2020-2021学年浙江省高一下学期期中联考数学试题(解析版)

2020-2021学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考数学试

题

一、单选题

L设复数z=l+2i（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的几何意义直接求解

【详解】解：因为复数z=l+2i在复平面内对应的点为（1,2）,

所以复数在复平面内z对应的点位于第一象限，

故选：A

2.已知向量凡。不共线，若与Q+2B共线，则实数fc的值为（）

A.-1B.--C.1D.2

2

【答案】B

【分析】由于与£+2/共线，所以由平面向量共线定理可得存在唯一实数入，使

ka-b=y.（a+2h）,从而可求出人的值

【详解】解：因为如“与2+25共线，所以存在唯一实数九，使乙-方=入（“+2抗，

快=九,1

所以二,,解献=九=-彳，

[2A,=-12

故选：B

3.已知正三角形ABC的边长为2,那么AABC的直观图△4®。的面积为（）

A.直~B.走C.出D.巫

244

【答案】D

【分析】根据斜二测画法求解.

【详解】如图⑴为小BC的实际图形，图（2）为.ABC的直观图.

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1y

由斜二测画法得：AB=49=2,O'C'=-OC=曲,ZCOB=45，

22

作CQUOB,

则C7y=O'C'sin45=—,

4

所以S=A'BrxCD'=-x2x.

"XB'C2244

故选：D

4.在A43C中，a=2瓜b=6,A=j则此三角形（）

6

A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确

定

【答案】C

【分析】根据正弦定理，结合三角形中大边对大角性质进行求解即可.

ab_2也_6_.0也

【详解】由正弦定理可知：，

2

因为a<Z>,所以A<8,

又因为8e（0,兀），所以8=g,或8=今，因此此三角形有两解，

故选：C

5.已知〃?，〃是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若机〃a,〃//a,则切〃〃B.若。〃0,加〃。，则加〃p

C.若aua,〃u（3,则加〃〃D.若,"_La,,"〃/i,a//0,则

【答案】D

【分析】题中〃］，〃是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与

平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另

一条也垂直于这个平面.

【详解】A.直线m，”也可能相交或者异面；

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B.若加在平面P内则不成立；

C.直线m，”也可能异面；

D.因为,所以"_La,且&〃(3,故""L0.

故选：D

【点睛】要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和

笔来进行分析.

•1一.

6.已知A、B、。三点共线，且对任一点C,^AD=-CA+XCB,则入等于()

A.-B.-C.--D.--

3333

【答案】C

【分析】设而=k福，可得=-CA),结合已知条件可得出关于大、入的方程

组，即可得解.

【详解】设而=%而，则AD=kQB-CA),

/=九

又因为AZ)=!c4+大C3,所以，，1,解得力=」.

3~k=-3

I3

故选：C.

7.为了测量河对岸两点C,£＞间的距离，现在沿岸相距2km的两点48处分别测得

N8AC=105°,/&4。=60。,/48。=45。,/48。=60。，则C,。间的距离为()

A.拒B.2C.4戊D.4

【答案】B

【分析】在A4JC和△45。中应用正弦定理求得8c与8。，然后在△BCD中应用余弦

定理求得CD.

',BCABBC2

1详解】在JBC中，sin.c=sinZACS'n'nsinl05°-sin(180°-105o-450)'

BC=4sinlO5°=4sin75%

和△A3。中，ND4B=NO54=60。，△48。是等边三角形，BD=AB=2,

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在△BCD中，ZDBC=\5°,

所以

CD2=BCi+BDi-2BC-BDcosZBDC

=16sin2750+4-2x4sin75°x4xcos150=16sin2750+4-2x4sin75°x2xsin750=4,

CD=2.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是根据条件确定正弦定理或

者余弦定理计算，及计算的顺序.本题如果在ZVIC。中应用余弦定理求co可能更方便

一些.

8.在棱长为2的正方体488-A8C。中，。为AO的中点，p为正方体内部及其表

1111

面上的一动点，且则满足条件的所有点p构成的平面图形的面积是（）

A.J

B.26C.4D.3事

2

【答案】D

【分析】证明出BD_L平面ABC,平面ACO,确定过点。的截面与正方体各棱的

I1I11

交点，可知截面图形是边长为四的正六边形，进而可求得结果.

BD,如下图所示:

因为四边形48CD为正方形，则AC_L8Z),

「_L平面A3CQ,ACu平面45CZ),/.AC1DD

।it

vDDABD=D,平面80。，

ii

•/BDu平面3D。,BD1AC,同理可得8。1AB,

iiiii

8。_L平面ABC,同理可证3。J_平面ACO,

ii।।ii

设过点。且垂直于B。的平面为平面a,则a与平面Me、平面AC»都平行，

111I

•••a〃平面ACB,平面ABCOPI平面a=QN,平面48C£)n平面ACS=4C,

1I

，0N〃AC,二。为4)的中点，则N为CO的中点，

同理可知，平面a分别与棱CC、BC、AB,AA交于中点，

I111I1

易知六边形EFGMVQ为正六边形，且其边长为^AC=应，

因此，满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是6x^x(汇)=3有.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查正方体截面面积的计算，解题的关键在于利用正方体的

几何性质，找出体对角线的垂面，进而确定截面与垂面平行，并以此作出截面.

二、多选题

9.已知复数z=l+2i,下列说法正确的是()

A.复数z的虚部是万B.Izl=5

C.zi=-2+iD.复数z的共轨复数N=l-2i

【答案】CD

【分析腹数Z=a+〃的实部为a,虚部为6,模为上|=向右，共辗复数为2="加，

以及

zi=(a+bi)i=ai+bi2.

【详解】复数z的虚部是2;

Iz1=>/5;

a=(l+2i)i=z+2i2=-2+i;

复数z的共辄复数T=l—2i.

故选：CD

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【点睛】对复数的相关基础知识要熟练，特别是复数z=a+〃的虚部为b,而不是从.

10.某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于此圆锥的说法正确的是（）

A.圆锥的侧面展开图的圆心角为变

2

B.圆锥的体积为9折

C.过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8

D.圆锥轴截面的面积为］"

【答案】AC

【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可.

【详解】因为圆锥的底面半径为3,母线长为4,所以圆锥的高力=而二覆=".

A：因为圆锥的底面半径为3,所以圆锥的底面周长为27t-3=6兀，又因为圆锥的母线长

为4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为如=如，因此本选项说法正确；

42

B：因为圆锥的体积为卜=；兀-32."=3折，所以本选项说法不正确；

C：设圆锥的两条母线的夹角为。，过这两条母线作截面的面积为:N/.sineMgsine,

IT

当。=5时，面积有最大值，最大值为8,所以本选项说法正确；

D：因为圆锥轴截面的面积为gx6xa=3S\所以本选项说法不正确，

故选：AC

11.如图，设E、F分别是正方体ABCO-ARq?的棱。C上两点，且48=3,EF=2,

下列说法正确的是（）

A.异面直线。R与a所成的角为45。

B.三棱锥口-8产尸的体积为3

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C.平面8EF与平面ABCD所成的二面角大小为60°

11111

D.直线。R与平面8尸F所成的角为30°

【答案】ABD

【分析】根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各

选项进行判断.

【详解】A中由于，因此异面直线与E尸所成的角就是。8与CO的夹

I1I1IIII

角，为45°,A正确；

B中，三棱锥。-8E尸的体积V=V=-SBC=1X1X2X3X3=3,BIE

1ID^-B^EFB「D]EF3REF1132

确；

C中，平面8EF即为平面ABC。，NDAD为平面48C。与平面ABC。所成的二面

I11II111111

角的平面角，ZD40=45°,C错误；

D中，连接A。交A。于M,连接由正方体性质知A8LA。，ADLAD,而

1II11111

AB^}AD=A,因此A。_L平面A8C£）,因此ZD8M是直线B£＞与平面48CD所成

1111111I1I111

的角，在直角三角形MB。中，DM=\DB,所以NC8M=30。，D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：求空间的角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角,

解题时可根据定义作出空间角的“平面角”，然后计算.

12.在AABC中，。是边BC中点，下列说法正确的是（）

A.AB+AC-2AD=Q

什ABACy/3AD

-—I—・=―.—则8万是瓦i在8d上的投影向量

\AB\\AC\IADI

C.若点P是AABC的外心，AC=5,且A户.8。=8，则AB=3

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D.若点。是线段A£＞上的动点，且满足8。=入8/(+|18。，则小的最大值为了

一4

【答案】ABC

【分析】A：根据平面向量的加法的几何意义进行判断即可；

B：根据平面向量的加法的几何意义，结合投影向量的定义进行判断即可；

C：根据三角形外心的性质，结合平面向量的加法几何意义和数量积的运算性质进行判

断即可；

D：根据三点共线的平面向量的性质，结合基本不等式进行判断即可.

【详解】A：因为。是边BC中点，所以4力=3(AB+A3),即A月+AC-2AZ5=6，因

此本选项说法正确；

ARACAD

B：因为।।A.।।A.।分别表示AByACyAD方向上的单位向量,

ARAC

由平面向量加法的几何意义可知：俞+南表示/8AC的平分线表示的向量,

所以由"+王=立丝可得：AO是NBAC的平分线，而。是边BC中点,

IA8I\AC\\AD\

BD._

所以有AD18C,在Bd上的投影为：|8川＜0$8=,山-=\BD，所以80是画在

BAI

前上的投影向量，因此本选项说法正确；

C：因为点P是AABC的外心，。是边8c中点，所以。PJ.8C,即9.前=0,

Q•觉=8=须+硒屈=8n而•前+而•阮=8=而屈=8,

=＞-(AB+AC)-(AC-/1/?)=8=＞AC2-AB2=16,因为AC=5,所以

2

而2=9=48=3，因此本选项的说法正确；

D：因为。是边8c中点，所以由初二入班+日而，可得：

BQ=XBA+[xBC=\BA+2[iBD,因为点。是线段AO上的动点，所以Q、4、。三点共

线，因此可得：九+2日=1,要想却有最大值，则一定有九＞0,口＞0,

l

XM=l.X.(2g)＜l-(^-^-)2=lx(l)2=l,当且仅当大=2日时取等号，即九=：人=!

22222824

时取等号，因此本选项说法不正确，

故选：ABC

【点睛】关键点睛：运用平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质、三点共线的向

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量性质是解题的关键

三、填空题

13.设向量&=(x⑵,6=(-3,6),若GJ_B，则彳=.

【答案】4

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】因为。J.E，所以a-B=-3x+12=0,x=4.

故答案为：4.

14.已知向量2石夹角为30。,1力="底1=1,则向量Z在向量至上的投影向量为.

3-

【答案】b

2

【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.

【详解】因为向量Z石夹角为30。,1自=6,31=1,

所以向量Z在向量B上的投影向量为归空.6=史二4=2/；,

12

3-

故答案为：3b

2

15.在AA8C中，边b,c所对的角分别为A,B,C,^ci=a2+b2-yjiab,sinA=2cosB,

则A=.

兀

【答案】-

7T

【分析】根据已知，由余弦定理求出COSC,从而求出角C=/，在AABC中，可得

BA,进而利用两角差的余弦公式化简sinA=2cosB即可求解.

6

【详解】解:,「C2=。2+。2-出ab，

-Q2+/?2-C2yJ3ab6

cosC===，

2ablab2

・.•0<C<兀，

.\C=-,

6

5兀

又A+B+C=TI,所以B=——A,

6

・.•sinA=2cosB,

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名竺把

，sinA=2cosB=2cos—42|coscosA+sinsinA

666

pcosA+lsinA

=2=sinA一避cosA,

22)

/.cosA=0,

'10<4<汽,

兀

，A=一

2

兀

故答案为:

16.如图,三棱锥P-ABC中，〃是尸。的中点，£是4〃的中点，点厂在线段尸3上,

满足臣〃平面A3C,^BF'.FP=

【答案】1:3

【分析】取的中点N,连接EN,EF,FN,得到松〃8C,再根据比例关系可得.

【详解】取MC的中点N,连接EN,EF,FN,

可知EN〃AC,又EF〃平面A8C,

从而可得平面ENFII平面ABC,

又平面E/V/C平面P8C=/W,平面48Cn平面P8C=3C,

所以NF〃8C,又M为尸C的为中点，N为MC的为中点,

所以BF:FP=CN:NP=1:3.

故答案为：1：3.

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17.已知工为单位向量，平面向量£/满足P-4=即4=1,则a%的最小值为.

【答案】

2

【分析】取单位向量&=0C，以点C为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A、B，

令4=况，b=OB，由此表示单位向量，"l=x,计算的取值范围.

【详解】解：取单位向量Z=oc，以点C为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A、

B，

令3=况，b=OB^如图所示；设I4l=x,则xe[O,2J；

作圆C的垂直于OA的切线分别交直线OA于B,两点,

易得a*h<OA*OB=x(l+—)==+x,XG[O,2]；

'22

所以0・AV4,当且仅当X=2时等号成立；

T..VI

>OA*OB=-x(l--)=—x(2-x)=-x2-x,

2222

当且仅当x=l时等号成立，即

综上知，的取值范围是I，,4].

2

故答案为：-

2

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B

四、双空题

18.现有条件:

①cos(A+C)cosA+sin(A+C)sinA=',

„sinC+sinBa

②=,

sinA-sinBc-b

③SGG”+Q2-a)

AA5c4

从中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

在锐角AABC中，角48,C的对边分别为。也c,a=4,且,则人的取值范围为

【答案】①②③中任选一个均可；（2,8）

【分析】若选①，先逆用两角差的余弦公式，求出角C,然后再根据正弦定理可得

6=24+2,由A43C为锐角三角形，求出角A的范围即可求解；

tanA

若选②，先用正弦定理角化边，再用余弦定理求出角。，后面解答同选①；

若选③，先利用面积公式及余弦定理求出角C后面解答同选①.

【详解】解：在锐角△他C中，

若选①，贝cos(/4+C)cos4+sin(A+C)sinA=；，

/.cos[(A+C)-A]=COSC=—,

2

兀

vO<C<-,

2

兀，2兀

C=—,A+8=—,

33

又〃=4,

-r*34--rm/n4sin(-A]4——cosA+—sinA_

所以由正弦定理得asinB(3JI22J273

b=---=-------=----------=--

sinAsinAsinAtanA

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hABC为锐角三角形,

兀

0<A<「_

2,解得所以tanA>所以0<―，

八D2兀A兀633tanA

0<B=--A<—J

32

所以2<m生+2<8,即。的取值范围为（2,8）；

tanA

sinC+sinB

若选②,

sinA-sinB

，由正弦定理有学=/7,^a2+b2-C2=ab，

a-bc-b

由余弦定理得cose」4/ab_1

2ab~2

兀

vO<C<-

2

7T

・•.C=§,后面解答过程同①；

若选③，...S="2+a2~c2\又S'=^absinC,

,ABC4ABC2

即sinC=""—)gsC，

।有Q+。2-C2

—ahsinC=--------

24lab

tanC=出，

Tt

vO<C<-,

2

TT

...C=§,后面解答过程同①.

故答案为：①②③中任选一个均可；（2,8）.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是先根据已知条件求出角C，然后利用正弦定理

及角的变换求得b=26+2,再根据AMC为锐角三角形，求出角A的范围.

tanA

五、解答题

19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB,£>,E分别为AB,HC的中点，乙钻。=90°求

证：

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(1)£>E〃平面P8C；

(2)ABLPE.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)由三角形中位线定理可得OE〃BC,再利用线面平行的判定定理可证得

结论；

(2)由于DE〃8C,ZABC=90°,可得OEIAB，而21=PB,。为A8的中点，可

得ABLPD,则由线面垂直的判定定理可得平面PDE,进而可证得结论

【详解】证明：(1)因为RE分别为A8,AC的中点，

所以OE//BC,

因为。E(Z平面P8C,8Cu平面P8C,

所以£>E〃平面PBC；

(2)因为NA5C=90°,所以A5LBC,

因为DE//BC,

所以£>E_LAfi，

因为R4=P8,。为A3的中点，

所以AB_LP£),

因为尸。0。旧=。，

所以A8_L平面PZ)E,

因为PEu平面PDE,

所以AB工PE

20.已知向量1«1=2,h=-g,弓］.

(1)若(，一母*=0,求向量4与B的夹角；

(2)在矩形ABC£>中，设荏=4亚=瓦E为CD的中点，户为BC的中点，求A引力升

的值.

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【答案】（1）y兀;（2）|5

【分析】（1）首先求出向量的数量积，再由cos（",八=5总即可求解.

IIII

（2）利用向量的加法、数乘运算以及向量的数量积即可求解.

【详解】⑴由坂=w,则口=.1=1,

（a-b）b=0,则£$="=［,

八八ah1

所以3（叫=西=小

因为向量4与B的夹角在［。,兀］上，则兀

3

1T

即向量a与B的夹角为三.

(2)(AZ)+DE)(A8+g0

~AE~AF=GB+BF)=AD+-DC

2

=ADAB+-ADBC+-DCAB+-DCBC

224

1--1--

=_ADBC+—DCAB

22

="+二2=之

222

21如图，正方体.。一々空^的棱长为2.

（1）求异面直线8C与AC所成角的大小；

1

（2）求直线B。与平面A8c所成角的正切值.

111

【答案】（1）y.（2）/

【分析】（1）连接4C,则由正方体的性可得AC〃AC,所以4cB为异面直线BC

11111I1

与AC所成的角，然后在△4CB中求解即可；

11

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(2)连接8。，80交AC于0,连接B。，则可得ND8E为直线BO与平面A8C所

1111III

成的角，然后利用已知的数据和正方体的性质可求得结果

【详解】解：(1)连接4C,AB,

II1

因为多面体ABC。-4BC。为正方体，所以4C〃AC,

Illi11

所以乙产产为异面直线BC、与AC所成的角，

因为4B=BC=AC,所以aACB为正三角形，

I11111

jr

所以Z.ACB=--

-3f

所以异面直线8Q与4c所成角的大小为

(2)连接8。,80交AC于。，连接勺。，交于E,

因为88J.平面AB。，ACu平面ABC。，

1

所以B8LAC,

1

因为ACL8D,BBCBD=B,

1

所以ACJ■平面BBDD,

I1

因为BOu平面防DD,所以AC18。，

1I11

同理可得ABLBD,

ii

因为4CcA3=A,所以BOL平面ABC,

iii

所以NOBE为直线BD与平面48c所成的角，

III1I

因为正方体A8CD-A8C。的棱长为2,

llll

所以BD=DB=2&,所以8。=18。=应，

।12

所以qo=J(")2+22=#,BD、=2后,

所以BE=Z娓,DE=^x2车=^~,

।3।33

46

npo—

所以tanZ.DBE=—i—=-=v2,

「B、E|V6

所以直线8R与平面ABC所成角的正切值为x/2

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【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角的求法，考查线面角的求法，第（2）

问解题的关键是通过线面角的定义找出直线与平面所成的角，考查计算能力，属于中档

题

22.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如

图所示：在直径为20m的半圆。空地上，设置扇形区域作为大人体息区，规划两

个三角形区域做成小喷泉区屋。山区域）和沙坑滑梯区建ABC区域），其中A为直

径延长线上一点，且ft4=20m,B为半圆周上一动点，以AB为边作等边AABC.

（1）若等边△ABC的边长为。，ZAMfi=0,试写出。关于。的函数关系式；

（2）问ZAW8为多少时，儿童游玩区0AC8的面积最大？这个最大面积为多少？

【答案】⑴a=l（）j5-4cos20,其中（2）当NAMB=若■，儿童游玩区OACB

的面积最大，最大值为QoO+125有）侬.

【分析】（1）分析可得NAO3=20,利用余弦定理可得出a关于。的函数关系式；

（2）求得四边形OACB的面积关于。的关系式，利用正弦型函数的有界性结合。

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可求出四边形04cB的最大值.

【详解】（1）=0,/.ZAOB=20,

在AAOB中，AB=a,0A=20,08=10,44。6=20,

由余弦定理可Wai=OA2+OBz-2OA-OBcosZAOB=500-400cos20,

所以，a=1O>/5-4cos20,其中。《（。，万）；

（2）S=lxlOx2Osin20=100sin29,s=立A8?=25#（5-4cos2。）,

△AOB2AABC4

所以，

S=S+S=100si