2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编14三角函数选填题（全国通用版）含解析

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题14三角函数选填题

一、选择题

31]1

1.(2022年全国甲卷理科•第12题)已知a=^,b=cos“c=4sin"则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.（2022年全国甲卷理科•第11题）设函数〃x）=sin（ox+j在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则&

的取值范围是（）

3.(2022新高考全国n卷•第6题)若sin(a+0+cos(a+0=2j1cosa+工卜in夕，则()

\4)

A.tan(iz-/?)=lB.tan(a+£)=l

Ctan(a—0)——1D.tan(a+£)=—1

4.（2022新高考全国I卷•第6题）记函数/（X）=sin的+£+6（。〉0）的最小正周期为T.若女<T

<4J3

且尸“X）的图象关于点降2）中心对称，则唱卜（）

35

A.1B.—C.-D.3

22

5.（2021年新高考I卷•第6题）若tan。=-2,则皿11型型=（）

sin+cos0

6226

A,—B.—C.—D.

5555

6.（2021年新高考I卷•第4题）下列区间中，函数/（x）=7sin.V单调递增的区间是（

)

A•（闯B•加C.卜寺）口.占2%）

7.（2021年高考全国乙卷理科•第9题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是

测海岛的高.如图，点E,H,G在水平线4c上，OE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标

杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与£〃的差称为“表目距

的差”则海岛的高28=（）

B

)

表高x表距口表高x表距

,表目距的差）表1ylB-表目距的差一表身

D籍趣-表距

8.（2021年高考全国乙卷理科•第7题）把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标

不变，再把所得曲线向右平移g个单位长度，得到函数歹=5足［》一的图像，则/（》）=（）

/jr\COSCC

9.(2021年高考全国甲卷理科•第9题)若ae0,工，tan2a=一^―,则tana=()

\2J2—sina

AV15V5cV5VB

15533

10.（2021年高考全国甲卷理科•第8题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为

8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,

现有4£C三点，且48.C在同一水平面上的投影A',B'C满足NA'C'B'=45°,4'8'C=60°.由

C点测得8点的仰角为15°,88'与CC'的差为100；由8点测得/点的仰角为45°,则4C两点到

水平面A'B'C的高度差AA'-CC约为（6°1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

11.（2020年高考数学课标I卷理科•第9题）已知a兀），且3cos2a—8cosa=5,则sina=（)

1D.在

C.一

39

7F

12.（2020年高考数学课标I卷理科•第7题）设函数/（X）=COS（0X+工）在［-71,71］的图像大致如下图，贝|加）

6

的最小正周期为（

13.（2020年高考数学课标II卷理科•第2题）若a为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2«>0D.sin2a<0

7T

14.（2020年高考数学课标in卷理科•第9题）已知2tan0-tan（例"一）=7,则tan柒（）

4

A.-2B.-1C.1D.2

2

15.（2020年高考数学课标HI卷理科•第7题）在A48C中，cosC=y,AC=4,BC=3,则cos8=（）

1112

A.一B.一C.—D.一

9323

16.（2019年高考数学课标HI卷理科•第12题）设函数f（x）=sin（ryx+y）（®>0）,已知/（x）在［0,2句有

且仅有5个零点，下述四个结论：

①/（X）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点②/（X）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

17.(2019年高考数学课标全国II卷理科•第10题)已知a,2sin2a=cos2a+l,则sina=()

1V5>/3275

A.-B.C.------D.-------

5535

18.(2019年高考数学课标全国n卷理科•第9题)下列函数中，以工为周期且在区间(工,区)单调递增的是

2\42)

()()

A./(x)=|cos2x|B./(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D./(x)=sin|x|

19.(2019年高考数学课标全国I卷理科•第11题)关于函数/'(x)=sinN+binx|有下述四个结论：

①/(X)是偶函数②/(X)在区间5,左单调递增

③/(x)在［-71,刃有4个零点④/(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

20.(2018年高考数学课标m卷(理)•第9题)△ZBC的内角4民。的对边分别为,若△ZBC的面积

222

a+b-cnl_

为----------,则C=（）

71r兀c兀r兀

A.-B.-C.-D.一

2346

21.（2018年高考数学课标III卷（理）•第4题）若sina=；,则cos2a=（）

8778

A.-B.-C.——D.一一

9999

22.（2018年高考数学课标n卷（理）•第10题）若/（x）=cosx-sinx在卜a,可是减函数，则。的最大值是（）

A兀兀「兀八

A•—rB>•—C.3—D・7T

424

23.（2018年高考数学课标II卷（理）•第6题）在A48C中，cos^=白，BC=1,AC=5,则48=（）

A.4&B.>/30C.>/29D.2行

24.（2017年高考数学新课标I卷理科•第9题）已知曲线C,:y=cosx,C2：^=sinl2x+y1，则下面结论正

确的是()

兀

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移二个单位长度，得到

6

曲线G

兀

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移值个单位长度，得到

曲线G

C.把£上各点的横坐标缩短到原来的《倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2个单位长度，得到

曲线G

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移展个单位长度，得到

曲线g

25.（2017年高考数学课标m卷理科•第6题）设函数/（x）=cos[x+。），则下列结论错误的是（）

8%

A./（x）的一个周期为-2%B.y=/（x）的图像关于直线对称

C./'（尤+%）的一个零点为x=£D./'（X）在单调递减

I

26.（2016高考数学课标III卷理科•第8题）在△48c中,B=J3I,BC边上的高等于-8C,则cosZ=（

)

43

A,也3V10

VDio.----Vio

1010To-io

3

27.(2016高考数学课标HI卷理科,第5题)若tana=—，则cos2a+2sin2a=()

4

252525

28.（2016高考数学课标II卷理科•第9题）若cos[：-=则sin2a=（）

7]__j__J_

A.25B.5C.5D.25

29.（2016高考数学课标II卷理科•第7题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移IT专个单位长度，则平移后图

象的对称轴为（）

也4

化㈤

X--eBX-

26T

A.C㈤

红

乃"

化aZ

X-一€X-+€

22

12

30.(2016高考数学课标I卷理科•第12题)已知函数/")=$也(5：+*)3>0,帆区9，%=一7为/(刈的

零点，x=?为歹=/(x)图像的对称轴，且/(x)在信朗单调，则①的最大值为()

(A)11(B)9(C)7(D)5

31.(2015高考数学新课标1理科•第8题)函数/(x)=cos3x+e)的部分图像如图所示，则/(x)的单调递

减区间为()

1313

A.(kji——，左)+—),kwZB.(2Avr——，2左左+一),ksZ

4444

32.(2015高考数学新课标1理科•第2题)sin200cosl0。—cosl600sinl00=()

33.(2014高考数学课标2理科•第12题)设函数/(x)=73sin—.若存在/(x)的极值点/满足

m

22

/2+[/(x0)]<m,则m的取值范围是()

A.(-00,-6)u(6,+00)B.(-co,-4)u(4,+8)

C.(—oo,—2)u(2,+00)D.(—co,—1)u(4,+oo)

34.(2014高考数学课标2理科•第4题)钝角三角形ABC的面积是:，AB=1,BC=Q,则AC=()

A.5B.V5C.2D.1

35.(2014高考数学课标1理科•第8题)设&€(0二),£€(0二),且1211&=匕当2,则()

22cosp

冗TC71Jl

A.3a—。=-B.2a—0=-C.3a+夕二—D.2a+/?=一

二、多选题

(2兀、

36.(2022新高考全国II卷•第9题)已知函数/(X)=sin(2x+e)(0<(p<it)的图像关于点—,0中心对

37

称，贝！1()

A./(x)在区间单调递减

二有两个极值点

B./(x)在区间

1212)

7兀

C,直线x是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线y=走—x是曲线y=/(x)的切线

2

37.(2020年新高考I卷(山东卷),第10题)下图是函数尸sin®x+°)的部分图像，则sin(wx+^)=()

)

兀兀,5兀八、

sin(——2x)C.cos(2x+—)D.cos(——2x)

36

38.(2020新高考II卷(海南卷)•第11题)下图是函数产sin(ft)x+9)的部分图像,则sin((wx+9)=()

Tl,5n-、

C.cos(2x+—)D.cos(—-2x)

三、填空题

39.(2022年全国甲卷理科•第16题)已知A/8C中，点。在边8c上，NADB=120°,4D=2,CD=2BD.当

AT

令取得最小值时，BD=

AB

40.（2022年全国乙卷理科•第15题）记函数/'（X）=COS（GX+O）（0>O,O<°（兀）的最小正周期为7,若

f（T）=g,x=2■为/（x）的零点，则①的最小值为.

41.（2020年新高考1卷（山东卷）•第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O

为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，/是圆弧与直线/G的切点，8是圆弧与直线8c的切点，

3

四边形。EFG为矩形，BCLDG,垂足为C,tan/O0C=-,BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,4到

5

直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

42.（2020新高考n卷（海南卷）•第16题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O

为圆孔及轮廓圆弧力8所在圆的圆心，A是圆弧N8与直线AG的切点，B是圆弧力8与直线BC的切点，

3

四边形。EFG为矩形，BCLDG,垂足为C,tan/ODC=-,BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,X到直

5

43.（2021年高考全国乙卷理科•第15题）记△力8c的内角Z,8,C的对边分别为a,8,c,面积为Ji，3=60。，

a2+c2=3ac，则b=.

44.（2021年高考全国甲卷理科•第16题）已知函数/（x）=2cos（（yx+e）的部分图像如图所示，则满足条件

-子））/（》）一/（与'）＞0的最小正整数x为

45.（2020年高考数学课标I卷理科•第16题）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中,ZC=1,Z8==百,

ABLAC,ABLAD,ZCAE=30°,则cosNFCB=.

46.（2020年高考数学课标III卷理科•第16题）关于函数/（x）=sinx+」一有如下四个命题：

sinx

①/（x）的图像关于y轴对称.

②Ax）的图像关于原点对称.

TT

③/（X）的图像关于直线尸彳对称.

刨X）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

47.（2019年高考数学课标全国n卷理科•第15题）△ABC的内角/,8,C的对边分别为a,b,c.若6=6,

a=2c,B=—，则△ZBC的面积为.

3

48.（2018年高考数学课标HI卷（理）•第15题）函数/（x）=COS0X+向在［0,n］的零点个数为.

49.（2018年高考数学课标II卷（理）•第15题）己知sina+cos£=l,cosa+sin/?=0,则sin（a+。）=.

L3「乃一

50.（2017年高考数学课标n卷理科•第14题）函数/（x）=sin2x+J3cosx—1（xe0,-）的最大值

是_____

51.（2016高考数学课标IH卷理科,第14题）函数y=sinx-J^cos》的图像可由函数y=sinx+百cosx的

图像至少向右平移个单位长度得到.

4

52.（2016高考数学课标n卷理科•第13题）A48C的内角4民。的对边分别为凡8c,若cos/=1，

cosC=—,a=1,贝！lb=.

13

53.（2015高考数学新课标1理科•第16题）在平面四边形力88中，NA=NB=NC=75",BBC=2,

则的取值范围是-

54.（2014高考数学课标2理科•第14题）函数/（x）=sin（x+2（p）-Zsinecos（x+夕）的最大值为

55.（2014高考数学课标1理科•第16题）已知a,b,c分别为A48C的三个内角4民。的对边,a=2,且

（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC,则AABC面积的最大值为.

56.（2013高考数学新课标2理科•第15题）设。为第二象限角，若tan（6+?）=g,则sin。+cos9=

57.（2013高考数学新课标1理科•第15题）设当x时，函数/（x）=sinX—2cosx取得最大值，则cos。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题14三角函数选填题

一、选择题

31]1

1.(2022年全国甲卷理科•第12题)已知"转,b=cos“c=4sin"则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

c1(兀、

解析：因为一=4tan—,因为当0,-,sinx<x<tanx

b4<2J

1IcI

所以tan->二,即工>1,所以c>b；设/(x)=cosx+-x2-l,xG(0,+QO),

44b2

f'M=-sinx+x>0,所以fM在(0,+8)单调递增，则/(；)>八0)=0,所以cos；-°，

所以b>a,所以c>方>a,

故选：A

【题目栏目】三角函数'三角函数的综合问题

【题目来源】2022年全国甲卷理科•第12题

2.（2022年全国甲卷理科•第11题）设函数/（x）=sin（ox+g）在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。

的取值范围是（）

'513、「519、（138111319一

A.B.C.—D.—

367l_36J163」vo6

【答案】c

解析：依题意可得力＞0，因为xe（O/）,所以+如r+?）,

要使函数在区间（0,乃）恰有三个极值点、两个零点，又丫=$皿》，xe（t，3;r）的图象如下所示：

冗八.„138_f138

则不-<wr+；W3/r,解nz得丁即n。w

2363\o3

故选：C.

【题目栏目】三角函数'三角函数的综合问题

【题目来源】2022年全国甲卷理科•第11题

3.(2022新高考全国H卷•第6题)若sin(a+0+cos(a+0=2j^cosa+—sin/7,则()

\4)

A.tan(a-)0)=1B.tan(a+/?)=l

Ctan(cr-/?)=-lD.tan(<z+/?)=-1

【答案】C

解析：由已知得：sinacos°+cosasin/?+cosacos£一sinasin(3=2(cosa-sin二)sin£,

即：sinacos0-cosasin尸+cosacos夕+sinasin£=0,

即：sin(a-£)+cos(a-£)=0所以tan(a—夕)=一1,故选：c

>

【题目栏目】三角函数'三角恒等变换'三角恒等变换的综合应用

【题目来源】2022新高考全国II卷•第6题

4.(2022新高考全国1卷・第6题)记函数/四=5沦(血+工］+6(0〉0)的最小正周期为「若女<7<乃,

<473

且N=/(X)的图象关于点(当,2)中心对称，则/(5)=()

35

A.1B.—C.-D.3

22

【答案】A

242424

解析：由函数的最小正周期7满足一<丁<万，得一<—<)，解得2</<3,

33CD

—,2对称，所以三⑦+二=左肛％eZ,且6=2,

2)24

125

所以69=-----1---k,k£Z,所以3=一/(x)=sinl-x+-1+2,

632

所以=sin(j%+?)+2=l.

故选：A

【题目栏目】三角函数'三角函数的图像与性质'三角函数的图象与性质的综合问题

【题目来源】2022新高考全国I卷•第6题

5.（2021年新高考倦•第6题）若tan。=-2,则吧里匕吧冽=（）

sin0+cos0

6226

A-一一B.一一C.-D.

5555

【答案】C

解析:将式子进行齐次化处理得:

sin0(1+sin2^)sin(sin28+cos~e+ZsinOcos。)

--------------------------------------------=sin8(sin8+cos8)

sin，+cos。sin0+cos。

sm，（sin9+cos。）tan2（9+tan6^4-22乂、生〃

=------7--------;一-=-------;——=----=-，故选C.

siir6+8s~e14-tan**01+45

【题目栏目】三角函数'三角恒等变换'三角恒等变换的综合应用

【题目来源】2021年新高考I卷♦第6题

6.（2021年新高考倦•第4题）下列区间中，函数/（》）=7$小-曰单调递增的区间是（）

A.（闯B.（尹）C.（用D.（"）

【答案】A

解析:因为函数y=sinx的单调递增区间为（2所-不2%%+御化eZ）,

对于函数/(x)=7sin由2k7T----<X-----<2k7TH----(k£Z),

262

jrZn

m2k7r--<x<2k7t+—(kGZ),

冗27r

取％=0,

,A选项满足条件，B不满足条件;

取4=1,

三,2万）仁（1,竽），CD选项均不满足条件，故选A.

【题目栏目】三角函数'三角函数的图像与性质'三角函数的图象与性质的综合问题

【题目来源】2021年新高考I卷.第4题

7.（2021年高考全国乙卷理科•第9题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是

测海岛的高.如图，点E,H,G在水平线力。上，DE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标

杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与E”的差称为"表目距

的差”则海岛的高/8=()

)

A表高X表距._口表高X表距主一

A-痈距的亲+表局B.+LJ*一衣色］

表目距的差

表高X表距c表高X表距主味

,表目距的差表,表目距的差表

【答案】A

解析：如图所示:

DEEHFGCG

由平面相似可知，——=——,——=——，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEHCGCG-EHCG-EH—…—》

---=----=----=----------=---------，而CH=CE—EH=CG—EH+EG,

ABAHACAC-AHCH

即AB=CG-EH+EGXDE:段些+DE;表高X表距+表高

表目距的差衣

CG-EHCG-EH

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

【题目栏目】三角函数'解三角形应用举例'测量高度问题

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第9题

8.(2021年高考全国乙卷理科•第7题)把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标

不变，再把所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数夕=5皿1》—的图像，则/(》)=()

【答案】把函数N=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右

TT

平移2个单位长度，得到函数歹=sin的图像，则/(%)=()

3

sin(2x+^-

A.D.

【题目栏目】三角函数'三角函数的图像与性质三角函数的图像变换

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第7题

I\coscc

9.(2021年高考全国甲卷理科•第9题)若ae0,彳，tan2a=丁，一，则tana=()

V2)2-sina

AV15J5c75VB

15533

【答案】A

解析：,/tan2a=---:---

2-sina

csin2a2sinacosacosa

tan2a=------=-------；——=--------

cos2al-2sin-a2-sina

vtze0,—,，cosaoO,—22——；­=---------,解得sina=一,

I2Jl-2sin2«2—sina4

r.—~—y/15sinaV15

/.cosa=vl-sin-a=---，：.tana=-----=-----

4cosa15

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

【题目栏目】三角函数'三角恒等变换'倍角、半角公式的应用

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第9题

10.(2021年高考全国甲卷理科•第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为

8848.86(单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,

现有/.8.C三点，且48.C在同一水平面上的投影A',B',C'满足ZA'C'B'=45°,4‘8'C'=60°.由

C点测得8点的仰角为15。，8?与CC的差为100：由8点测得Z点的仰角为45。，则4C两点到

水平面48'C的高度差44-CC约为(百位.732)()

B

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

解析：

过C作CH_LB8',过B作

故4Z'-CC'=3'-(88'-8")=/4'-88'+100=4。+100,

由题，易知为等腰直角三角形，所以40=08.

所以4'一。。=08+100=Z'8'+100.

因为NBCH=15°,所以C〃=C'6'=—叽

tanl5°

在"'8'。中，由正弦定理得:

A'B，_C'B'_100_100

sin45°―sin75°-tan15°cos15°-sin15°

V6—V2

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°

4

V2

100x4xv

所以⑷B—产~^-=100(6+1)x273'

V6-V2

所以A4'—CC'=4B'+100B373.

故选：B.

【点睛】本题关键点在于如何正确将AA,-CC'的长度通过作辅助线的方式转化为⑷8'+100.

【题目栏目】三角函数'解三角形应用举例'测量高度问题

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第8题

11.（2020年高考数学课标I卷理科•第9题）已知aw（0,兀），且3cos2a-8cosa=5,则sina=（）

3B.2D,正

339

【答案】A

【解析】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,

2.

即3cos2a—4cosa-4=0>解得cosa=一§或cosa=2(舍去),

又,：aw(0,%),/.sina=71-cos2a=亨•

故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求

解能力，属于基础题.

【题目栏目】三角函数'三角函数的诱导公式

【题目来源】2020年高考数学课标I卷理科•第9题

7T

12.（2020年高考数学课标I卷理科•第7题）设函数/（X）=COS（QC+—）在［-兀,兀］的图像大致如下图，则4）

6

的最小正周期为（）

IOTC7兀4兀3兀

A.——B.—D.

96TT

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点

将它代入函数/（X）可得:

又［一《二q是函数/（X）图象与》轴负半轴的第一个交点'

4"71713

所以-----69H--=---,解得：（0=一

9622

2"_2"_4万

所以函数/（X）的最小正周期为"=了=3=?

2

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

【题目栏目】三角函数'三角函数的图像与性质、三角函数的图象与性质的综合问题

【题目来源】2020年高考数学课标I卷理科•第7题

13.（2020年高考数学课标n卷理科•第2题）若a为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

3冗

解析：方法一：由a为第四象限角，可得一+2左万<。<2万+2左万，左eZ,

2

所以34+4左4<2a<4万+4左乃，左eZ

此时2a的终边落在第三、四象限及歹轴的非正半轴上，所以sin2a<0

故选：D.

71

方法二：当。=一一时,cos2a=cos>0,选项B错误;

6

rr

当a=_々时,cos2a=cos<0,选项A错误;

3

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,则sin2a=2sinacosa<0,选项C错误，选项D正

确:

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的

转化能力和计算求解能力.

【题目栏目】三角函数'任意角的三角函数'任意角的三角函数的定义

【题目来源】2020年高考数学课标II卷理科•第2题

71

14.（2020年高考