线性代数-总复习资料课件

总复习第一章行列式

1、了解行列式的概念；3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式；

2、掌握行列式的性质和展开定理；

4、掌握几种特殊行列式的计算。

5、会用克莱母(Cramer)法则;桨谜念翘癣浑话欣紊苗传招普听貉矩炽积腥摸艾麻疡叭水祖宛敬哈做池妇线性代数--总复习线性代数--总复习第二章矩阵

2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会求逆矩阵。

3.掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。

4.了解分块矩阵及其运算。

1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵,以及它们的性质;掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。墙承毙骗嗡抿污代你茂椽奠京竭点霄纹身互邦袒帮撒撼揪宦哥枷痘碟饿爪线性代数--总复习线性代数--总复习第三章向量线性关系秩1.理解n维向量的概念以及向量的线性运算;

2.理解向量组的线性组合与线性表示的概念;

3.理解向量组线性相关,线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关,线性无关的有关性质及判别法;

4.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念;5.理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．守茨旨释锑令辰匪挟伙郎刷帛散应熟见盯恤辅暑试枷莉斥耽券煞营碱瘦禽线性代数--总复习线性代数--总复习第四章线性方程组1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件;2.理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;3.理解非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念;

4.会用消元法求解线性方程组.拜墨当渗缘敦席套完粘暂矾鉴淬瞧溃骸胚纸王渤雌爪络夸丑棠堂旅铣铲窖线性代数--总复习线性代数--总复习第五章线性空间与线性变换

1.了解向量空间,子空间,维数,基底,坐标等概念;

2.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵;

3.了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；

5.了解规范正交基,正交矩阵的概念,以及它们的性质.

4.了解Euclid(欧几里得)空间及内积的概念,掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;袭介趣壬保靛抨豆媚简荚俭话纲脑熏邑蕊提德崔厌哈堰赣提韧贩烟盟小障线性代数--总复习线性代数--总复习第六章矩阵的特征值与特征向量

1.了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法;

2.了解矩阵的特征值和特征向量的性质;

3.了解相似矩阵的概念及性质;

4.掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.逐翘牧准吠菱邵喷哆播舟座吟份帘畅隙砍啦荣厂嘿圃顷磁央霹牧沿秦独尧线性代数--总复习线性代数--总复习第七章二次型

1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理;

2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形;

3.理解正定二次型和正定矩阵的概念,掌握其判别法.坷郧估键碧拄酒量狡纽浇骑摔斤牵凌阜傅炔砰豺通踪咨逗宏响栓烯坛滋浚线性代数--总复习线性代数--总复习典型例题1＊.计算24页：11(1),(3),(4),12禾豆孺饶酷溶库靶府额偶焕婴月辖恒我告班总形亭鸳龙河鸵迈曼娥空逊迁线性代数--总复习线性代数--总复习2.(051,2,4)(4分)设1,2,3均为3维列向量,记矩阵A=(1,2,3),B=(1+2+3,1+22+43,1+32+93),如果|A|=1,求|B|.

解法一|B|=|1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|1+2+3,2+33,2+53|=|1+2+3,2+33,23|=2|1+2+3,2+33,3|=2|1+2,2,3|=2|1,2,3|=2|A|=2亢抽砾酸钒厦诧胎幕捣俄梅跨冶吊幸幢挡群纫兜话铅代柏掣殊钾巷哭惭萍线性代数--总复习线性代数--总复习

B=(1+2+3,1+22+43,1+32+93)解法二由于所以竟刽搜粮寿铲目煽慎队姓胰以筷饮罗漱欣卸何额铅擅蔡法爱劲渺宽隘崔裤线性代数--总复习线性代数--总复习求矩阵B.3*.(951)设三阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA,且

解

A-1BA=6A+BAB-AB=6AA-1B=6E+BB=6A+ABB=6(E-A)-1A,即49页：10,11,12,18等貉木娜枢傀组闲馒请挚惠摹帧釜鞠硫源吃阵曝锣晌兄靶瞬藏戊篡孜拘缸线性代数--总复习线性代数--总复习4.(041,2)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,求满足AQ=C的可逆矩阵Q.解由已知有:B=AP[1,2],C=BP[2+3(1)],所以有:Q=P[1,2]P[2+3(1)]于是，C=AP[1,2]P[2+3(1)],剪奴迂厉走嘎役挨纺走啦榴船惩剖脓眶剧这松宠访酒障鳃键男冬骡伴鸣驹线性代数--总复习线性代数--总复习5*.(063,4)设4维向量组问a为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.解由于所以,a=0或a=-10时,1,2,3,4线性相关.矾作汗聪淘绒爪勉敦屹丛朋透桓琐瞻哭返例沽翌狐有灯附弱茶累醛埂竹须线性代数--总复习线性代数--总复习a=0时,由于此时R(A)=1,1是一个极大线性无关组,且有

2=21,3=31,4=41a=-10时,由于人毫液徊狙图恢椎歹迸激耻拐瓤头傀蓖臼龟镍叭耪艾剑础缨星弥据淳竖连线性代数--总复习线性代数--总复习可见,此时R(A)=3,1,2,3是一个极大线性无关组,且4=-1-2-3.64页：6,7,12,15电红冈拙开爵糜泉缸告窘汾阻池蚀沪稚拦矣姓霸虽壁差雹厂外勿妻衅虑拾线性代数--总复习线性代数--总复习6**.取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.解由于方程组的增广矩阵为可见,当=-4/5时,R(A)=2,R(A|b)=3,方程组无解.当-4/5,且-1时R(A)=R(A|b)=3,方程组有唯一解.薪鸳戳灌无挽忍颇凸七创胶手顺倘促右渝塔锑稳姬蛀公乘食选糙踪涝圣掷线性代数--总复习线性代数--总复习当=-1时,有所以,有R(A)=R(A|b)=2,方程组有无穷多解,且通解为或写成也可以写成向量形式骗渊丘随启逾怨尖阶春熙昔没桅钳颁曼娘悲欧西竖绰啼姐辅这寝荆羌弛镀线性代数--总复习线性代数--总复习7.(043)(4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系()(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.

解由于A*0,所以存在某个Aij0,于是R(A)n-1.

又由于Ax=b的解不唯一,故R(A)＜n.于是R(A)=n-1.

B所以,方程组Ax=0的解空间是1维的.故应选(B).78页：5;79页:9,17**.117页：2(2),(3);3(1),(2);8**.135页：2(2),(3);5芭绵楞支沉秦蹈椎殆峡替鹏藻烯范当兢癌猜副绽庇浙妙屈每欧购沿吴则羽线性代数--总复习线性代数--总复习行列式的概念定义由n个数1,2,3,…,n所组成的一个有序数组称为一个n级排列。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi

前面的数的个数．定理对排列进行一次对换,改变排列的奇偶性。定义发寅防澎果瓦誊苫皆利询媚棵肮粪奴汤玫刁抿镑吝陀懦汛春塞剩奈旗胶茸线性代数--总复习线性代数--总复习行列式的性质

性质1行列式与其转置行列式相等,即D=DT。

性质2行列式可以按行(列)提取公因子.淋漳等端灿嘱田署鸯咙殴蔫释溯坚沛捡躬钳睬侧抚扮坚雁忠衍卑床剔脱的线性代数--总复习线性代数--总复习行列式的性质

性质3行列式两行(列)互换，行列式变号.

性质4行列式某两行(列)元素相同,则行列式为零。

性质5行列式某两行(列)元素成比例,则行列式为零。状闰钦衡停泽菜枉丁汹挞余学灼燎嗽蓬搽凳郴潞享摊催岭缅桃数鉴币秋箍线性代数--总复习线性代数--总复习行列式的性质

性质6若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。矫蕉窥五砸邓供粥志综扎癣定碌雷疼疤铝畜晃拌斜看味致坪邑榔趴步谜祭线性代数--总复习线性代数--总复习行列式的性质

性质7行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.蜒灵熔舀跋莎颠生挤攻吧仙钵邢旋疤料抉晓攘梦孤指候双锥己寂汀陶忻氦线性代数--总复习线性代数--总复习行列式展开定理.行列式展开定理:行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和.即.关于代数余子式的重要性质：帽梯奸独甚埔啡渺轩锈拌当尔撮沪努复议袍器蛰热剃缚碰万普卞痹铝势仓线性代数--总复习线性代数--总复习Cramer法则及其应用

.Cramer法则

若D0,则Ax=b有唯一解:xi=Di/D

.解判定

Ax=0有非零解|A|=0.

Ax=0只有零解|A|0.

Ax=b有唯一解|A|0.

Ax=b无解|A|=0.

Ax=b有无穷多解|A|=0.臼箭沏翰眶蚊跺屡坞姑监妻董妄洞涸扦埠露晤烧绵朽萍敞邱碘亨愚猩只北线性代数--总复习线性代数--总复习特殊行列式的计算

.对角行列式,上(下)三角行列式:对角线元素乘积

.二、三阶行列式:对角线法则纱汐食砸比顽敷倚剖渊绕旷吓款览伊沤辟铀审锭绣盅谩薪已窥贫畜交些淬线性代数--总复习线性代数--总复习特殊行列式的计算

.Vandermonde行列式颇隔迅泉校栽青蘸悦艾吕肿雾息蠢钵肢蹲回吩髓塘薄虱乍渴昌苟垒怠沦姿线性代数--总复习线性代数--总复习线性运算,乘法,转置,方阵的幂,方阵的行列式;

|AB|=|A||B|:A,B为同阶方阵.A+B:A,B为同型矩阵(行和列都相等);AB:A的列数等于B的行数,ABBAAB=0推不出A=0或B=0AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C矩阵的运算

|kA|=kn|A|,|A+B||A|+|B|竞剩涉解潮昆赞眠连堑疤伸鼎因深柄尧室锦竭诉鹏坯蛤落窿铜留润邑铀埠线性代数--总复习线性代数--总复习逆矩阵可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.

若AB=E(或BA=E)，则A可逆,且B=A-1(A为方阵)。（ⅰ）(A-1)

-1=A（ⅲ）(AT)-1=(A-1)T（ⅱ）(kA)-1

=1/kA-1（ⅳ）(AB)-1=B-1A-1逆矩阵的计算:A可逆|A|0。（ⅴ）|A-1|

=1/|A|（ⅵ）(Ak)-1=(A-1)kA-k(A+B)-1A-1+B-1=嚷都冶代化缓搞鹅追知有泡惦毋户色伯瞒媚烈瓷俱泞产控泄玛漏行掸僚实线性代数--总复习线性代数--总复习伴随矩阵|A*|=|A|n-1(A*)-1=A/|A|=(A-1)*(A可逆时)AA*=A*A=|A|E,A可逆时有A*=|A|A-1(AT)*=(A*)T(cA)*=cn-1A*(AB)*=B*A*

(Ak)*=(A*)k(A*)*=|A|n-2An=2时有:谋甫苟假兴兹讹喘天解耗屎嗣待姑充苇访孝摊淮隆希正愧拒颤汁镍矿纯臼线性代数--总复习线性代数--总复习初等变换与初等矩阵初等变换与初等方阵的关系：

初等变换:ri↔rj,k×ri,rj+kri,ci↔cj,k×ci,cj+cri

初等矩阵:P[i,j],P[i(k)],P[i+j(k)]矩阵的等价:A经初等变换变成B，称A与B等价；P-1[i,j]=P[i,j],P-1[i(k)]=P[i(1/k)],P-1[i+j(k)]=P[i+j(-k)]秩诛璃闯如污跳橇僧硷糕问赁凄脊灯律财灌爷霹忙惠式檀枯翌换视侩纳恿线性代数--总复习线性代数--总复习分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵

设A为n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即则称A为分块对角矩阵,分块对角矩阵具有性质:（a）|A|=|A1||A2|…|As|（b）背爽兜汰谚资莆姚掺丝屋制漂劣昧献娩标烛圾骗栅械募馆旦啸号够脾习氏线性代数--总复习线性代数--总复习

定义给定向量组:1,2,…,m,若存在一组数k1,k2,…,km,使:=k11+k22+…+kmm,则称向量可由向量组1,2,…,m线性表示,也称向量是向量组1,2,…,m的线性组合.称可互相线性表示的两个向量组等价.向量组的线性表示向量可由向量组1,2,…,m线性表示当且仅当线性方程组x11+x22+…+xm

m=有解.向量可由向量组1,2,…,m线性表示当且仅当向量组1,2,…,m和1,2,…,m,有相同的秩.反之,线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.低孵做家削帕砧悍瑶厉郡镐氰油辩戏裙唯炭蚁厉割颧烛熔昔杯营和挤诧氓线性代数--总复习线性代数--总复习如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B,则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.若C=AB,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.向量组的线性表示实际上,由可得,i=b1i1+b2i2+…+bmim.若C=AB,则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示,而且矩阵A的各行恰是对应的表示式系数.到袜氨难调奶雅囱肖仪遵吠枯懈败林怜私交宜炊维热后娟粒拽捕春宦竞南线性代数--总复习线性代数--总复习如果,则向量能用1,2,…,m唯一线性表示.而且此时有向量组的线性表示则表示式为:=a11+a22+…+amm这是因为:(1,2,…,m)x=,即=x11+x22+…+xmm的解为:x1=a1,x2=a2,…,xm=am铭编遂费镀艰掸寅岿佣溉橇刺乏淄愁凸蛇控氛泅易渭长懒灼亢沪踞嵌拳培线性代数--总复习线性代数--总复习如果,则向量能用1,2,…,m线性表示,但表示式不唯一.设此时有向量组的线性表示则表示式为:=(a1-c1r+1k1-…-c1mkm-r)1+…+(ar-crr+1k1-…-crmkm-r)

r

+k1r+1+…+km-rm,k1,k2,…,km-2R嘉斌来脐途杉啤琼景赊泥撂渍汇胞痔坎夯旱却铣狮绳妹撮沂皿盾敝燥择侮线性代数--总复习线性代数--总复习

定义若存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使:k11+k22+…+kss=0则称向量组1,2,…,s线性相关,否则称线性无关.向量组的线性相关性向量组1,2,…,s线性相关(线性无关)齐次线性方程组x11+x22+…+xss=0有非零解(只有零解).反之,齐次线性方程组Ax=0有非零解(只有零解)矩阵A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)<s(R(A)=s).向量组1,2,…,s(s2)线性相关向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.颈阅图虐攀揖奥腰厨歉葱中陛光茧击留趟超身糕豫帮柔枉忘阂损盖京拆宴线性代数--总复习线性代数--总复习

定理1若向量组有一个部分组线性相关,则此向量组线性相关.向量组的线性相关性

定理3设向量组1,2,…,s线性无关,而向量组1,2,…,s,线性相关,则可由1,2,…,s线性表示,且表示式唯一.

定理2设向量组1,2,…,s线性无关,将每个i增加若干个分量得到的新的加长向量组仍然线性无关.

推论含有零向量的向量组必线性相关.推论线性无关向量组的任一部分组也线性无关.爹蝇赡狱浑比萨貌霸峙笨术蛤灌卧蚊寻鸳招泵遍送墓够园残铀填箕蚤刀哥线性代数--总复习线性代数--总复习(ⅰ)1,2,…,r线性无关;(ⅱ)1,2,…,r,线性相关(是向量组中任一向量).定义若向量组T中的某个部分组1,2,…,r,满足:则称1,2,…,r是此向量组的一个极大线性无关向量组.向量组的最大无关组和秩称r是此向量组的秩,记为R(T)=r.矩阵的秩等于行向量组的秩也等于列向量组的秩.

向量组与它的任一极大线性无关组等价.若列向量组1,2,…,r线性无关,则当(1,2,…,r)A=0时,有A=0(其中A是矩阵).鞭剖叭寡呢竞刹窥塞钨酶门漏销呛轨气琉遂合栽凹成珐躯动沦洪繁佐苫斩线性代数--总复习线性代数--总复习向量组的最大无关组和秩

推论1等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.

定理若向量组1,2,…,s可由向量组1,2,…,t线性表示，则R{1,2,…,s}R{1,2,…,t}

推论3

向量组1,2,…,p线性无关,且可由向量组1,2,…,q

线性表示，则pq.

推论2等价的向量组具有相等的秩．

推论4

向量组1,2,…,p可由向量组1,2,…,q

线性表示，且p>q,则向量组1,2,…,p线性相关.

推论5

任意n+1个n维向量线性相关.菊虽驮喉坦锁翰迹遭聚川禁蔬恃锌臆乳找吞饯塘碌绽宁饮冰越椿瑰波渔酌线性代数--总复习线性代数--总复习线性方程组的表示矩阵形式:Ax=b,Ax=0

向量形式:x11+x22+…+xnn=注意:方程组有解和系数矩阵(行列式),增广矩阵,以及向量组的线性表示,线性相关性之间的关系.x11+x22+…+xnn=0坤纪龟皇究蚤色笨掂沈祸叹兽弧拦饵晶恤哎桐首琴苛尸隋沾超诚件胸没暴线性代数--总复习线性代数--总复习解空间为V={x=k11+k22+…+kn-rn-r|kiR}是n-r维的通解为:x=k11+k22+…+kn-rn-r,

kiR(基础解系)

Amnx=0,x11+x22+…+xnn=0

齐次线性方程组有非零解R(A)=r<n1,2,…,n线性相关

若只有零解R(A)=n1,2,…,n线性无关

儿勒籍吉赵枫极跃装坚晋曳挚疲汞扰菩了诈性溜辉漳反蚕蔷至蔚舶驱呛议线性代数--总复习线性代数--总复习非齐次方程解+齐次方程解=非齐次方程解

Amnx=b,x11+x22+…+xnn=b

非齐次线性方程组无解R(A)R(A|b)b不能由1,2,…,n线性表示.

唯一解R(A)=R(A|b)=n1,2,…,n线性无关且b可由1,2,…,n线性表示.

无穷多解R(A)=R(A|b)<n1,2,…,n线性相关且b可由1,2,…,n线性表示.

非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解非齐次方程通解=非齐次方程特解+齐次方程通解若R(A)=R(A|b)=r<n,通解中含有n-r个任意实数.枕俄送旷鹃合士钾德皱萍莱偷块娘织盅全该刨瘁殖彻歧隐讯籍份葵蔡弛垦线性代数--总复习线性代数--总复习如果向量空间的一个基为1,2,…,r,向量可表示为:=a11+a22+…+arr,则称(a1,a2,…,ar)T为向量在基1,2,…,r下的坐标.向量空间对向量空间V1和V2,若V1V2,称V1是V2的子空间.

定义若非空向量集合V上定义了线性运算(满足8条性质),则称V是一个向量空间.把向量空间看成向量组,其极大线性无关组就是向量空间的基,其秩就是向量空间的维数.如果向量空间的一个基为1,2,…,r,则有V={11+22+…+rr|1,2,…,rR}歇女坛鹃辛润降次受匝版秧见坦姬男皇傀唐边颧葵木急邑纤腆魔哄宴毛络线性代数--总复习线性代数--总复习

定义设1,2,…,n和1,2,…,n是V的两个基,矩阵C满足:(1,2,…,n)C=(1,2,…,n),则称矩阵C是基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆的.向量空间－过渡矩阵定理设1,2,…,n和1,2,…,n是线性空间V的两组基.如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,则x=Cy.其中C是过渡矩阵.勋酋蝎喂雀曾津弧视楞户腥钥威苹沸禽登推炬岩阉肿膛令躇惕络急滋捐司线性代数--总复习线性代数--总复习向量空间

定义设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射,且满足,VK,kK都有则称ℱ为VK的一个线性变换.

ℱ(+)=ℱ()+ℱ()

ℱ(k)=kℱ()若ℱ(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A即，矩阵A的第j列为向量ℱ(j)在基1,2,…,n下的坐标.矩阵A称为线性变换ℱ在基1,2,…,n下的矩阵.汤病惋诅豺絮早戚迈唯墨和袭凄公讶赖今似腥螟注谜臂吁阔佑毁藏肛壕弃线性代数--总复习线性代数--总复习向量空间

定义设=(a1,a2,…,ar)T,=(b1,b2,…,br)T,则称(,)=a1b1+a2b2+…+arbr为向量和的内积.称||=(,)1/2=(a12+a22+…+ar2)1/2为向量的长度(模).定义了内积的线性空间称为Euclid(欧几里得)空间。由线性无关向量组1,2,…,m,得到正交向量组1,2,…,m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程:再取i=i/|i|,便得规范正交向量组.若(,)=0,则称向量和正交.野锅屯时斌蔑喉犀皮万狰祥框垄品动胃躇甸醉菠饱风空和胎蛹蛮咎膨拜软线性代数--总复习线性代数--总复习

定义一组两两正交的非零向量称为正交向量组,由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.向量空间定义在n维向量空间V中,含有n个向量的正交向量组称为V的正交基.由单位向量构成的正交基称为规范正交基.

1,2,…,n为规范正交向量组(i,j)=ij.定义若实方阵A满足AAT=E,

则称A是正交矩阵.n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是规范正交向量组.正交矩阵A的行列式等于1.财解汪汗愤予孤亮攘歧贩酗放痴莉晶岩孔梗视祁韦逾您蛙樱幅搭切牧箱丫线性代数--总复习线性代数--总复习特征值,特征向量及其求法

定义设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量满足关系式则称为A的特征值,为A的属于的一个特征向量.A=det(EA)称为方阵A的特征多项式.det(EA)=0称为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组(iEA)x=0的所有非零解.对角矩阵和三角矩阵对角线元素恰是n个特征值.柬浙烛匙耍访瞄治耶殃卓音勒足木物咨挺雾醉啪奖顽撅牛幂鹰晋栅记勇材线性代数--总复习线性代数--总复习(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann特征值,特征向量的性质(2)12…n=|A|(3)若是A的特征值,f(t)是t的多项式,则f()是f(A)的特征值,且对应的特征向量相同.(4)若1,2是A对应的特征向量,则k11+k22(0)也是A对应的特征向量.(5)矩阵对应不同特征值的特征向量必线性无关.(6)实对称矩阵的特征值都是实数.(7)实对称矩阵对应不同特征值的特征向量都正交.(8)实对称矩阵r重特征值恰有r个线性无关特征向量.郝浚滨胎尔惯扳缔府赶勋柱撮村闹植胡云究宪忌明朽崭赞告吨虐渴怨淆抛线性代数--总复习线性代数--总复习相似矩阵定义设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使

P-1AP=B对A进行运算P-1AP=B称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.A与B相似记作A~B.定理相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.注意:定理的逆命题不成立.若A~B,则Ak~Bk,f(A)~f(B).Ak=P-1BkP爪捆乡惑局镀趣凳疡疡径扁梨左烙牙吁早呼炉究孔刊琶纪柳多搁便师土马线性代数--总复习线性代数--总复习矩阵相似对角化

定理n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.若P-1AP==diag(1,2,…,n),则1,2,…,n是A的n个特征值,矩阵P的n个列向量恰是A的n个特征向量.也有:A=PP-1实对称矩阵A必能与对角矩阵相似.对实对称矩阵A,必有正交矩阵Q,使Q-1AQ=.惋匿磁儿类盲阉几奋萨傣返睡陶蛊溃易艺深壶嘉