概率论与数理统计知识要点说明

一概念：互逆互不相容，反之不行相互独立：P(AB)=P(A)或P(AB)=P(A)P(B)2随机事件的运算律：AC(3)分配律：C(4)DeMorgen律(对偶律)AB=ABAB=ABnnnniii=1i=1nnA=Aiii=1i=1有界性0P(A)1ABPAPB)若X与Y相互独立的充分必要条件是F(x,y)=F(x)F(y)XY若X与Y是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是f(x,y)=f(x)f(y)XY若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是p(x,y)=p(x)p(y)XY但当X与Y服从正态分布时，则相互独立一不相关二两种概率模型M古典概型：P(A)=M:A所包含的基本事件的个数；N:总的基本事件的个数MNnmnnn次独立试验序列中事件A发生的次数为m到m12nn次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率nnmrm=0推广：P(AA……A)=P(A)P(AA)P(AAA)……P(AAA……A)12n121312n12n一1PAAAP(A)P(A)P(A)12n12n全概率公式：若A为随机事件，B,B……B互不相容的完备事件组，且P(B)>012niB1122nn 有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概问题.式解题的程序： (1)判断所求解的问题是否为全概率问题 (2)若是全概率类型，正确的假设事件A及B，{B}要求是互斥的完备事件组ii (3)计算出P(B),P(AB)ii (4)代入公式计算结果 (2)若x<x，则F(x)共F(x)212 (3)若X是离散随机变量，则F(x)是右连续的若X是连续随机变量，则F(x)是连续的 (有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数) FxFwx)+wlimFxFw数中的常数)x)x)Xxiiiixp(x)=1(此性质常用来确定概率函数中的常数)ixiiiiii一维连续随机变量：概率密度f(x) (1)非负性f(x)>0 (2)归一性：j+wf(x)dx=1(常用此性质来确定概率密度中的常数)xfxdx (注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)a五一维随机变量函数的分布：六二维随机变量：性质： (此极限性质常用来确定分布函数中的常数)XY联合概率函数p(x,y)=P(X=x,Y=y)列表ijij边缘概率函数：p(x)=xp(x,y)p(y)=xp(x,y)XiijYiijji性质(1)f(x,y)>0 dxdy-w-w联合分布函数与联合概率密度的关系 (注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)利用联合概率密度求概率R已知联合概率密度求边缘概率密度f(x)=j+wf(x,y)dyf(y)=j+wf(x,y)dx-w-w-w-w (注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)二维随机变量函数的分布1离散情形2连续情形：七随机变量的数字特征：iii=1-w二维情形若(X,Y)~f(x,y)为二维连续随机变量，则-w-w-w-w-w-w若(X,Y)~p(x,y)为二维离散随机变量，则ijE(X)=xxp(x)=xxxp(x,y)iXiiijE(Y)=xiyp(y)=xixjyp(x,y)jYjjijjji随机变量的函数的数学期望：若X为离散随机变量：E[g(X)]=xg(x)p(x)iii若X为连续随机变量E[g(X)]=j+wg(x)f(x)dx-wDD(X)D(Y) (1)E(C)=C(1)D(C)=0 相互独立 (注意：反之不成立)E(XY)=E(X)E(Y)(注意：反之不成立)八要熟记的常用分布及其数字特征：inx!|l|l0011F(x)02222E(X)D(X)22222E(X)0D(X)1若X~N(,2)，则P(x1Xx2)P(x1Xx2)(x2)(x1)九正态随机变量线性函数的分布；统计量，三大分布的定义，无偏性有效性矩估计最大似然估计区间估计假设检验 (1)计算总体的一阶原点矩E(X) (2)令E(X)V1nX，从中解得未知参数的矩估计量。1nii1 (4)令1ni1i，从中解得未知参数的矩估计量。E(X2)V1nX22n ii=1ii=1 (注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率) (2)对似然函数两边取对数； (3)对参数求导数，并令导数等于0 (4)由此解得参数的最大似然估计值。xx0u,x+0u)nn2查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。(xt(xt(n1),x+t(n1))nn22查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。 (1)根据题意提出原假设与备择假设 (2)根据题意选取统计量；X0nX未知，则应选择统计量t=~t(n1)X59108591085 (3)计算统计量的观察值 (4)查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论。放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋.求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率.C个来回后甲袋中红球数不变，则从而例高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2，若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。解：设事件A表示敌机被击落，事件B表示敌机中i弹。i=1,2,3i13233312312233|x2|x22求f(x)fxFxx),=2xxR处导数不存在，但规定为零例：设连续随机变量的概率密度(|acosx几24w02w2 一w当几几22时，22222222 40024442424X~e(1)，求Y=X的密度函数(e-xx>0解：f(x)=〈xYY-w0Y0YY|l-2yey2l0,其它.EXDX(2)P(X>1)2003111042022216242设随机变量X的概率密度为-w0122122-w223-w031340914936-w031=3(x4-x5=3(x4-x5)1+x42=+=,,4501212045737D(X)=E(X2)-(E(X))2=-()2536yxyxl0,其它.计算：(1)边缘概率密度f(x),f(y)(2)X与Y是否相互独立？为XY，，解 (1)当x共0时Xwwxxf(x)=〈Xle一x,Y(0,f(y)=〈 (2)因为f(x)f(y)才f(x,y)XY所以X与Y不相互独立。求：(1)X的边缘概率密度f(x)X 2X2X2X00a((2 2几几200020022404((a+1)xa例：总体X的概率密度为f(x)=〈l0矩估计量. x12nii=1i=1ii1i=1i=1nnn1=ii 信区间(结果保留四位小数)． (2)要使山的置信水平为0.99的置信区间长度不超过1，问样本容量最少应为多少？nana2a0.005a0.005 (1.20u=人2.58=0.6192，na252 (((x一0u,x+0u)=(8.20一0.6192,8.20+0.6192),nana2 nann2例：从一批火箭推力装置中抽取8个进行试验，测试其燃烧时间(s)，经计算得assna