高考数学真题分类训练30（含答案解析）

高考数学真题分类一直线与平面所成角

一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.（5分）日唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时

间.把地球看成一个球（球心记为。）,地球上一点4的纬度是指04与地球赤道所在平面所成角，

点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日唇，若唇面与赤道所在

平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B,40°C.50°D.90°

2.设三棱锥V-4BC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱以上的点（不含端点），记直线PB

与直线AC所成角为a,直线PB与平面A8C所成角为6，二面角P-4C—8的平面角为y,则（）

A./?<y>a<yB.0<a,0<y

C.13<a,y<aD.a<0,y<£

3.如图，四边形ABC。为矩形，沿4c将△ADC翻折成△AD'C,设二面角的平面角为。，

直线4。与直线3c所成角为％,直线4。'与平面A8C所成角为”.当9为锐角时，有（）

4.己知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得截面面积

的最大值为（）

A延B.辿C.随D.3

4342

5.在长方体48C0-4当的。1中，AB=BC=2,4cl与平面夕当口。所成的角为30。，则该长方体

的体积为（）

A.8B.6V2C.8V2D.8V3

6.已知四棱锥S-4BCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与

8c所成的角为仇，SE与平面48CD所成的角为。2，二面角S-•4B-C的平面角为。3，则（）

<。。&<。。

A.2w3B.03<02<C.3w2D.02<03<仇

7.如图，在正方体4BCD-48传1。1中，直线&C与平面A8CC所成角的余弦值是（）

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

8.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为：，S4与圆锥底面所成角为45。，若△S4B

O

的面积为56,则该圆锥的侧面积为.

9.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30。，若ASAB的面积为

8,则该圆锥的体积为.

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

10.如图，在三棱柱中，CG_L平面ABC,AC1BC,AC=

BC=2,CG=3,点分别在棱44i和棱CCi上，且4。=1,CE=2,

M为棱&Bi的中点.

（I）求证：

（II）求二面角B-/E-。的正弦值；

（HI）求直线AB与平面OBiE所成角的正弦值.

第2页，共28页

11.如图，在正方体ABCD-&B1GD1中，E为BBi的中点.

(I)求证:BG〃平面4。遂；

(II)求直线与平面71D1E所成角的正弦值.

12.如图，三棱台4BC-DEF中，^ADFC1®ABC,乙ACBZ.ACD=DF

45°,DC=2BC.

(1)证明：EFJ.DB；

(2)求DF与面DBC所成角的正弦值.

B

13.如图，已知三棱柱ABC-Ai&G的底面是正三角形，侧面B&GC是矩形，M,N分别为BC,&G

的中点，P为A”上一点，过BiG和P的平面交AB于E,交AC于足

(1)证明：AAJ/MN,且平面为AMN1/颜&GF;

(2)设。为△AiBiG的中心，若A0"平面EB\C、F,且A。=48,求直线B】E与平面从力"'所成

角的正弦值.

14.如图，己知三棱柱ABC-AiBiG，平面&ACGJ■平面ABC,/ABC=90。，zBAC=30",ArA=

&C=AC,E,F分别是AC,&B］的中点.

(I)证明：EFlBC；

(II)求直线EF与平面4BC所成角的余弦值.

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15.如图，在四棱锥P—ABCD，底面A8CD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P4C_L平面

PCD,PA1CD,CD=2,AD=3,

(1)设G,”分别为尸8,AC的中点，求证：〃平面PAD；

(2)求证：PA1平面PCD；

(3)求直线4。与平面P4C所成角的正弦值.

16.如图，4D〃BC且4D=2BC,AD1CD,EG//ADAEG=AD,CD//FGS.CD=2FG,DG_L平

面ABCD,DA^DC=DG=2.

(1)若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面COE；

(2)求二面角E-BC-尸的正弦值;

(3)若点P在线段OG上，且直线BP与平面4DGE所成的角为60。，求线段OP的长.

17.如图，在四面体ABC。中，△ABC是等边三角形，平面ABC1平面ABD,点M为棱AB的中点,

(1)求证：AD1BC；

(2)求异面直线BC与所成角的余弦值：

(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

18.如图，四边形ABCO为正方形，E,尸分别为A。，BC的中点，以。尸为折痕把40FC折起，使

点C到达点P的位置，且PF1BF.

(1)证明：平面PEF平面43尸£)；

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(2)求OP与平面ABF。所成角的正弦值.

19.如图，正三棱柱ABC—4BC中，48=441=2,点P,。分别为为当，BC的中点.

(1)求异面直线3P与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CCi与平面AQCi所成角的正弦值.

20.如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2戊，PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

p

AC

(1)证明：尸0,平面ABC；

(2)若点M在棱3c上，且二面角M—PA—C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

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答案与解析

1.答案：B

解析：

本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题.

由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得唇针与点A处的水平面所成角.

解：可设A所在的纬线圈的圆心为。'，0。'垂直于纬线所在的圆面，

由图可得4。44为号针与点A处的水平面所成角，

又40ao为40。且041AH,

在RtA0H4「P，O'A1OH,­./.OHA=AOAO'=40°,

故选：B.

2.答案：B

解析:

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍

角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求

’8

解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，

本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用

“特殊位置法”，寻求简单解法.

解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为0,则P在底面上的射影力在

线段A0上，作0EJ.4C于E,易得PE〃VG,过P作于F,

过。作D"〃4C,交BG于H,

则。=NBPF,0=LPBD,y=/PED,

印|PFEGDHjBD八一r/口八

则cosa=—=—=—<—=cosp,可得夕<a；

tany=署>券=tan.,可得/?<y,

方法二、由最小值定理可得口<a,记V-AC-B的平面角为y'（显然y'=y）,

由最大角定理可得£<y'=y；

方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-4BC为棱长为2的正四面体，P为四的中点,

易得cosa=*=四，可得sina=浮，sinfi=l=^,siny=1

V366V33—

21277

当4P,由余弦定理可得PBx2xgx*

323

281628

T飞--1Jfi.

cosa=----Tsina可得故错误

2X冬-7=-叫-------木=—7=-,=邛-7^，a<y,C

33

故选：B.

3.答案：B

解析:

本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培

养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.

作D'E_1平面ABCQ于点E,ABABCD,贝lJ»E_L48,作于点F,连接EF,AE,

则ZD'FE=6,/.D'AE=%•由于A8CZ）是矩形，取4。边上的点G,使得GE平行AB,则AG=EF,

可得AG垂直Z/G.在△4D'G中，cos%=笫,在△D'EF中，cos。=言，根据三个角度关系即可得到

答案.

解：作。'E1平面A8C。于点E,ABu平面ABCD,

则D'E_LAB,

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作D'FlAB于点尸，连接E凡AE,

由于。'EnD'F=D',

且D'E,D'Fu平面D'EF,

则4B1平面D'EF,由于EFu平面。,EF,

故481EF,则ND'FE即为二面角，

则HFE=9,

由于D'E1平面ABCD,

则WAE即为直线4。与平面ABC所成角，

故ND'AE=e2,

由于C'F1AB.则D'F<D'A,

而sin。=翳，sin02=怒，则sin。>sin4.

当。为锐角时，e>e2.

由于A8C。是矩形，取A。边上的点G,使得GE平行AB,则4G=EF,

四边形AFEG为矩形，且D'El4G,又GE14G,GE^D'E=E,且都在平面D'GE中，所以4Gl面

D'GE,

则AG垂直D(.

在△AD'G中，cos%=华；

AD'

在AO'E尸中，cos。=皋DF.

而4。'2D'F,则cos%WcosO.

而。为锐角，

故%>0,

：.%。

故选B.

4.答案：A

解析:

本题考查正方体的结构特征，直线与平面所成角，属于较难题.

因为正方体的12条棱可分为3组，每组中的4条棱所在直线互相平行，所以要让每条棱所在的直线

与平面a所成的角都相等，只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面a所成的角都相

等即可，画出截面，计算面积即可.

解：因为正方体的12条棱可分为3组，每组中的4条棱所在直线互相平行，

所以要让每条棱所在的直线与平面a所成的角都相等，

只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面a所成的角都相等即可.

不妨找以前为公共点的三条棱GB1，GDi，GC,如图①，

图①图②

在三棱锥G-BiCDi中，底面8传。1为等边三角形，且Ga=GDi=GC,

所以三棱锥G-Bit：5为正三棱锥，

故三条棱GBi，GC与GDi所在的直线与平面&CD1所成的角都相等.

当平面Bi。％沿对角线4cl平行移动时，只有当平面a移动到平面EFGHRS（E,F,G,H,R,S分别为

所在棱的中点）时，面积最大，如图②所示.

又由题易知，六边形EFGHRS为正六边形，可求得EF=立，

2

则a截此正方体所得截面面积的最大值为6xGx返x店xsin600）=更.

、22274

故选A.

5.答案：C

解析：

本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于基础题.

画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可.

解：长方体力BCD-aB1GD1中，AB=BC=2,

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4G与平面BBi/C所成的角为30。，

即NACiB=30°,可得BG==2V3,

可得BBi=J(2旧/一22=2企，

所以该长方体的体积为：2x2x20=8版

故选：C.

6.答案：D

解析:

本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题.

作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数

的单调性即可得出三个角的大小.

解:•.•由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中

心.

过EW-EF//BC,交CD于F,过底面ABC。的中心。作ON1

EF交EF于N,

连接SN,

取4B中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,

则%=4SEN,仍=乙SEO,%=^SMO.

显然，%,%，%均为锐角.

,­,tan&!=—=—,tan0=—,SN>SO,

1NEOM3sOM

%2。3，

cncn

又sin%=—,sind=SEN

SM2—SE，SM,

・•・03>02•

故选D.

7.答案：D

解析:

本题考查了线面角的计算，考查计算能力，属于基础题.

连接AC,则N&C4为直线&C与平面所成的角，在Rt△2力C中求出cos441C4即可.

解：连接AC,

vAAA_L平面ABCD,

.•/4C4为直线41c与平面ABCD所成的角，

设正方体的棱长为1,则力C=VLA、C=遮,

cosz.A1CA=胃=*

故选：D.

8.答案：40V2TT

解析:

本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的侧面面积的求法，考查空间想象能力以及计

算能力.

利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积.

解：圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为，可得sin乙4sB=5—仔=粤.

由4S4B的面积为5V1^，可得:STPsin乙4sB=5V15,即为"x—=5^15，即S4=475.

228

SA与圆锥底面所成角为45。，可得圆锥的底面半径为：x4V5=2V10.

则该圆锥的侧面积：2mx4尤n=40a兀

故答案为：40V2n.

9.答案：87r

解析：

本题考查圆锥的体积的求法，母线与底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力.

利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高，然后求解体积即可.

解：圆锥的顶点为S,母线SA,S3互相垂直，AS4B的面积为8,可得：^SA2=8,解得S4=4,

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SA与圆锥底面所成角为30。,可得圆锥的底面半径为：2%，圆锥的高为：2,

则该圆锥的体积为：V=[x兀x(2V3)2x2=8TT.

故答案为：87r.

10.答案：解：以C为原点，CA，CB，鬲的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图所示,

则C(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),^(0,0,3),

&(2,0,3),Bi(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),3),

(I)证明：依题意，cjf=(1,1.0),瓦方=(2,-2,-2),

Cj4-B^D=2-2+0=0，;GM1B。

(U)依题意，襦=(2,0，0)是平面BBiE的一个法向量,

西=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

设元=(x,y,z)为平面CBiE的法向量,

则竹丝1=0,即夕+z=g,不妨设》=1,婶i=(i,_i,2),

In-FD=0-z=0

'.t—>CN-nx/6

・•.cos<G4,=

sin<CA>n>=/1--=

766

•••二面角B-B.E-。的正弦值等；

(皿)依题意，AB=(-2,2,0),

由(U)知,元=(1,-1,2)为平面DB/的一个法向量,

立,

・荏，元>=/

•.cos<3，

直线AB与平面。8道所成角的正弦值为冬

解析：(I)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0,即可证明；

(口)先平面DBiE的法向量元，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-BiE-。的正弦值;

(H)求出cos＜检，元〉值，即可求出直线AB与平面O/E所成角的正弦值.

本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力,

转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题.

11.答案：解：（I）由正方体的性质可知，中，且=

二四边形ABC1。】是平行四边形，二BC\〃AD[,

乂BCi,平面ADiE,力Diu平面力DiE,BCi//平面ADiE.

（H）以A为原点，AD,AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为m则4(0,0,0),4式0,0,a),D^afi,a),E(0,“，|a),

AA1=(0,0,a)>AD2=(a,0,a)>AE=(0,a,|a),

设平面A£»iE的法向量为记=(x,y,z),则｛?,北I：。。，即

令z=2,则％=—2,y=-1,Ain=(-2,-1,2),

设直线44i与平面ADiE所成角为仇则si7iJ=|cosV记，彳">|=|篇鬻|=居=|,

故直线与平面4D1E所成角的正弦值为|.

解析：（I）根据正方体的性质可证得BCJ/ADi，再利用线面平行的判定定理即可得证；

（口）以A为原点，AD,AB、力&分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线A①与平面4。出所

成角为仇先求出平面4D1E的法向量记，再利用sin。=|cos<m,AA^>\=|看簿彳|以及空间向量

数量积的坐标运算即可得解.

本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求

线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.

12.答案：解：（1）证明：作。H_LAC,且交AC于点”，

•••面4DFC1面ABC,面ADFCD面ABC=AC,DHu面ADFC,

DH1®ABC,BCu面ABC,：.DH1BC,

•••在RMDHC中，CH=CD-cos450=—CD,

2

DC=2BC,CH=^CD=y-2BC=a•BC,

第16页，共28页

.渭=去又〃CB=45。,

△BHC是直角三角形，且NHBC=90°,

HB1BC,

又；DHu面DHB,HBu面DHB,DHCHB=H,

BC1.1^DHB,-：DBc:^DHB,.-.BCA.DB,

•••在三棱台DEF—ABC中，EF//BC,EF1DB.

(2)设BC=1,则=1,//C=V2-

^.Rt△DHC^,DH=V2-DC=2,

在Rt△DHB中,DB=y/DH2+HB2=VT+I=®

作HG1BD于G,

BCliMDHB,HGu面DHB,：.BC工HG,

而BCu面BCD,BDu面BCD,BCnBD=B,

HG1面BCD,vGCu面BCD,

：.HG1GC,HGC是直角三角形，且NHGC=90°,

设QF与面OBC所成角为。，则。即为C"与面08c的夹角,

且sin。=sinz.HCG=——半，

HCV2

•.•在Rt△OHB中，DHHB=BD-HG,

DHHBy[21y[6

AHG=-------=—pr——,

BDH3

EL

.cHG云际

-'-sine=^=^=r

解析：本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考

查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化是能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，

本题属综合性较强的中档题.

(1)题根据己知条件，作DH14C,根据面面垂直，可得OH1BC,进一步根据直角三角形的知识可

判断出△B//C是直角三角形，且N"BC=90。，则H8J.BC,从而可证出BC1面最后根据棱

台的定义有EF〃BC,根据平行线的性质可得EF1DB；

(2)题先可设BC=1,根据解直角三角形可得BH=1,HC=V2，DH=V2>DC=2,DB=痘,

然后找到C4与面。BC的夹角即为NHCG,根据棱台的特点可知。尸与面QBC所成角与C”与面。BC

的夹角相等，通过计算ZHCG的正弦值，即可得到。尸与面D8C所成角的正弦值.

13.答案：(1)证明：•.・”、N分别为BC,BiG的中点，侧面8B1GC是矩形，

四边形BBiNM为矩形，

BBJ/MN,又AA["BB],：.AA\〃MN

••,底面为正三角形，N为BiG的中点

•••ArN1BiC1,又MNLBq,AiNCMN=N,A、Nu平面A、AMN,

MNu平面A、AMN

•••BG1平面A、AMN,又•:BGc平面EB、C\F

•••平面A、AMN1平面EB\C、F.

(2)连接PN,

••♦三棱柱上下底面平行，平面EBiGF与上下底面分别交于&C],EF

•1.B]G//EF,

•；4。//平面EBiGF,AOu平面A、AMN,平面A、AMNC平面EB[(\F=PN

•••40〃PN,.•.四边形AONP为平行四边形

由(1)知直线BiE在平面44MN内的投影为NP

.••直线BiE与平面44MN所成的角即为与NP所成的角

v。为正三角形的中心，；.ON=AP=泊N,EF=^BC

令EF=1,则BC=BiG=4B=4。=PN=3,BE=2,则&0=|x(曰x3)=百,故在RtAAAXO

中，AAr=BBi=布.

过E作EHLBiG，交8传1于“，则在等腰梯形£尸681中，B1H=1,B1E="+88/=同,

第18页，共28页

在RtAEB/中，sin3EH=詈.

•••直线BiE与平面4AMN所成的角的正弦值为邸.

解析：本题主要考查直线与平面平行与垂直的证明、直线与平面所成的角，属于中等题

（1）根据平行公理可证441//MN,由面面垂直的判定定理可证平面Z/MNJL平面EB1C/；

（2）由题可得直线B]E在平面&AMN内的投影为NP,则直线与平面4遇";7所成的角即为4E与

NP所成的角，在梯形EBiGF中计算与E与NP所成的角，可得直线&E与平面44MN所成的角的正

弦值。

14.答案：方法一：

证明：（I）连结ZiE,•；Ai力=AiC,E

是AC的中点，

A-^E1AC,

又平面AACCi1平面ABC,ArEu平

面a4CG，

平面414CC1n平面力BC=AC,

平面ABC,.•.&£1_LBC,

•••AtF//AB,/.ABC=90°,BC1AXF,

BCJ_平面AEF,•••EF1BC.

解：（11）取8<7中点6,连结EG、GF,则EGF4是平行四边形,

由于4E1平面ABC,故AiElEG,

・•・平行四边形EGF&是矩形，

由（I）得8。1平面EG",

则平面为BC1平面EGF&,

•••EF在平面&BC上的射影在直线&G上，

连结为G,交EF于O,则乙EOG是直线EF与平面4BC所成角（或其补角）,

不妨设4c=4,则在RtAaEG中，&E=2b，EG=V5，

••・0是&G的中点，故60=。6=生^=叵，

22

EO2+OG2-EG2_3

・•・cosZ-EOG

2XEOXOG5

.••直线EF与平面4BC所成角的余弦值为|.

方法二：

证明：(1)连结4道，-.-A1A=A1C,E是AC的中点，

ArELAC,

又平面&ACC1_L平面ABC,ArEu平面4遇。的，

平面Ap4CGn平面ABC=AC,

•••AXE1平面ABC,

如图，以E为原点，EC,E4所在直线分别为y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AC=4,贝必i(0,0,2g)，(73,1,0).当,3,2百)，F(y,|,2V3),C(0,2,0),

前=日,|,2g)，6C=(-73,1,0)，

由前•前=0,得EF1BC.

解：(II)设直线EF与平面&BC所成角为。,

由(I)得近=(-V3,1,0)，A^C=(0,2,-2V3)，

设平面4BC的法向量元=(x,y,z),

则-n--V3x+y=0

l&C'-n=y—V3z=0取x=1,得元=(1,V3,1)-

匹殖_4

•sind=

・・I国同一£

・•・直线EF与平面&BC所成角的余弦值为|.

解析：本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线

垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证

明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.

法一：

(I)连结ZiE,则AiE1AC,从而&EJL平面ABC,AtE1BC,推导出8c1A^F,从而BC1平面4iEF

由此能证明EF1BC.

(U)取BC中点G,连结EG、GF,则EGF2是平行四边形，推导出&E1EG,从而平行四边形EG凡41

是矩形，推导出BCJ•平面EGF%,连结力1G,交EF于O,贝此EOG是直线EF与平面&BC所成角(或

其补角)，由此能求出直线EF与平面4BC所成角的余弦值.

法二：

(1)连结4出，推导出&E_L平面A8C,以E为原点，EC,E4所在直线分别为y,z轴，建立空间

直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面48c所成角的余弦值.

15.答案：证明：(1)如图：

第20页，共28页

证明：连接8D,由题意得ACnBD=H,BH=DH,

又由BG=PG,得GH〃PD,

vGH<t平面PAD,PDu平面PAD,

GH〃平面PAD；

(2)证明：取棱PC中点N,连接ON,

依题意得ON1PC,

又•.•平面PAC1平面PCD,平面PACn平面PCD=PC,DNu平面PCD,

DNJ_平面PAC,

又R4u平面PAC,•••/)7J.P4,

又P41CD,CDCDN=D,

CDu平面PCD,DNu平面PCD,

•••PA1平面PCD；

(3)解：连接AM由(2)中ONJ■平面PAC,

知是直线AD与平面PAC所成角,

•••△PC。是等边三角形，CD=2,且N为PC中点，

•••DN=V3.

又DN工平面PAC,ANC平面PAC，

DN1AN,

在△中，sin乙DAN=—=—.

RtANDDA3

.••直线AD与平面PAC所成角的正弦值为它.

3

解析：本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知

识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.

(1)连接8。，由题意得ACClBD=H,BH=DH,由BG=PG,得GH〃PD,由此能证明GH〃平面

PAD；

(2)取棱PC中点N,连接DN,推导出DN1PC,从而DN1•平面PAC,进而DN1PA,再上P41CD,

能证明P4_L平面PCD-,

(3)连接4M由DN1平面PAC,知N/MN是直线A。与平面PAC所成角，由此能求出直线AO与平

面PAC所成角的正弦值.

16.答案：(I)证明：依题意，以。为坐标原点，分另U以a、DC，前的方向为x轴，y轴，z轴的正

方向建立空间直角坐标系.

可得0(0,0,0),4(2,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),F(0,l,2),G(0,0,2),N(l,0,2).

设标=(x,y,z)为平面CQE的法向量，

2y=°,不妨令z=-i,可得就=(i,o,-i)；

<：s：2x4-2z=0

又丽=(1,一|,1),可得丽・汨=0.

又•••直线MNC平面CDE,

MN〃平面CDE；

(n)解：依题意,可得比=(-1,0,0),BE=(1,-2,2).CF=(0,-1,2).

设五=(Xi，yi，Zi)为平面BCE的法向量，

贝伊匣=一/=0

°,不妨令Z]=1,可得元=(0,1,1).

(n•丽=%1—2yl+2zt

设沆=(%2，y2，Z2)为平面8C尸的法向量,

则俨•匣=—*2=0

0,不妨令=1,可得沅=(0,2,1).

(m■CF=—y2+2Z2

因此有cos〈记，元>=二:=^于是sinV沅，尢>=逗.

|m|-|n|10'10

••・二面角E-BC-F的正弦值为叵；

10

(川)解：设线段DP的长为儿(/iG[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),

可得加=而方？=(0,2,0)为平面AOGE的一个法向量，

故|cos<'BP.DC>|=黑兽=方|=.

11\BP\\DC\迎2+5

由题意，可得4==s讥60。=更，解得八=更€[0,2].

V/I2+523LJ

••・线段DP的长为理.

3

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解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，是中档题.

(I)依题意，以。为坐标原点，分别以万?、DC,说的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直

角坐标系.求出对应点的坐标，求出平面CCE的法向标量及丽，由丽•汨=0,结合直线MNC平

面CDE,可得MN〃平面COE；

(U)分别求出平面BCE与平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-BC-

F的正弦值；

(HI)设线段DP的长为h,Qe[0,2]),则点P的坐标为(0,0,九),求出前=(-1,-2,ft).而沅=(0,2,0)

为平面AOGE的一个法向量，由直线BP与平面AQGE所成的角为60。，可得线段。P的长.

17.答案：(I)证明：由平面ABC1平面ABD,平面ZBCn平面A

ABD=AB,ADu平面ABD,ADLAB,

得4。_L平面ABC,又BCu平面ABC,故AO1BC；三三亍/>°

(n)解：取棱4c的中点N,连接MN,ND,B

••・M为棱AB的中点，故MN〃8C,

•••4CMN(或其补角)为异面直线BC与所成角，

在RtAZMM中，AM=1,故DM=7AD2+4M2=g,

vADABC,ACu平面ABC,故ADLAC,

在Rt△DAN中，AN=1,故。N=y/AD2+AN2=V13.

在等腰三角形OWN中，MN=1,可得COSNOMN=迦=m，

DM26

••・异面直线BC与MD所成角的余弦值为百；

26

(皿)解：连接CM,

・•・△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，

故CM_LAB,CM=V3,

又•.•平面ABC_L平面ABD,平面48cn平面4B0=AB,而CMu平面ABC,

故CM，平面ABO,则/CDM为直线CD与平面ABD所成角，

在Rt△乙4。中，CD=\/AC2+AD2=4，

在RtACMD中，sinzCDM=—=

CD4

直线CD与平面ABD所成角的正弦值为攻.

4

解析：本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象

能力、运算求解能力与推理论证能力，属于中档题.

(I)由平面ABC1平面ABD,结合面面垂直的性质可得力D1平面ABC,则力D1BC；

(口)取棱4<7的中点村,连接MN,ND,又M为棱AB的中点，可得40MN(或其补角)为异面直线

BC与M。所成角，求解三角形可得异面直线BC与所成角的余弦；

(DI)连接CM,由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM148,且CM=g，再由面面

垂直的性质可得CM_L平面AB。，贝比CDM为直线CD与平面ABO所成角，求解三角形可得直线CQ

与平面AB。所成角的正弦值.

18.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是A。、8c的中点，

则力E=之4£＞，BF=拙,

由于四边形A8C£»为正方形，所以EF1BC.

由于PFJ.BF,EFCPF=F,EF,PFu平面PER

则BF_L平面PEF,

又因为BFu平面ABFD,

所以：平面PEF_L平面ABFD

(2)在平面PE尸中，过P作PHLEF于点H,连接DH,

由于EF为面ABFQ和面PEF的交线，PH1EF,PHu平面PEF,

则PH1®ABFD,

又DHu平面ABFD,故PH1DH.

可知：即为。P与平面4"。所成角，

在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,

因为。E〃BF且PF1BF,

所以PF1DE,

又因为△PDF=△CDF,

所以4FPD=/.FCD=90°,

所以PF1PD,

由于。ECPD=D,DE,PDu平面PDE,

则PF1平面PDE,

故%-PDE=3PF,SAPDE>

因为BF〃ZL4且BFIffiPEF,

所以DAIffiPEF,EPu面PEF,

所以OE1EP.

设正方形ABC。的边长为2a,则PD=2a,DE=a,

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在APDE中，PE=Wa，

所以SAPDE=

故%-POE=

又因为SADEF=|a-2a=a2,

所以PH=/巴产=更如

所以在APH。中，sinZPDW=—=^,

PD4

则OP与平面ABFC所成角的正弦值为：旦

4

解析：本题考查面面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于较难题.

(1)得出BF1平面PEF,然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.

(2)根据题意，求出即可得解.

19.答案：解：(1)如图，在正三棱柱48C-&B1G中，

设AC,41cl的中点分别为0,。口

则，OB1OC,OOilOC,0(?!10B,

故以｛而，小，西)为基底，

建立空间直角坐标系。-xyz,

vAB=A