?+1）为+〃乂+机-8=0,即/，乂）是方程（加+1比+孙+耳-8=0的解,

所以点力团必）在直线（加+1卜+盯+吁8=0上，

同理可得8（%，%）在直线（加+1口+◊+机_8=0上，

所以切点弦的方程为（〃7+i）x+〃y+w-8=o,

因为直线"8与圆O相切，

|(w+l)x0+〃x0+〃？一8|_17

所以J(/n+l)2+〃2,解得〃2=63-18〃IN0,即

所以|OP|=ylm2+n2=J%2-18〃?+63=7(m-9)2-18,

77

tn=—|OP|.=—

所以当2时，直线"8方程为x=l,此时2

7

所以1°刊的最小值为5.

故选：D

7.如图，在圆锥S°中，AB,8为底面圆的两条直径，AB[}CD=O且/8_LCZ),

SE=—SB

SO=OB=3,4'，异面直线SC与OE所成角的正切值为()

Vs13vn

A.2B.3c.16D.3

【答案】D

【分析】以02°民°$为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦

值，再得正弦值.

【详解】由题意以0208，°S为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图,

4(0,—3,0),8(0,3,0),。(一3,0,0),5(0,0,3),

SE=-SB

又4,

139

OE=OS+SE=OS+-SB(0,0,3)-(0,3,-3)=(0,-,-)

4+

豆=(-3,0,-3)

_27

3亚

<OE,SC>=।__||_=

阿忡-710x3727F

cos0=\cos<OE,SC>\=—

设异面直线sc与所成角为6,则II10,e为锐角,

V55

sin。ioJH

tana=--=_L^=--

cos。3V53

sin3=—

10，所以10

右支上一点，耳、鸟分别是双曲线的左、右焦点，/为

△P耳用的内心,若，'"A成立，则双曲线的渐近线方程为（）

A2>/2x±y=0B8x±y=0Q\[lx±y=0D3x±y=0

【答案】A

【分析】设圆/与“尸耳耳的三边相、「耳、质分别相切于点瓦EG,连接/E",/G，/鸟,

"PF\,A#H可看作三个高均为圆/半径〃的三角形.利用三角形面积公式，代入己知式

c_c।J_C

由由科吟化简可得

,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所

求.

如图，设圆/与在"2的三边耳呗牛、尸工分别相切于点反EG,

连接应用/G,

则出坨勺/〜小，/GCE,它们分别是

△/耳与，"?耳，""2的高，

•.应叫=；P耳恢I'尸耳

Iy-

S.IPF2=-P^-\IG\=-PF2

f

&屿=;耳居阿|\片外

其中「是g的内切圆的半径.

SNPF\=S/F]+§S&阴与

:.-PF=-PF,+二月居

2}122612

9

两边约去2得：3

.•.尸6卜|尸耳="耳鸟

f

根据双曲线定义，得附卜附|=2〃，山用=2c,

22

.'.3a-ctb=\]c-a=2&a,a2血，

可得双曲线的渐近线方程为'=±2岳，

即为2拒x±y=O,故选A.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形

内切圆的性质，属于中档题.解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形,

思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它

们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

二、多选题

__fV3g,一企

一2

9.已知二面角中，平面a的一个法向量为,平面尸的一个法向量为

一（°'2‘拒［则二面角a-/一£的大小为（）.

五2

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】AD

【分析】结合已知条件分别求出二面角为锐角和钝角时的余弦值，进而即可得到答案.

【详解】设所求二面角的大小为。，

若夕为锐二面角，则同向2,故。=30。；

a|瓦闾百

若。为钝二面角，则同网2,故。=150。，

综上所述，二面角口一/一夕的大小为3。'或150”.

故选：AD.

10.已知两点"（一2，°），'（2，°）,若直线上存在点P,使得巴卜阀=2,则称该直线为“点定差直

线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）

A.y=x+lB,v=3x+i

Cy=2x+4Dy=&x+3

【答案】AD

一—一=1

【分析】先求出尸点的轨迹方程为3的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率

进行比较，得到有无交点，进而求出答案.

【详解】因为归/卜归8|=2<|/8|,故尸点的轨迹方程为双曲线的右支，其中。=1,c=2,则

工2_=J

〃=/-/=4-1=3,所以双曲线为丁一（X>0）,渐近线方程为y=士6X,>=x+l的斜率为

rrX2--=1

1<J3,故与3（x>°）有交点，A正确；

2上—

了=3》+1的斜率3>百，且与y轴交点为（°」），故与"一丁一（x>0）无交点，B错误；

y=2x+4的斜率2>6,且与y轴交点为（°，4）,故与“一丁一（x>0）无交点，c错误；

y=J%+3的斜率故与“31（x＞0）有交点，D正确.

故选：AD

11.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，

则下列说法正确的有（）

A.若任意选择三门课程，选法总数为*种

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C；C；种

c.若物理和历史不能同时选，选法总数为种

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种

【答案】AC

【分析】A应用组合公式知0；种选法，B分类加法和分步乘法原理有GC：+C；C：种选法，C由间

接法有种选法，D分类加法原理有C；+C：+G=12种选法，结合选项可知各项正误.

【详解】A：显然°；种选法，正确；

B：在物理、化学中选一门，其它选两门，有种；物理、化学都选，其它选一门，有种，

总共有&盘+种选法，错误；

C：任选3门的C；种选法中，排除物理、历史同时选的C：种选法，正确；

D：应分三种情况：

①只选物理，则有《种选法；

②只选化学，则有C：种选法；

③若物理与化学都选，则有C；种选法.

即共有C；+C；+G=12种选法，错误；

故选：AC.

12.设抛物线＞'2=4x的焦点为足/＞为其上一点，点尸在准线上的射影为耳，直线/与抛物线相交

于/,8两点，下列结论正确的是（）

A.过点河（°，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

B,设"（°」），则归M+忸制

n四二3

C.当直线/过焦点F时，若直线/的倾斜角为3,则忸目

D.存在直线/,使得48两点关于X+N-6=°对称

【答案】BD

【分析】A选项，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，过点“（°」）且

与x轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，一共有三条直线；B选项，根据抛物线的性质，数形

结合求出产为线段必'与抛物线的交点时归M+归周最小，最小值为四；C选项，写出直线方程，

联立后求得4、8两点坐标，进而求出M日与忸可的长度；D选项，设出直线/的方程，根据要求

求出直线/的方程，即可说明.

【详解】过点旭（0」）且斜率不存在时，与抛物线c相切，当直线斜率存在时，设直线卜一匚.，

联立V=4x,得「=+（2"4）x+l=0,由△=（）得：%=1,故直线方程为＞=x+l,综上：与抛

物线C相切的直线有两条，

还有一条过点"（°」）且与x轴平行的直线与抛物线C有且只有一个公共点，

则共三条直线与抛物线。有且只有一个公共点，故A不正确；

因为P为抛物线上一点，根据抛物线的性质得：PP'=PF，设则

\PM\+\PP]=\PM\+\PF\^\MF\=Vl2+12=V2,当且仅当点p,M,f三点共线,即下图所示，

P为线段与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；

兀

当直线/过焦点产时，若直线/的倾斜角为5,则直线方程为y=G（xT）,联立抛物线方程

_/=4x可得：3/_10x+3=0,解得：占=3,%2=3,代入》=G（x-l）中，解得：必=2石,

2百/L\B(-,,/,/厂2,

“一3,当A点在x轴上方时，"(3,2”133J,此时阴=次+(2⑸=4,

阿|="[理上M=3四」

'9(3)3,忸日，当A点在x轴下方时，同理可得：阳3,故c不一定正确;

因为/、8两点关于x+y-6=°对称，所以直线/的斜率为1,

设直线/的方程为y=x+，〃，48的坐标为(％'乂)，,2，匕)，

歹=X+〃？

j/—4x彳11x~+(26—4)x+〃广=0

再+£=4—2m

2

{XjX2=m,

所以A=(2m-4)2-4w2>0

所以"?<1,且M+%=*+七+2机=4,即的中点坐标为(2-〃?，2),

因为4、8两点关于X+N-6=°对称，

所以点Q一加，2)一定在直线》+了_6=0上，

于是2-5+2-6=0,解得切=-2,满足m<1,

故存在直线/满足题意，即D正确；

故选：BD.

三、填空题

z-»2n+6z~»2n+2

13.若“°=7°(〃6N*),则"=.

【答案】3

【详解】由题意可知2〃+6=2N+2或2〃+6=20—•(2"+2),解得“=3.

一」

14.在平面上给定相异两点48,点P满足1尸例，则当义>°且4*1时，尸点的轨迹是一个圆,

二+4=1(。>6>0)e=—―

我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆矿方的离心率2,48为椭圆的长轴

侬二3

端点，C,。为椭圆的短轴端点，动点P满足1尸例，若AP/8的面积的最大值为3,贝I]APC。面

积的最小值为.

【答案】1

四二3

【分析】先根据1尸田求出圆的方程，再由AP/8的面积的最大值结合离心率求出。和占的值,

进而求出APCD面积的最小值.

【详解】解:由题意,设"卬）,8（。,0）,P（x,y）

1^1_3

因为附I

即J（x+。）2+/=3,（…y+V

两边平方整理得：

（5]3

r--a

所以圆心为（4人半径4

因为的面积的最大值为3

1c3、

—x2ax—a=3

所以24,解得：”=2

1+A=l（a>6>0）e=—

因为椭圆b-的离心率2

c_也

即。一2,所以

由得：b=\

S=-x2/>x|—a-—a|=—x2-—x2=l

所以APCO面积的最小值为：2144J44

故答案为：1.

【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心

率求出椭圆的方程，进而求得面积APCD的最值.

15.在四棱锥尸-/8。中，N8=（4,-2,3）JD=（~4,l,0）,/P=（-6,2,-8）,则这个四棱锥的高

等于.

【答案】2

—,一——•

【分析】先求出平面4BCO的法向量机，然后求出/尸在拉方向上的投影的绝对值即可得答案

【详解】设平面/8C。的法向量机=（》，为z）,则

in-AB=4x-2y4-3z=0_/4）

庆•4O=-4x+y=0,令x=l,则I''3）,

因为"尸=（一6,2,-8）,

所以四棱锥的高为

故答案为：2

-7—7=[

16.如图，过原点0的直线交椭圆C：或b-">b>0）于/,B两点、,过点/分别作x

AM=-AP

轴、的垂线/P,4。分别交椭圆C于点P,Q,连接8。交/P于一点若4,则椭

圆C的离心率是.

【解析】设“区力），。（々，力），根据已知条件得5、P、M的坐标，B,M,0三点

乃一必_占yt+y2_yt-丐=-匚

共线，电一西必以及占+%4毛，由A,0在椭圆上有王-々/，联立所得方程即可求离

心率.

Mx--

【详解】设"⑸必）,。的为）,则B（ff）,尸（和-乂），I”2人

%.%-必=1.%-%=X、

由Z8_L/Q,则百x2-x,x2-x（乂①，

M+必=M

由B,M,。三点共线，贝心。〃%即占+24国②

2,>

4+4=14+4=1亡三+K■笆_=（）必一方£

22

又因为矿b-，矿产,即a2b-王f"2③,

£=l=>e=/]_C

将①②代入③得_7-万.

【点睛】关键点点睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关

参数的方程，联立方程求椭圆离心率.

四、解答题

17.从函数角度看，g可以看成以厂为自变量的函数/()其定义域是"

⑴画出函数905厂=0，1，2,、7)的图象；

“一1)

⑵求证：『；

(3)试利用(2)的结论来证明：当”为偶数时，("+')”的展开式最中间一项的二项式系数最大；当

n为奇数时，("+")”的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析：

(3)见解析口

【分析】(1)借助于杨辉三角可以画出图象；

/⑺=孰

(2)借助于组合数公式，/&T)C丁,利用组合数公式的阶乘式化简即可；

3<1

(3)结合函数单调性的判断方法：满足〃/T)时对应的是递增，/&T)时对应递减.由此再结

合〃的奇偶性下结论.

35Z・

21：••

14：

［详解］(1)。匚123456

(〜—___n_\___—_______n\______x_w_-__r_+_1—_n_-_r__+_\

(2)证明：•・•"r!(-1)!(r-l)!(w-r+l)!rr

1,r.

/⑺=一+1

(3)证明：由(2)得〃一1)

’2为正整数，此时〃『)=/(『T),中间两项的二项式系数最大；

r<四f(-)

②若〃是偶数，则当、2时，/&)是递增的，故，2最大，所以中间一项的二项式系数最

大.

2

18.已知椭圆：C:—2+'y=\,直线/与椭圆C相交于A,8两点，点MIL；2］J为线段的中点.

(1)求直线/的方程；

(2)若°为坐标原点，求的面积.

【答案】⑴2'+2"3=0

如

⑵4

【分析】(1)由题意，直线/的斜率存在，设出直线/的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即

可求出斜率3从而即可得答案；

(2)根据弦长公式求出弦M身的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即

可求解.

y--=1)

【详解】（1）解:由题意，直线/的斜率存在，设直线’的方程为,2即

,1,

y=kx+--k”（国,%）,8区外）,

,1.

y=kx-i---K

2

X2.

万+y=1彳旦（4左2+2）X2+（4左一8左2）x+4斤2-4左一3=0

由

8k2-4k-,

x.+=——-----=2x1

因为点为线段48的中点，所以-4r+2,解得k=-1,

直线/的方程为‘一5一㈠）"I）,即2x+2y-3=0；

4k2-4A-35

._oX.X^=----------=—

（2）解：由（1）知王+々=2,-4k-+26,

\AB\=\ll+k2J（X|+qI-=V2^22-4x-1=

所以

d_|2x0+2x0-3|_3&

。到直线’的距离在方4

=^AB\d=12G372V6

S,—XX

所以234~T

19.如图，已知48_ZBC,BEHCD,NDCB=90。,平面8CDE,平面/8C,

AB=BC=BE=2,CD=4,/为的中点.

（1）证明：即二平面“co；

（2）求平面NCE与平面“8。所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

晅

⑵15

【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用

空间向量求解.

【详解】（1）证明：取/C中点G,连接FG,BG.

cFG=-DC

因为尸为4）的中点，所以而||OC,2

BE//CD,BE=-CD

所以EB〃FG,EB=FG

又由题意知2

则四边形8EFG平行四边形，所以MII8G.

因为平面8CZ)EJ■平面"C,平面B8EC平面/sC=8C,℃u面BCDE,3CB=90。,

所以0cl平面Z8C.又8Gu平面4BC,所以0cL8G.

又4B=BC,G为NC的中点，所以NC18G.

因为ZCc£>C=C,ZCu面/co,OCu面4CD,

所以8Gl平面ACD.

前面已证上产II8G,所以£尸1平面NCD

（2）由（1）知8EL平面/8C.因为”_L8C.BE//CD.所以Z8,BC,BE两两垂直.以点8原

点，分别以前，比，砺的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系8—xyz,则

5（0,0,0）£（0,0,2）/（2,0,0）C（0,2,0）。（0,2,4）

设平面Z8O法向量为"=（"*）,

n-BA=0J2x=0

则标•而=°,所以i2y+4z=0,取z=i,则3=（0,-2,1）.

设平面ZCE的法向量为机=（4昨zJ,/C=（-2,2,0）,ZE=（-2,0,2）,

in-AC=0［-2$+2必=0

则［而•荏=0,所以［-2X|+2Z|=0,令演=1,则机=0,1,1）.

I/---、|_I_2+11VL5

ICOS〈M,〃〉|=—r=--f==——---

所以15（即平面ZCE与平面所成锐二面角的余弦值为15.

20.设抛物线C"=2x‘点"（2,°）,8（-2,0）,过点/的直线/与C交于M,N两点.

（1）当/与x轴垂直时，求直线3M的方程；

（2）证明：2ABM=ZABN.

11

V=—x+1V=X-1

【答案】（I）2或.2；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意可得直线’的方程为尸2,从而得出点M的坐标为（22）或G-2）,利用两

点式求得直线3M的方程;

（2）方法一：设直线’的方程为》=沙+2,点"（和必）、N（W,%），将直线’的方程与抛物线的

方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM、8N的斜率之和为零，从

而得出所证结论成立.

【详解】（1）当/与x轴垂直时，/的方程为》=2,可得^的坐标为（2,2）或（2，-2）.

一+1—7

所以直线8河的方程为2或-2.

（2）［方法一］:【通性通法】韦达定理+斜率公式

设/的方程为x=）+2,MG，必）、N&M）,

［x=ty+2

由［V=2x,得/一2q一4=0,可知乂+%=〃，=-4.

直线BM、8N的斜率之和为

,.=%乂=』+2）必+（为+2）%=（优+4）必+（见+4）%

w

BM-x,+2±+2一（'+2）（七+2）一（x,+2）（x,+2）

=2少必+4（必+%）=2fx（-4）+4x2l=0

（X］++2）（X］+2）（%,+2）,

2）（X2

所以心M+L=°,可知BM、8N的倾斜角互补，所以=

［方法2］：【最优解】斜率公式十三点共线的坐标表示

因为M,N在抛物线上，可设"⑷"），必2扇2%）,故/M=（2f>2,2fJ,

/N=（2g-2,2q）,而力，“，义共线，故而/而，即G片一2）2-（2片-2）%=0,化简得

4（他+l）&f）=°.而”,N是不同的点，故‘尸’2,可得总+1=0.这样

kk=21+_（他+1）（A+<；）_Q

•+2t'+22匕+2C+1"%+1）故NABM=NABN.

【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出,

是此题问题的通性通法；

方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过

程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解.

21.如图是一个正方体的平面展开图，设在该正方体中，点E,F,G分别是棱NB,BC,4"的

中点，平面E/pn平面4防//尸且“"4

（1）作出线段E4,判断直线E4与直线FG的位置关系并证明；

（2）求直线。”与平面EFG”所成角的正弦值.

V15

【答案】（1）答案见解析；（2）5.

【分析】（1）先还原正方体，在正方体中作出£77,证明E//是AFMG的中位线，从而EH//FG；

（2）以。为坐标原点，分别以04万为x,»z轴正方向建立空间直角坐标系。一孙z,用向

量法求解.

【详解】（1）将正方体的平面展开图还原得到如图所示的正方体力8CO-4AGA,

延长FE与加的延长线交于点"，连接GA/交/小于点，，

直线与直线FG的位置关系为平行，即EHHFG.

证明如下：因为E为48的中点，所以易得△/ME三△8FE,

所以4AME=FE,即E为MF的中点，

又BF=4G,所以/A/=4G,所以三RtA/Q”,

所以MH=GH,即，是线段MG的中点，

所以E4是AR