第八节二阶系数齐次线性微分方程

第八节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。教学内容：TOC\o"1-5"\h\z若 鼻+叫半+0心=0 ⑴dx2dx中P（x）,Q（x）为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而（1）称之为二阶变系数齐次微分方程。记： y''+py'+qy=0 （2）将y=s代入（2）中有（r2+pr+q）erx=0，称r2+pr+q=0为（2）的特征方程。\o"CurrentDocument"r2+pr+q=0 （3）设个［为（3）的解。（1） 当［。［即p2-4q>0时，y=qeqx+Cer2x为其通解。（2） 当二=r=r即p2-4q=0时，（3）只有一个解y=Cerx。（3） 当r=以±i。即p2-4q<0时，有y=e（«±/P）x是解。利用欧拉公式可得实解，故通解为y=es（Ccos。x+Csin。x）。求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0 （2）的通解的步骤如下：写出微分方程（2）的特征方程r2+pr+q=0 （3）求出特征方程（3）的两个根r「>3.根据特征方程(3)的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程(2)的通解:特征方程r2+pr+q=0的两个跟r,r12微分方程y〃+py+qy=0的通解两个不相等的实根r,r12y=Cer1x+Cer2x两个相等的实根r,r12y=(C+Cx)e%一对共轭复根r=a±iP1,2y=eax(CcosPx+CsinPx)例1求微分方程yn~2y-3y=0的通解。解所给微分方程的特征方程为r2一2r—3=0其根.^_ =—1,.^^ =3是两个不相等的实根，因此所求通解为例2求方程柴+2J+s=0满足初始条件sL=4,s'!=o=—2的特解。解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0其根二=r=—1是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为s=(q+Ct)e-t将条件slt=0=4代入通解，得C1=4,从而s=(4+Ct)e-t2将上式对t求导，得s，=(C2-4-Ct)e-t再把条件s'lt=0=—2代入上式，得匕=2。于是所求特解为s=(4+2t)e-t例3求微分方程y〃-2y'+5y=0的通解。解所给微分方程的特征方程为

r2—2r+5=0其根r2=1土2为一对共轭复根，因此所求通解为,2y=ex（Ccos2x+Csin2x）例4在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力/的作用，且在初瞬t=0时的位置为x=x0dx初始速度为不!=0=v0。求反映物体运动规律的函数x=x（t）。- dx解由于不计阻力乩即假设或瓦=°’所以第八节中的方程⑴成为(4)d2x(4) +k2x=0dt2方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。反映物体运动规律的函数x=x（t）是满足微分方程（4）及初始条件xI=x,马I=v的特解。t=0 0dtt=0 0方程（4）的特征方程为r2+k2=0，其根r=±ik是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为x=Ccoskt+Csinkt。应用初始条件，定出C=应用初始条件，定出C=x,C=\。因此，所求的特解为

1 02k-.vx=xcoskt+了sinkt。为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令v=Asinp,-0=Acosp,（0<p<2兀）k式成为（5）x0于是（5）其中函数(6)其中函数(6)的图形如图12-14所示（图中假定x°>0，V0>0）o（6）x=Asin(kt+p)，（6）4v2 kxA=x2+f,tanp=—(0k2 V0函数(6)2兀所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A，初相为中，周期为T=函数(6)角频率为k，由于k=E（见第八节例D，它与初始条件无关，而完全由振动系统（在

本例中就是弹簧和物体所组成的系统)本身所确定。因此，上又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。例5由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力f和阻力R的作用，且在初瞬t=0时的位xx=x，初始速度；-=v0 dt'求反映物体运动规律的函数尤=x(t)d2x-dx,八 +2n—+k2x=0TOC\o"1-5"\h\zd12 dt!dx=x,-t=0 (小阻尼情形n<kx=e-nt(Ccos—t+Csin—t)(—=、；k2-n2)x=sin中,%+"*0=Acos中(0<^<2兀)0 —\o"CurrentDocument"则x=Ae-ntsin(—t+甲)其中—=tk2—n2,A='x2+W+"七"0 —22兀—一， …、E运动周期T=-—;振幅：Ae-nt衰减很快随时间t的增大物体趋于平衡位置大阻尼情况n>kx=Cerit+Cer2t其中r=-n土^n2-k2=-(nx=Cerit+Cer2t其中r无振荡现象，对任何初始条件limx(t)=0.即随时间t的增大物体总趋于平衡位置tT+8临界阻尼情况n=kx=(C1+Ct)e-nt任意常数由初始条件定，无论匕^取何值都有x(t)最多只与t轴交于一点，无振荡现象，limx(t)=lim(C+Ct)e-nt=0.1+8 1+81 2即随时间t的增大物体总趋于平衡位置可扩展到n阶常系数微分方程y(n)+py(n-1)+L+py'+py=0(p均为常数)1 n-1 n k特征方程：rn+arn-1+L+ar+a=0若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项(C1+C2x+L+%Xk-1)erx若特征方程含k重复根r=a±iP,则其通解中必含对应项

e腿[(C+Cx+L+Cxk-i)cosPx++(D+Dx+L+Dxk-1)sinPx]若特征方程单实根〃则其通解中必含对应项Cer1,2若特征方程一对单复根，］2土/p则其通解中必含对应项亦(Cicospx+C2sinpx)1,2例6解方程y(4)-2y"'+5y"=0通解为y=C+Cx+ex(Ccos2x+Csin2x)例7解方程d叫+p4w=0(P>0).dx4解:特征方程r4+p4=(r2+P2)2-2P2r2=0解:即(r2+显Pr+P2)(r2-%2Pr+P2)=0其根为L其根为L方程通解w=ew=e吉x(CicTx+C2sinP -Px—2x)+e、2(CcosXx+CsinEx)v'2 4 J2小结与思考：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当特征根形式不同时，通解具有不同形式。用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程y"+pyy+qy=0的通解的方法和步骤为：写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0；求出特征方程的根，即特征根1和O；根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解，即当A=