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文档简介

第三节泰勒（Taylor）公式

问题的提出

Pn(x)的确定泰勒公式简单的应用1/23一、问题的提出多项式的两个突出的优点：

结构简单、易于计算；分析性质极佳。不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.求

n

次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的

n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)

余项

.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为就是拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中其中麦克劳林公式已知其中因此可得麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式（皮亚诺余项）sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况：n=1时：sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况：n=3时：sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况：n=5时：sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况：n=11时：例3写出ax的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式。解例4解17/23解利用泰勒公式证明不等式例4.

证明证:+五、小结在x0点的n阶可导函数在x0点的n阶近似多项式存在且唯一，就是泰勒多项式；佩亚诺型余项的泰勒公式常用于讨论函数的局部性质，如求极限；拉格朗日型余项的泰勒公式常用于讨论函数的整体性质，如近似计算、误差估计以及建立函数与其高阶导数之间的联系。21/23作业习题3-1思考题利用泰勒公式求极限

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