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结构矩阵分析结构矩阵分析作业模板（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）课程作业题目：35m+55m+35m连续梁结构分析班级：土木工程079班学号：200702613姓名：郑康2011年3月

1、桥梁资料1.1设计资料某三跨连续公路桥梁，桥宽12.5m，双车道，无人行道，设计荷载为公路—I级，设计参数如下。（1）截面为单箱单室，截面高度沿梁长按二次抛物线变化，腹板、顶板、底板厚度不变。（2）铺装层厚度为0.08m沥青混凝土，每侧防撞拦体积为0.18m3（3）桥梁采用C50混凝土。（4）设计活载为公路-I级1.2桥梁布置桥梁跨度和梁高参数如表1所示，结构总体布置图如图2所示。表1桥梁参数边跨（m）中跨（m）边跨（m）支点梁高（m）跨中梁高（m）3555354.01.4a）桥梁立面图b）桥梁断面图图1结构总体布置图（图中数字代表单元号）2、恒载内力计算2.1有限元模型采用Midas/Civil软件建立桥梁不考虑施工过程的有限元模型，根据桥梁结构特点，全桥共划分单元250个，节点255个。有限元模型如图2所示。图2桥梁有限元模型2.2最大内力桥梁在恒载下的最大弯矩和剪力如表2和表3所示。表2最大恒载剪力部位边跨支点边跨1/4边跨3/4中支点中跨1/4剪力值/kN－1573.5678.86301.4－9357.1－3584.9表3最大恒载弯矩部位边跨1/4边跨跨中边跨3/4中支点中跨1/4中跨中弯矩值/kN.m17365.117818.6－26048.1－79890.3－2892.629381.62.3恒载弯矩图和剪力图通过计算，得到恒载作用下桥梁弯矩和剪力如图3和4所示。图3桥梁恒载弯矩图(kN.m)图4桥梁恒载剪力图(kN)3、活载内力计算3.1最大内力桥梁在活载下的最大弯矩和剪力如表4和表5所示。表4最大活载剪力部位边跨支点边跨1/4边跨3/4中支点中跨1/4最大剪力/kN358.5479.11147.81444.7232.8最小剪力/kN－1197.4－781.0－186.3－1500.4－1110.2表5最大活载弯矩部位边跨1/4边跨跨中边跨3/4中支点中跨1/4中跨中最大弯矩/kN.m6128.57319.34532.12474.44582.27096.7最小弯矩/kN.m－2760.5－5683.4－8692.1－13517.4－3983.3－1815.23.2活载弯矩图和剪力图包络图通过计算，得到活载作用下桥梁弯矩和剪力包络图如图5和6所示。图5桥梁活载弯矩包络图(kN.m)图6桥梁活载剪力包络图(kN)4、组合内力计算4.1最大内力桥梁在恒载和活载下的最大弯矩和剪力如表6和表7所示。表6最大组合剪力部位边跨支点边跨1/4边跨3/4中支点中跨1/4最大剪力/kN－1371.0485.85059.97556.8－2963.4最小剪力/kN－2926.8－876.33736.36033.0－4291.3表7最大组合弯矩部位边跨1/4边跨跨中边跨3/4中支点中跨1/4中跨中最大弯矩/kN.m13449.57138.1－22462.1－66987.6－3133.123302.2最小弯矩/kN.m4700.7－6777.2－35686.3－82979.4－11621.814425.64.2组合弯矩图和剪力图包络图通过计算，得到恒载和活载组合作用下桥梁弯矩和剪力包络图如图7和8所示。图7桥梁组合弯矩包络图(kN.m)图8桥梁组合剪力包络图(kN)矩阵分析在-------机械振动中的应用摘要：随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。本文采用了矩阵论中所学的矩阵相似变换、矩阵正交化及特征方程等相关知识，对多自由度系统的自振动的运动微分方程进行了研究分析，引入正则坐标并采用坐标变化法求得了振动系统的自由响应。关键词：多自由度系统，正则坐标，自由响应一、引言20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于复杂的机械结构特性分析也越来越重要。而对于像航天器等复杂的机械结构需要用更多的自由度来描述，多自由度系统的振动方程式二阶常微分方程组。建立系统方程是振动分析的前提，但随着自由度的增多，所建立的系统运动微分方程也越来越复杂，对于离散系统运用牛顿第二定律的方式来对方程进行求解也越来越困难，为此发展了柔度系数法和刚度系数法，而拉尔朗日方程是建立系统控制方程的最通用方法，他使用功、能和广义力等物理量，得到了完全刻画系统的最少方程。本文只考虑阻尼矩阵能够被无阻尼振形矩阵对角化的情形，分析其基本理论方程，并用实例进行论证求解。二、多自由度系统的自由振动理论本文主要对多自由度系统的自由振动进行求解，在介绍多自由度系统的振动之前，先介绍单自由度无阻尼的自由振动以便了解机械振动理论的基本原理。1.单自由度无阻尼系统的自由振动图1单自由度无阻尼系统对于单自由度系统而言，当系统受到激励时，根据牛顿第二定律，可以列出的运动微分方程为：(1.1其中，m为物体的质量；k为弹簧的刚度；为物体的加速度；x为弹簧的伸缩量。该方程是一个二阶齐次线性常系数微分方程。这为之后的多自由度系统的运动分析提供了理论基础。2.多自由度无阻尼系统的自由振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。本文主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为：(1.2在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。对于多自由度系统振动解可设为：(1.3列向量和ω均为待定复常数。若系统是振动的，则解必为实数。将式(1.3代入(1.2，得到下列代数齐次方程组：(1.4上面的方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零，即：(1.5式(1.5为系统的特征方程，具体写出为：(1.6上式左端的行列式展开后是关于的n次代数多项式：(1.7称为特征多项式，由式(1.6或(1.7可解出n个称为特征值或特征根，将其按升序排列为：显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。这n个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。在求得特征值后．把某一个代回式(1.4，可求对应的列向量。由于式(1.4的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1个是独立的，故只能求出列向量中各元素、、…的比例关系。我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如项移到等式右边，可得代数方程组：我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如项移到等式右边，可得代数方程组：(1.8解上面的方程，可得到用表达的解、…，显然都与的值成比例。我们可将这些比例常数用表示，并补充，可得列向量，则有：(1.9列向量是确定的常数，反映列向量中各数的比例关系，叫作特征向量。同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。不失一般性，我们可在式(1.9中用待定复常数取代，式(1.9可写为：(1.10这样，当成比例变化时，有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不同的特征向量。对应于n个特征值可得n个特征向量…，且每一个特征向量都满足式(1.4。对于一个振动系统，特征值就是系统的固有频率，特征值相对应的特征向量就是系统的振形。显然，对应于n个固有频率可得n个振形…。我们将在后面论述。显然，将及代入式(1.3，可得n组满足方程(1.2的解，将这些解相加，可得多自由度系统自由振动的一般解为：(1.11其中2n个待定常数由系统运动的初始位移和初始速度确定。如果系统在某一特殊的初始条件下，使得待定常数中只有≠0，则式(1.11所表示的系统运动方程只保留第k项:(1.12多自由度系统振动一般解的方程可表达为：(1.13这时整个系统按圆频率、振幅比作同步简谐运动。振幅分别为，振幅之间都保持固定不变的比值。因此特征向量完全确定了系统按固有频率振动时的形态，所以特征向量就是按相应固有频率振动时的振型向量，对应的特征向量称为它的第阶主振型或主模态，相应的振动叫主振动。在振动过程中，一般还会产生其它阶主振动。对于一个n自由度系统，一般可以找到n个固有频率，以及相应的n个主振型。我们把各阶主振型组成的矩阵叫做振型矩阵：(1.14三、三自由度系统自由响应求解三自由度的弹簧-质量系统如图11所示，设t=0时。求振系的自由响应。图2三自由度无阻尼系统解：第一步，建立振动微分方程，由刚度法可建立该振系的微分方程第二步，求固有频率和振型。系统的,，故系统矩阵将[S]代入振型方程得故频率方程为由上式解得三个特征值为对应的固有频率为将代入振型方程a消去公因子，并令=1，则有由上式解得，对，做同样的处理，得到相应的振型为第三步，求振型矩阵与正则矩阵。振型可知，振型矩阵即可确定为求正则振型矩阵，需先求出各阶主质量再求出各阶正则振型由正则振型即可构成正则振型矩阵第四步，用正则坐标变换可得到用正则坐标表示的独立方程(i=1,2,3第五步，把初始条件变换到正则坐标上，若将式子两端左乘则有因,即第六步，求振系在正则坐标下的响应。而方程的一般解为代入正则坐标表示的初始条件，，第七步，把正则坐标的响应再变回到物理坐标系下。利用坐标变换式得四、结论本文在研究多自由度系统的自由振动时，将模型简化成无阻尼系统，并使用了特征方程，矩阵逆变换等相关知识进行求解。得出了多自由系统在激励下的自由响应。其实在实际问题中，系统几乎都是有阻尼的，此时，所列出的运动微分方程也更加复杂，所需要用到的矩阵论的知识也更多。在计算机发展和普及的前提下，矩阵论理论的重要性越来越明显，应用也越来越广泛。当然，研究梁单元的振动情况只是矩阵论理论应用领域的一个小方面。但是，这足以说明用矩阵论力量和方法可以方便地解决现代工程技术中的各种问题，它表述简洁，便于进行研究，已经越来越成为从事科学研究和工程设计科技人员的首选工具。参考文献[1]李新.何传江.矩阵理论及其应用[M].重庆大学出版社，2005年8月.[2]李有堂.机械系统动力学[M].国防工业出版社，2021[3]陈天福，冯贤贵.材料力学[M].重庆大学出版社，2006矩阵分析在信号处理中的应用班级：2021级专业硕士班在二十一世纪，人们普遍认为对人类社会发展最有影响的科学领域将是信息科学和生命科学。事实上，我们确实强烈感受到信息科学的飞速发展对我们日常生活方面的影响，信息科学的发展让世界变成了地球村。概括起来说，信息科学研究的是作为信息载体的信号的获取、存储、传输和处理。可见信号处理是信息科学的核心研究内容之一。信号处理在理论上涉及的范围极其广泛，并不断有新的分支出现。从所处理的信号的性质上来看，可分为确定性信号处理和随机信号处理。确定性信号处理研究的确定性信号的分析、线性滤波、重构，反卷积（线性失真补偿）等。除了大家比较熟悉的线性滤波器设计与实现理论、信号分析的各种快速变换算法等之外，还包括信号重构理论、多抽样率信号处理、小波分析等较新的学科分支。确定性信号处理时随机信号处理的重要理论基础之一。本文就是研究基于确定性信号处理的矩阵分析应用。平稳随机过程的功率谱估计方法可以分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。经典谱估计的基本方法包括19世纪末由Schuster提出的周期图法和1949年Tukey根据维纳—辛钦定理提出的自相关法即BT法。现代谱估计方法主要是针对经典谱估计分辨率低和估计质量差提出的，因此也称作高分辨率谱估计。现代谱估计是基于随机信号的参数化模型表示的方法。在现代谱估计中，对未能得到的样本数据或未能估计出来的自相关函数，不是简单地当作零处理，而是与所得到的样本数据服从同一模型。根据谱表示定理，从功率谱等价的角度，规则过程可以用AR、MA或ARMA模型来描述。根据我们所学的信号与系统、数字信号处理等课程中系统的幅频特性与系统零、极点之间的关系，可以明确知道AR模型适合于具有尖峰但没有深谷的谱，MA模型适合于具有深谷但无尖峰的谱，ARMA模型是较通用的，对两种极端情况能够表示的模型。通过建立平稳随机过程的AR模型来获得功率谱估计的方法叫做AR谱估计。历史上，最早提出AR模型并用于时间序列建模的是Yule，他在1927年采用AR建模的方法研究太阳黑子的活动周期。Walker在1931年用最小二乘法建立了自回归模型参数与自相关函数关系的Yule-Walker方程。已知AR过程的前p+1个延迟的自相关函数，就可以解一组线性方程组来确定AR参数。Yule－Walker方程用矩阵形式表示：对于平稳过程，我们知道，自相关矩阵是非负定的，也就是说可能是正定的，也可能是半正定的。但对平稳非可预测过程，可以证明是正定的，即自相矩阵是满秩的。因此，由Yule－Walker方程可以唯一确定出AR系数。再由：可以确定白噪声的方差。一般将这两个方程用矩阵形式联立表示为：无论是p阶自相关矩阵，还是p+1阶自相关矩阵，它们在结构上都有特殊的性质，根据自相关函数的共轭对称性，它们是共轭对称的，即实平稳过程的自相关矩阵是对称的Toeplitz矩阵，而复平稳过程的自相关矩阵是共轭对称的Toeplitz矩阵。正是利用了自相关矩阵的共轭对称Toeplitz结构，Levinson提出了一种快速求解Yule—Walker方程的递推算法并由Durbin进行了改进，这种算法称为Levinson—Durbin算法。对于实际谱估计问题，过程的自相关函数是不可能精确知道的。一般只能得到过程的有限长度观测样本。最简单的AR模型参数估计方法是，在Yule—Walker方程中，用样本自相关函数估计代替自相关函数真值，并求解所得到的Yule－Walker近似方程，也就是说自相关法。具体地说，就是求解以下方程组：以及显然自相关矩阵估计是共轭对称的且具有Toeplitz结构，同时可以验证：因此，是正定的。所以，该方程组可用Levinson递推算结果求解，并且可以保证估计出来的AR模型的稳定性。另一种方法是协方差法。在自相关法中，预测误差功率的估计包含了一些不适当的项。协方差法与自相关法的唯一差别就是在估计预测误差功率