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文档简介

§4.5函数的极值与最值二、最值一、极值一极值1可能成为极值的点：（1）驻点（费马定理），即一阶导数为零的点（2）不可导点说明：上述两类点是所有可能成为极值的点，这两类之外的任何点都不可能成为极值点，但驻点和不可导点不一定是极值点，它们是否为极值点需用具有充分性的结论去判别，下面介绍两个极值的充分性条件定理，就是用来判别上述各点是否为极值点以及是什么性质的极值点的2极值的第一充分条件定理注：此条件定理不但可以判断驻点是否为极值点，还可以判断不可导点是否为极值点，因为此定理要求的条件是在去心邻域内可导，而不要求在该点可导。3极值的第二充分条件定理（1）定理：注：此条件定理只能用来判别驻点是否为极值点，而且是一部分驻点，因为二阶导数为零的点无法判别。（2）证明：4求函数的极值点和极值步骤：（1）求一阶导数，找出所有的驻点和不可导点（2）利用充分性条件定理逐个判别是否为极值点以及是什么性质的极值点（3）求出是极值点的函数值，即为函数的极值5举例例1求下列函数的极值解：解：解：解：解：二最值1最值与极值的关系（1）整体与局部的关系：极值是局部的概念，是某点及其周围一个小范围内的函数值的比较，而最值则是一个整体的概念，是某区间上所有点的函数值的比较。（2）极值是局部的最值。（3）区间上的极值不一定是最值，区间上的最值也不一定是极值。实际上，区间上的最值是区间上所有极值与两端点的函数值的比较。2最值的求法（1）找出函数在区间上的驻点、不可导点和端点。（2）求出上述各点的函数值，然后进行比较，其中最大者即为函数在区间上的最大值，最小者则为最小值。（3）特别地：3举例例2

求下列函数在所给区间上的最大值和最小值解：例3

证明证明：例4

解：所以有XXXXYYYYOOOOXXOOYY例5

设厂商的总成本函数为C=C(q)（q为产量）是q的二阶可微函数，平均成本函数为解：因而是最小值，此时的边际成本为：MC=AC，即边际成本等于平均成本时，平均成本最小例6

设厂商的总成本函数为C=C(q)（q为产量），其需求函数为P=P(q),C(q)、P(q)都是q的二阶可微函数，且厂商的利润函数L=L(q)满足，试确定厂商获得最大利润的必要条件。解：此时若存在极值，必为极小值，且是最小值因此厂商获得最大利润的必要条件是边

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