现代控制理论第讲

现代控制理论第讲第一页，共二十页，编辑于2023年，星期日第四章稳定性与李雅普诺夫方法主要内容:1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第一方法（间接法）3、李雅普诺夫第二方法（直接法）4、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用5、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用重点：1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第二方法（间接法）3、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用第二页，共二十页，编辑于2023年，星期日一、稳定的一般性概念

系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。二、系统稳定分类系统外部稳定：又称作输出稳定，当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。系统内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。第三页，共二十页，编辑于2023年，星期日

1、经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。

在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。三、经典控制论中的稳定性理论

2、经典控制论稳定性分析方法劳斯－赫尔维茨稳定判据：可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。频域：奈奎斯特判据。

第四页，共二十页，编辑于2023年，星期日非线性系统和时变系统稳定性分析方法

李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫：19世纪后期俄国数学家《动态稳定性的一般问题》1892发表线性化方法“类能量”标量函数

3、经典控制论稳定性分析方法的适用性研究的对象：线性定常系统不能解决的问题：（1）时变系统时的稳定性分析；（2）非线性系统的稳定性分析；（3）系统内部状态稳定性分析。第五页，共二十页，编辑于2023年，星期日4—1李雅普诺夫关于稳定性定义经典控制理论的稳定性定义：线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系统的初始条件和扰动的大小无关。非线性系统的稳定：不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动的大小无关。经典控制理论并没有给出适合任何系统稳定性定义！李雅普诺夫稳定性定义1、给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义2、李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。3、李雅普诺夫函数需要针对系统来设计，不具有一般性。第六页，共二十页，编辑于2023年，星期日一、系统状态的运动和平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为：n维状态矢量

n维矢量函数在给定初始条件下，有唯一解：表示初始时刻的状态表示从初始条件出发的一条运动轨线称为系统的运动或状态轨线。第七页，共二十页，编辑于2023年，星期日若系统存在状态矢量，对于任意时间t,都有：则称该状态为系统的平衡状态，记为：关于平衡状态的说明1、对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。2、有时即使存在也未必是唯一的。例：可以得到系统的三个平衡状态点第八页，共二十页，编辑于2023年，星期日它的动态特性由下列非线性自治方程给出令

则相应的状态空间方程是：平衡点：第九页，共二十页，编辑于2023年，星期日二、稳定性的几个定义状态空间几何描述的几个基本概念状态矢量与平衡点xe的距离：用║x─xe║表示且有：║x─xe║=[（x1-x1e)2+（x2-x2e)2……+（xn-xne)2]1/2以xe为中心ε为半径的超球体点集：用S（ε）表示，且如果状态变量x属于该超球体点集则有：║x─xe║≤ε邻域：当ε很小时，称S（ε）为xe的邻域自由响应有界：若系统状态方程的解xt=Φ(t；x0,t0)位于球域S（ε）内则有：║Φ(t；x0,t0

）－xe║≤ε表示系统由初始状态x0或扰动所引起的自由响应有界。第十页，共二十页，编辑于2023年，星期日1、李雅普诺夫意义下稳定

设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以Xe为球心，以ε为半径的n维球域S(ε)，总能找到一个同样以Xe为球心，δ（ε，t0）为半径的n维球域S(δ)，使得从S(δ)球域出发的任意一条系统状态轨迹φ(t；X0，t0)在t≥t0的所有时间内，都不会跑出S(ε)球域，则称系统的平衡状态Xe是李雅普诺夫稳定的(LyapunovStability)。第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期日

对于任意选定的实数ε>0,都存在另一实数δ（ε，t0）>0,使得当║x─xe║≤

δ（ε，t0）时,从任意初始状态X0出发的解都满足

║Φ(t；x0,t0

）－xe║≤ε,∞>t≥t02、渐进稳定

如果Xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t无限增加时，从S(δ)球域出发的任一条状态轨迹φ(t；X0，t0)都最终收敛于球心平衡点Xe，那么称Xe是渐进稳定的(AsymptoticStability)。第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期日3、大范围渐近稳定

如果从S(∞),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨迹φ(t；X0，t0)，当t→∞时，都收敛到平衡点Xe，那么称Xe是大范围渐进稳定的。很明显，这时的Xe是系统的唯一的平衡点。4、不稳定

对于给定S(ε)，不论δ>0取得多么小，从S(δ)球域出发的状态轨迹φ(t；X0，t0)，至少有一条跑出S(ε)球域，那么称平衡点Xe是不稳定的。经典控制理论(线性系统）不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期日小结：1、球域S(δ)限制着初始状态X0的取值，球域S(ε)规定了系统自由响应φ(t；X0，t0)的边界；2、如果x(t)为有界，则Xe稳定；3、如果x(t)为有界而且有，Xe渐进稳定；第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期日4—2李雅普诺夫第一法（间接法）问题：如何判定系统的稳定性？判据？方法：通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性。一、线性系统的稳定判据设线性定常系统的动态方程为：

线性定常系统平衡状态Xe＝0渐近稳定的充要条件是是统矩阵A的所有特征根都有负的实部。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部都有负实部。第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期日

系统的传递函数W(s)没有零极点对消时，系统的状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的，因为这时系统矩阵的特征根就是系统传递函数的极点。【例4－1】系统的状态空间表达式为：请分析系统的状态稳定性和输出稳定性。解：Xe=0是系统的唯一平衡点，系统特征方程为：第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期日二、非线性系统的稳定性设非线性系统的状态方程为：Xe为平衡状态；f[x,t]为与x同维的矢量函数，且对x有连续的偏导数。可将非线性矢量函数f[x,t]在Xe邻域展开成泰勒级数：R（x)—为级数展开式中的高阶导数项雅可比矩阵（Jacobian)第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期日令△X=X-Xe,可得系统线性化方程：定理（李雅普诺夫线性化方法）（1）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态Xe是渐近稳定的，而且稳定性与R（x)无关。（2）如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态Xe是不稳定的。（3）如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个的实部为零，那么原非线性系统在平衡状态Xe的稳定性将取决于高阶导数项R（x)，而不能有A的特征值符号来确定。第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期日【例4－2】系统的状态方程为：