流体动力学微分形式基本方程

流体动力学微分形式基本方程第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第二篇

流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论

流体绕过物体的流动

气体动力学基础

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章

流体动力学微分形式基本方程

连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日

流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得到联系流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。本章讨论微分形式的基本方程。

第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第1页第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程

第2页图5.1正六面体流体微团xzydydxdzwxdydz

o在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统的连续性方程在流场中取一六面体微团，其边长为，，（图5.1）。沿方向在单位时间内流入六面体的流体质量为沿方向在单位时间内流出六面体的流体沿方向在单位时间内净流出质量为六面体的流体质量为第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第3页同理可得：沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为单位时间内净流出整个六面体的流体质量为另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在时刻流体密度为时刻流体密度为，则在单位时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为，第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第4页根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之和为零，六面体中流体的质量是不变的，即式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到（5.1）则连续性方程也可写成

写成向量形式 （5.3）

（5.3a）或（5.2）第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第5页对于稳定流动，，于是式（5.1）变为 即

（5.4a）（5.4）对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为

（5.5）

（5.5a）即第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第6页o图5.2扇形六面体流体微团zArBdrDCdzdr二、圆柱坐标系统的连续性方程在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内流入AB、BC、CA面的流体质量分别为，，单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量分别为，，

第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第7页单位时间内，微团中净流出的流体质量为由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以

此即圆柱坐标系统的连续性方程。（5.6）对于不可压缩流体，为常数，连续性方程为

（5.7）第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第二节理想流体运动方程第1页图5.3流体微团在x方向所受的力xzydydxdzpdydzXo运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很小，因而可视为理想流体。一、理想流体运动方程的建立建立运动方程的基础是牛顿第二运动定律。在理想流体流场中取出一微小六面体微团。微团所受的力有表面力（压力）和体积力（质量力）。六面体在轴方向上所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z，则在轴方向根据牛顿第二运动定律应有第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第2页化简得、轴方向力的平衡关系式，于是有同理可推导得到

（5.8）第二节理想流体运动方程第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第3页 式中，

称为单位质量的体积力矢量。（5.8a）（5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体（密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任意时刻t，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实际对该式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将详细讨论。第二节理想流体运动方程第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第4页欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下

（5.9）式中、、分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。

第二节理想流体运动方程第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量方程来求解。求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作具体分析。初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题中，所要求的是第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第5页二、理想流体运动方程的求解对不可压缩流体的流动，未知量为p、、、连续性方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有、、、、、、、p、T，因此，在时，这些物理量，故欧拉方程加上的数值应是给出的，即第二节理想流体运动方程第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第6页其中，f1至f6是给定的函数。对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条件。边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边界壁面的那层流体沿壁面法线方向的流体速度分量为零，即，而其切向分量不为零。对移动的固体壁面，该层流体速度的法向分量必须等于固体边界壁面上相应点的速度的法向分量，即又如根据作用力和反作用力相等的定律，流体作用于边界壁面或自由面上外界介质流体质点的力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上的力，即第二节理想流体运动方程第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第7页例题5.1有一稳定流场，其速度分布为，试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z轴垂直向上，，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处的压力梯度。。解：连续性方程和运动方程分别为对不可压缩流动连续性方程变为将速度分布代入上式得到因此，该流动为不可压缩流动。第二节理想流体运动方程第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第8页由于质量力为重力，则运动方程为

将给定的A，x，y，z代入，得到第二节理想流体运动方程第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第三节实际流体运动方程第1页一、实际流体运动方程的建立欧拉方程是属于理想流体的运动方程，理想流体是没有粘性的。实际流体具有粘性，因此作用在流体微团上的力将更加复杂。现仍取流场中边长为的微团六面体来分析（图5.4）。由于流体具有粘性，因而，作用在每个正方形面上的力，除去法向力外还有切向力（剪切力）。而法向力也和理想流体情况不同，它不只是流体的表面力（压力），而且还有由于剪切变形引起的附加的法线方向的力。用

表示法向应力，用

表示切向应力。则所有作用在微团上沿x轴方向的表面力的合力为、、x轴方向的质量力为第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日

退出返回第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第2页第三节实际流体运动方程根据牛顿第二运动定律列出x轴方向力的平衡式如下

即

同样可得到沿y和z轴方向力的平衡关系式，经化简得到

（5.10）第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第3页第三节实际流体运动方程将弹性力学中的应力应变关系式应用到流体力学中，作如下替换：用流体力学中的变形速率代替弹性力学中的应变；用流体的动力粘度代替固体的剪切模量G；用流体压力的负值（）代替弹性力学中的平均法向应力。当流体流动停止（静止流体）或者作匀速运动时，所有剪切应力都将消失，法向应力中只剩下压力（），而对于存在剪切应力的一般情况，此种压力仍然存在，并且与坐标方向无关，所以在一般实际流体的运动方程中仍可认为，只有在速度梯度和温度梯度极高时才有较大偏差。经过上述替换，可以得到实际流体运动时的应力与变形速率的关系如下第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第4页第三节实际流体运动方程由式（5.11）的前三式可以看出，粘性流体运动中的法向应力由两部分组成，即静压力p和剪切变形引起的附加的法线方向的应力。将式（5.11）代入式（5.10）可得

（5.11）第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第5页第三节实际流体运动方程

式（5.12）就是实际流体的运动方程，或称纳维—斯托克斯（Navier-Stokes）方程。当流体的粘度不变时，式（5.12）可以写成

（5.12）第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第6页第三节实际流体运动方程或者写成向量形式

（5.13）对于不可压缩流体，因为，则写成第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第7页第三节实际流体运动方程或者写成向量形式 （5.14）对于圆柱坐标系统，考虑一扇形六面体微团（以r，r+dr，，+d，z，z+dz六个面为边界面），按牛顿第二运动定律取力的平衡，可以得到圆柱坐标系统的纳维—斯托克斯方程。考虑粘度为常数时，其形式如下（推导从略）第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第8页第三节实际流体运动方程（5.15）第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第9页第三节实际流体运动方程（5.16）式中Fr，F，Fz为单位质量的体积力在r，，z方向的分量。第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第10页第三节实际流体运动方程对于不可压缩流体，。对于稳定流动，有上述方程显然便可简化。二、实际流体运动方程的求解由纳维—斯托克斯方程、连续性方程、状态方程、能量方程（热力学第一定律）和粘度温度关系式七个方程可以联立求解出、、p、、T、七个未知量。求解必须在一定的初始条件和边界条件下进行，对于稳定流动，只需给出边界条件。由于粘性流体的粘附效应，固体壁面上的流体质点和对应的固体壁面具有相同的速度，即、注意到纳维—斯托克斯方程中，惯性项是非线性项，因而求解十分困难。对于理想流体，存在速度势时，不可压缩理想流体的流动问题简化为求解拉普拉斯问题，因而可以由许多简单的流动叠加成为复杂的流动。但对于粘性流体，由于是非线性问题，就不能用叠加的方法求解。第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第11页第三节实际流体运动方程迄今为止，除了一些经典问题以外，一般问题的解析求解仍然是不可能的。近年来数值计算方法发展很快，借助于现代计算工具，使工程实际中许多复杂的流体力学问题得以解决，而纳维—斯托克斯方程作为计算基础是十分重要的。例题2求解两块固定无限长二维平行平板间不可压缩流体的稳定层流问题（图5.5）。解：x轴取在两平板中间，流动沿x方向，故wy=wz=0，对于不可压缩流体的稳定平面流动，纳维—斯托克斯方程和连续性方程为第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第12页第三节实际流体运动方程第二、第三式说明压力p仅是x的函数，而与y、z无关，最后一式说明wx与x无关，这样，第一式成为yxohp2lp1图5.5两平板内的流动xo第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第13页第三节实际流体运动方程上式左边为x的函数，右边是y的函数，对于不同变量的全微分等式，仅当等式两边都等于常数时才能成立，故有由边界条件：当时，，得到、则可得到流速分布可见wx沿平板间隙高度方向是抛物线分布的，如图5.5所示。若板长为l，入口和出口端压力分别为p1和p2，则流速分布公式可写成第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第14页第三节实际流体运动方程流过板宽b的流量为rxo