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文档简介

第三节逆矩阵可逆矩阵正交矩阵

在数学运算中，数b除以非零数a的运算可用乘法表出为其中非零数的“倒数”（乘法逆）可用式定义。受此启发，对方阵的情形，就从讨论类似的等式出发，建立可逆矩阵的概念。一可逆矩阵定义3

对给定的矩阵A，如果存在矩阵B，使AB=BA=I则称A为可逆[矩]阵，并称适合（1-11）（1-11）的矩阵B称为A的逆[矩]阵;可逆矩阵也称为非退化[矩]阵，也常被称为非奇异[矩]阵成立，的做法，姑且称之为单位阵技巧，定理4

如果A

是

可逆阵，则其逆阵是唯一的.

在证明过程中巧用及阵等式中常用的一种技巧.这是在证明矩而称不存在逆阵的方阵为退化[矩]阵或奇异[矩]阵.这样，根据定义可容易地推知，单位阵必为可逆阵，且其逆阵即为自身

I-1=I.

由于可逆矩阵A

的逆矩阵是唯一确定的，故可用确定的符号记之为A-1

，有AA-1=A-1A=I.(2-13´)例12

试证对角阵是可逆矩阵，并求出A-1

利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程组的解.事实上,对n×n（即n个n元）线性代数方程组Ax=b当A是可逆矩阵时，可表出其解为

x=A-1b，这是因为由A为可逆阵，可知A-1存在，用A-1同时[左]乘方程的两边，A-1Ax=A-1b即x=A-1b可得可逆矩阵有以下两定理表示的性质定理5

若A为可逆矩阵，则A-1、kA（k

为任一非零常数）、AT皆为可逆阵，(A-1)-1=A(AT)-1=(A-1)T.且定理6

若A、B

为同阶的可逆矩阵，则AB

也是可逆阵，(AB)-1=B-1A-1.（1-13）这里是以A、B均可逆为前提条件的.且成立这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立.A1

A2…Ak

也可逆,推论

若已知A1,A2,…,Ak

为同阶可逆阵，则(A1

A2…Ak)-1=Ak-1…

A2-1A1-1.(1-13´)且例13

设

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