概率论在实际生活中的应用

YibinUniversity本科生毕业论文题目概率论在实际生活中的应用系别 数学学院 专 业 数学教育 学生学 号 年级指导教师职称教务处制表2015年6月3日概率论在实际生活中的应用摘要概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门数学学科,是对随机现象进行演绎和归纳的科学。本文介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概型,几何概型,全概率公式等相关知识,探讨概率统计知识在工业,保险行业,股票,体育等方面的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。关键字概率论；随机事件；生活；应用正文概率论是一门相当有趣的数学分支学科,随着科学技术的发展与计算机的普及,它已广泛地应用于各行各业,成为研究自然科学,社会现象,处理工程和公共事业的有力工具。目前,概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域.本文就概率论与数理统计的方法与思想,在日常生活中的应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实#/8用性.m常见的重要概念的应用i.i古典概型在实际问题中的应用古典概率通常又叫等可能概率,是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数,都可以由演绎或外推法得知,而无需经过任何统计试验即可计算各种发生结果的概率。它是概率里最早的一种最简单的概率模型,也是应用最广泛的概率。许多实际问题,都可以将其转化为古典概率加以解决。古典概率的计算公式：如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基1本事件的概率都是；例1口］：将15名新生〔其中有3名优秀生随机地分配到三个班级中,其中一班4名，二班5名，三班6名，求：<1每一个班级各分配到一名优秀生的概率；<23名优秀生被分配到一个年级的概率.解：15名新生分别分配给一班4名，二班5名，三班6名的分法有：〔1先将3名优秀学生分配给三个班级各一名,共有种分法,再将剩余的12名新生分配给一班3名，二班4名，三班5名，共有 种分法.根据乘法法则,每个班级分配到一名优秀生的分法有 种,所以其对应概率为：<2>用表示事件"3名优秀生全部分配到班"中所含基本事件个数中所含基本事件个数中所含基本事件个数由前面的分析知,所以因为匹出」囱互不相容,所以3名优秀生被分配到同一班级中的概率为：类似的利用古典概率求解的问题还有很多，比如博彩,产品抽样调查等。在利用古典概率求解实际问题时,并不都是这么容易的,许多古典概率的计算相当困难,并且具有一定的技巧性,计算要点是给定样本,并计算它的总数,再计算有利场合的数目几何概型在实际问题中的应用这是一种概率模型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如一个人到单位的时间可能是8:00-9:00之间的任意一个时刻;往一个方格中投一个石子，石子落在方格中任何一点上网试验出现的结果都是无限多个，属于几何概型。一个试验是否为几何概型，在于这个试验是否具有几何概型的两个特征——无限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。古典概率的计算公式：〔1设样本空间S是平面上某个区域,它的面积记为口；〔2向区域S上随机投掷一点,这里"随机投掷一点"的含义是指该点落入S任何部分区域的可能性只与区域A的面积匚二I成比例,而与区域A的位置和形状无关。例，向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的事件仍记为A,则A的概率为:「 L其中口为常数,而r⑸二4〃⑸,于是,得匕二国i,从而a的概率为注：若样本空间S为一线段或一空间立体,则向S"投点"的相应概率仍可用上式确定,但匚二I应理解为长度或体积。例2[1]：甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就离开.如果每个人可在指定的一小时任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.解：记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，口分别记甲、乙到达指定地点的时刻，则样本空间为回UfHOEJ060,0W了£60)|.以a表示事件"两人能会面"，则显然有,二式元V)I仁心€5,忧一川M20]根据题意得,只是一个几何概型问题,于是全概率公式在实际问题中的应用全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。定理1：设忘an三aI构成一个完备事件组，且匹近q亘z三回则对任一事件B,有利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因或情况及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即一事件已经发生,要考虑引发该事件发生的各种原因或情况的可能性的大小.定理2：设匹王五可]构成一个完备事件组,则对任一事件b,有匣叵q有例3[2]:假设有1,2,3,4四个地区爆发了某种传染病,通过对患病人口分布和地理环境调研后发现四个地区感染此病的概率分别为日,目,0,国现从这四个地区中随机找到一个人,那么此人患病的概率是多少?解：令回岖噩］,%=（此人来自第、地区［，1=1234由题意可知叫内）二j因此,由全概率公式可得；此种类型的问题同样可以发散到别的领域。我们不仅可以利用全概率公式来解决如同传染病类型的问题，还同样可以用来解决与之类似的比如产品的抽检之类的问题。2生活中概率统计的具体应用概率统计在工业生产中的应用：工厂中往往有多条生产线,而在生产流程中间，抽取部分产品,检查其中不合格品的数量,就可以推断出全部生产产品中的不合格品的数量，以及出现不合格产品的概率,进而推断出该批次产品能否投入市场。并且在众多生产线中,不论那一项环节出现问题,工厂的生产都会受到影响,为了尽可能避免问题,减少损失,我们可以利用概率统计中的知识计算出每条生产线的产品和格率,或者在已知故障发生率的情况下,追究不同生产线应承担的责任。例4［2］某零件场生产出的产品有3种，规定ABC产品的不合格产品概率要分别低于0.01,0.005,0.001的时候才能出厂。某日检查第一种产品，随机抽查5个产品中有1个不合格产品。用概率的方法推测这个批次的产品能否出厂？解:把抽查每一个产品看成一个独立事件,可把问题看成一个典型的概率问题。如果产品符合要求,则其不合格的概率小于0.01,令口=。-0"百一。-0」。抽取5件产品没有不合格品的概率为回=匚?@乳）0］。9刃’=口,元旧川口呵,若产品符合要求,则抽取样品中有不合格品的概率为亘叵［更L因此出现不合格品应该是一个小概率事件,当抽取5个出现有1个不合格产品的时候,不合格品出现的概率为0.2,这个批次的A产品不合格率超过了0.01,故这批次产品不能够直接出厂,需要继续检查。例5、某厂有四个生产车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的0.15、0.2、0.3、0.35,各车间的次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02,。有一户买了该厂一件产品，经检查是次品，用户按规定进行了索赔。厂长要追究生产车间的责任,但是该产品是哪个车间的生产的标志已经脱落,那么厂长该如何追究生产车间责任？解：因为不能确定该产品是哪个车间的生产的，因此每个车间都应该负有责任。且各生产车间应负的责任与该产品是各个车间生产的概率成正比。设：以下事件分别表示：口二〃该产品是车间生产的",j=1,2,3,4回="从该厂的产品任取一件恰好是次品"则第j个车间所负的大小表示为条件概率：底I亟卫利.由贝叶斯公式得：代入数据可得：『如）交*，匣口，陋曰，晅三画所以：瓯正！盛三司根据以上计算可得出：1、2、3、4车间所负责任的比例分别为0.238、0.254、0.286、0.222。概率统计在保险行业中的应用：保险行业是一个对保民有利使保险公司赚钱的行业.保民只需交纳少量的保险费，则在保险期间若遇到意外伤害，即得保险公司较大数额的理赔补偿,所以，很多人都愿意参加保险,而保险公司也愿意经营这个行业.为什么？理论依据就是统计推断原理：小概率事件在少量次试验中是不会发生的,但在大量次试验中是必然发生的.于是,人们在〃以防万一〃的心理驱驶下，都愿意用少量的投资去买个〃平安〃;保险公司则需调查被保险人群发生意外伤害死亡和重大疾病的概率,制定投保金额的标准,使保险公司永远不会亏本.例6叫已知在平安人寿保险公司有10000个人买了保险,在参保的一年参保人死亡的概率为0.006,每人的保险费用为12元/年,若参保人死亡则其家属可以领取1000元保险金，［1这年保险公司不盈利的概率是多少？〔2保险公司一年的利润大于40000元的概率是多少？解：设X为一年参保人死亡的人数,则由题可知：从而颐为二郎二60当自迪时就要亏本所以要求的是匣E!囱K由德莫佛-拉普拉斯定理得即保险公司基本不会亏本的。<2〉利润大于幽切元，即支出要少于I12OOOO二40000匚晒四元,因此死亡人数不能多于设利润不少于40000元的概率为口,则例7［引、某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金.已知该市人员一年发生重大人身事故的概率为0.005,现有5000人参加此项保险，问保险公司一年从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少？解：记X是5000个被保险人中一年发生重大人身事故的人数，则左恒3,其中X_*中由中心极限定理得，后F近似服从w(o,保险公司一年从此业务所得到的总收益为p.ci6M£0000-判万元所求概率为EH嚣:f=0.6826概率统计在股票投资中的应用：股市正是一个极大的随机系统,其中许多问题都是一种随机现象,完全可以用概率论的思想来解释。而股票投资又是风险投资中的一个重要分支,在股票投资中若能恰当地运用概率论的相关知识,必然可以取得令人满意的效果,从而实现降低风险、增加投资回报率的美好愿望。例8［田：设某公司拥有三支获利式独立股票，且三支票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求〔1＞任意两种股票至少有一种获利的概率；〔2三种股票至少有一种股票获利的概率；解：设「I分别表示三种股票获利，依题意卜」相互独立P仆)=O.W,|gE)=0.6刀C)=0.1，则由乘法公式与加法公式：(1)任意两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种股票获利的概率。＜2＞三种股票至少有一种股票获利的概率例9、设某公司拥有两支获利是独立的股票，且甲种股票获利的概率为0.8,乙种股票获利的概率为0.7,求＜1＞两种股票都获利的概率；＜2＞两种股票至少有一种股票获利的概率.解：依题意，设A表示"甲种股票获利",B表示"乙种股票获利"，且A与B独立,1m=0.」|P⑻=0,1则由乘法公式与加法公式(1)两种股票都获利的概率＜2＞两种股票至少有一种股票获利的概率2.4概率统计在体育比赛中的应用：因为,人们对于体育比赛关注和热爱程度的普遍提高,概率论在体育比赛当中所起到的作用也就会越来越明显.的确,体育比赛虽然注重的是双方或多方的体能、技能的较量,但是掌握好概率论对于现代许多体育比赛有很大的帮助。知彼知己,百战不殆.这的确与数学有关,在赛制的选择,输赢的估计等方面都蕴含着非常丰富的概率知识。

例10口：甲，乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为叵三国问对甲而言采取三局两胜制有利，还是采取五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解：采取三局两胜制，甲最终获胜其胜局情况是"甲甲"或"乙甲甲"或"甲乙甲"。二这三种结局互不相容，于是，由独立性得，甲最终获胜的概率为采用五局三胜制，甲最终获胜,至少需比赛3局〔可能赛三局,也可能赛4局或5局,且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两场。例如，共赛四局，则甲的胜局情况是"甲乙甲甲"、"乙甲甲甲"、"甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容。有独立性得，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为而3啖凡却4=3人1）工37|故当,对甲来说采取五局三胜制较为有利,当口时两种赛制下甲、乙最终获胜的概故当,对甲来说采取五局三胜制较为有利,当口时两种赛制下甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50%.例11：排球竞赛规则规定，发球方赢球时得分，输球时则被对方夺得发球权。甲乙两个排球队进行比赛,已知当甲队发球时，甲队赢球和输球的概率分别是0.2和0.8:；当乙队发球时，甲队赢球和输球的概率都是0.6和0.4，无论哪个队先发球，比赛进行到任一对得分时为止,求当甲队发球时各队的得分概率。解：事件A：甲队发球时，甲队赢球 B：乙队发球时甲队赢球。 P[A>=0.2,P<B>=0.6事件C：一开始甲队发球时，最后甲队得分结束语：上面只是列举了概率在实际生活问题中应用的几个小片段，其实,在我们的生活中随处可以见到概率论的影子，小到每天的天气预报,大到军事航天，都离不开概率论。通过以上讨论我们知道要利用概率知识来指导我们最初科学推论，就必须考虑概率的统计特性，在理性的基础上进行综合分析