能控性与能观性

第10讲

能控性和能观测性

Controllability&Observability课程要求:

能控性和能观性的定义能控性和能观性的判据能控和能观规范型对偶原理10.1能控性和能观性的定义x1,x2,xnu1u2upy1y2yq能控性研究系统内部状态是否可由输入影响能观性研究系统内部状态是否可由输出反映例子状态可由输入影响状态不能由输出完全反映1∫4∫-5u2-6y能控不能观若在一个有限时间间隔内施加一个无约束的控制向量u，使得系统由初始状态x0转移到原点，则称系统在t0时刻是能控的。系统能控性若系统在任意时刻的所有状态都是能控的，称此系统完全能控。x1x2PP1P2Pn若系统的初始状态x0在有限时间内可由输出的测量值确定，则称系统在t0时刻是能观测的。系统能观性若系统在任意初始时刻都能观测，称此系统完全能观。10.2能控性判据格拉姆（Gram）矩阵判据连续时间线性时不变系统为完全能控的充分必要条件为，存在时刻t1>0,使得如下定义的矩阵为非奇异。JørgenPedersenGram(June27,1850–April29,1916)丹麦数学家。

应用：如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。

在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlapmatrix）。在控制论，可控性格拉姆矩阵（controllabilityGramian）与可观测性格拉姆矩阵（observabilityGramian）确定了线性系统的性质。在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积Gram－Schmidt正交化

PBH秩判据LTI系统状态完全可控的充要条件为:状态矩阵的任意特征值λ都满足rank[A-λI|B]=n秩判据对n维线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为例考查如下系统的能控性故此系统的状态完全可控。特征值规范型判据若线性系统的状态矩阵A具有相异特征值，则系统能控的充要条件为，系统经线性非奇异变换，A阵变换成为对角标准型后，对应的B阵不包含元素全为0的行。若线忧性系围统的颈状态剑矩阵A具有董重特羽征值至，且庆对应柳于每沟个重锤特征致值只崇有一货个约岛当块厨，则绣系统可完全村能控秃的充亩要条毙件为:系统管化为残约当幸标准郊型后犹，与霉每个求约当焰块最踏后一盆行对层应的B阵中增的行棚的元爷素不培全为扣零。不能介控能控不能柳控状态盯图∫∫∫λ1

∫λ1ub2b1可以廊为零不能胶为零注意亲：状态柳矩阵A为对温角型剑但含委有相装同元需素状态掠矩阵A的约调当标链准形流有两绢个约熄当块欧的特患征值贝相同不能寇应用素约当茫判据不能楼控讨论喂：线性麦系统颈经过蹄线性新非奇不异变敌换后停，状省态能灰控性暮保持盯不变输出等完全托能控若在奥有限浪时间欢内，恒存在超适当夜的控箱制u，使宅得系嫌统能非从任崖意的怨初始坛输出y（t0)转移殿到任姿意指柄定的日最终室输出y(董t1屿),则称港系统塞是输边出完企全能匆控的阳。系统节输出听完全与能控调的充秘分必亚要条痕件是ra踏nk连[C股B朱CA病B循C未A2B用C夜An-锡1B]陡=qq为输司出向燃量维摊数10窜.3能观蒜性判蠢据格拉特姆（Gr尺am）扫矩阵倒判据连续饱时间芹线性井时不战变系绞统为刑完全环能观熔的充瞧分必温要条英件为甚，存屠在时嫂刻t1>0蹄,使得兽如下档定义朗的矩岗阵为馋非奇要异。模态朴判据LT嫁I系统唤状态树完全举可观滚的充旗要条柏件:状态萝矩阵境的任累意特雀征值λ都满碎足秩判估据对n维线六性时纠不变求系统巩，系这统完普全能勒观的境充分捎必要沙条件木为例约当裤规范栋型判秃据若线咬性系晌统的塌状态缘瑞矩阵A具有旅相异胞特征林值，炼则系职统能竿观的舞充必鸭条件林为:系统兼经线裂性非笋奇异削变换窗，A阵变殊换成沈为对绢角标搁准型骨后，富对应昆的C阵不也包含互元素刮全为0的列。若线交性系贫统的箭状态敞矩阵A具有重特事征值，且总对应令于每灾个重特栏征值叨只有洁一个总约当躬块，则芬系统射完全闷能观泻的充追要条裂件为:系统程化为舅约当所标准疲型后东，与每熔个约桂当块锋第一匠列对肯应的C阵中庙的列车的元禁素不移全为郊零。能观注意堡：状态岭矩阵A为对夺角阵嘉但含奸有相顾同元显素状态耽矩阵A约当他标准市型有克两个立约当必块的灾特征秘值相线同不能牙应用伐约当披判据不能挤观鲁道题夫·卡尔酿曼（Ru扎do棋lf躬E驴mi樱l赠Ka绳lm评an），毙匈牙英利裔扑美国愉数学未家，19直30年出局生于反布达捡佩斯磨。19起53年MI高T获得彻电机另工程昂学士闸，翌章年硕雕士学落位。19颤57年于揉哥伦慰比亚颤大学着获得盒博士剂学位19荡64年至19梦71年任秧职斯闸坦福肯大学航。19柏71匙-1蠢99轰2佛罗靠里达急大学伞数学化系统垮理论隶中心顷主任梨。19丝式72起任挥瑞士妈苏黎灾世探联邦花理工干学院疗数学焦系统心理论差中心逃主任拾直至邪退休谋。20释09年获季美国熊国家垃科学科奖章闭。U.面S.黑N睛at块io述na闯l毒Ac词ad帝em纯y嘱of勒S责ci钢en福ce打s,咱t吊he克A平me颠ri悔ca溪n连Na崖ti饼on巾al铺A提ca晶de差my筋o炸f扮En帽gi佳ne局er讽in烛g,惭a敲nd益t喘he污A志me未ri办ca拉n西Ac据ad兵em神y鬼of肉A恋rt黑s滨an饿d狠Sc释ie冲nc脏es总.Ka秋lm仇an滤波卡尔电曼滤斩波是一类种高然效率咐的递爬归滤母波器(自回桨归滤硬波器),它能娇够从苹一系址列的屋不完冲全及迅包含创噪声罪的测泡量中秆，估梅计动桂态系脂统的显状态贪。卡尔嘱曼在NA飞SA埃姆绵斯研堡究中眉心访兼问时念，发键现他贸的方晓法对致于解体决阿侄波罗妈计划谋的轨伴道预舌测很孤有用锣，后胀来阿昂波罗哗飞船页的导匪航电明脑便立使用临了这洋种滤外波器朗。In隔l齐at暮e边No态ve爱mb超er悦1涉95也8,厌n赴ot锡l插on宾g泳af求te暑r埋co宽mi似ng蛙t梯o踪蝶RI美AS视,有Ka况lm油an仁w踩as捉r犯et勒ur献ni证ng助b个y黎tr岔ai礼n卵to扰B啄al夏ti次mo象re谈f乏ro惠m严a浮vi钱si宇t倍to公P咱ri踩nc配et算on便.选At帐a秧ro办un绑d奇11农P叠.M刮.,杀t却he湿t陈ra娃in腰w配as赢h牧al垄te职d厘fo杜r俯ab稍ou陆t膛an叠h古ou筛r稍ju灿st详o日ut裁si笔de开B紧al烘ti瓦mo温re浓.绩It验w俱as寸l街at陈e,桨h猪e柱wa香s夏ti园re歼d,少a佣nd狸h蜓e逮ha逐d春a扩he用ad盈ac锤he黑.蛙Wh剃il熔e雾he臂w枣as柜t独ra网pp辅ed险t士he锈re哈o窄n饭th或e易tr拐ai菠n冲fo暑r着th昆at鱼h喷ou腥r,挎a闹n怪id袍ea执o盗cc防ur乡丰re裁d梳to墓h皆im网:秀Wh麻y生no直t跃ap脏pl翻y饭th膊e价no椅ti竟on否o字f脂st万at殖e档va骂ri迅ab荐le新s尼to商t冈he组W彻ie特ne厘r–像Ko挨lm虽og躲or兆ov封f挺il略te沿ri粉ng隐p幅ro借bl脉em步?胳He貌w矮as说t捕oo尸t壁ir皮ed彼t条o虚th呢in息k非mu君ch床m钓or乳e稀ab仇ou桂t妙it隔t本ha惕t忙ev诊en采in旗g,售b忽ut曾i朋t雹ma必rk穴ed神t第he化b挪eg福in耍ni主ng债o残f帅a集gr鸣ea尼t秆ex京er建ci赔se背t涨o拌do田j筛us量t爸th做at晌.庄He悟r锣ea零d嘴th寇ro时ug访h馅Lo烘e`矿ve购’s达b刑oo纪k材on啊p陷ro秆ba精bi角li捞ty择t慰he历or遭y走an棒d专eq猛ua需te悦d猜ex妙pe沈ct挺at痒io毙n头wi正th刑p榴ro座je混ct且io城n.范T恰ha考t缓pr扰ov巩ed亡t朝o取be铅p苹iv撇ot窜al订i恨n树th伞e干de脚ri排va衰ti普on羡o绳f顺th乞e起Ka阿lm焦an昆f膀il真te腾r.In健1龟98烈5,睡K方al耽ma誉n潜wa努s败aw状ar席de疼d老th屑e扫Ky嫌ot宝o沙Pr泳iz确e,铁c昆on说si按de饭re勾d歼by范s喉om贸e左to渡b惧e嘉th膏e千Ja翻pa评ne绢se命e逗qu湖iv亚al懒en晓t短of况t律he适N蚊ob浴el凡P寺ri专ze之.慕On凶h限is葛v前is袖it脊t盾o魂Ja驰pa跑n催to抚a旋cc台ep聚t托th铁e尤pr妈iz搅e,芦h泰e粥re牵la搅te痕d愉to戏t塘he予p符re脸ss塑a刃n稼ep盏ig奖ra肉m犁th横at苹h迎e散ha遗d需fi去rs斑t的se控en活i炊n仔a艇pu坚b控in哗C恭ol环or惯ad馒o喇Sp忌ri蹲ng虫s史in价1纺96您2,竹a斩nd圆i相t武ha吩d挑ma震de惑a乏n冠im啦pr潮es面si饺on垃o涌n航hi谨m.悟I英t骂sa穗id欢:Li牙tt丝式le抹p效eo打pl酒e言di说sc笛us寺s盗ot亡he丸r苹pe违op貌leAv纺er察ag宗e中pe堂op裳le洪d厦is驼cu榴ss攻e丧ve喂nt扮sBi富g讯pe常op市le颜d璃is闪cu新ss时i妖de萌as20犹08针N驶at稻io讯na扔l业Me载da蜂l谨of喷S父ci桌en堪ce娃t识o蛮Dr曲.柄Ru错do页lf本E晌.灵Ka什lm戚an均,堵Sw既is重s士Fe堪de名ra亦l询In宅st躲it促ut捕e蜂of续T蚊ec梳hn栋ol稀og敢y,税f悠or碍h巩is逗f瞒un陵da池me攀nt欢al酒c存on磁tr泳ib絮ut底io王ns肺t滩omo种de朴rn纺s患ys料te课m耀th酸eo您ry,陶wh去ic胆h稼pr眉ov环id狠ed趁r摘ig熊or步ou巨s志ma免th锦em焰at安ic演al躺t奖oo清ls景f恨or剩e落ng楼in额ee箭ri苏ng慈,塘[e剂co松no筹me症tr部ic至s]悬,挣an钳d扶st俱at台is行ti雪cs贼,柿an急d它in蠢p剑ar谨ti手cu唐la促r歇fo炼r梅hi闭s培in厕ve既nt恢io已n失of窗t营he松"Ka球lm岩an义f赶il靠te鹊r,"着w尺hi示ch陪w索as控c范ri特ti蓝ca林l淹to耀a纱ch戚ie采vi岗ng轿t帽he座M瘦oo迟n后la兔nd赴in估gs梨a绣nd岔c讨re肾at跨in到g永th匪eGl箱ob针al刺P击os楼it祥io揉ni阅ng注S跪ys嗓te下man番d跳wh忘ic倍h蓝ha现s瞧fa秆ci狮li喂ta霉te剖d芦th晓e污us舱e律of肉c垃om飞pu锦te趋rs环i估n疗co种nt诉ro恋l稠an削d喷co快mm充un表ic校at于io监ns采t挖ec敢hn锦ol拜og兆y20扒09垄.1且0.勾710肉.4能控-能观树规范亚型能控仰和能傅观规卡范型惑是指东适当爷选择贡状态蕉空间径的基热底，竖对系谷统进脊行线钥性变贝换，捞把状俭态空叔间表毁达式样的一悄般形溉式化案为标避准形权式。能控拉标准竹型若系闸统是扭能控锋的，踏则必雅存在锋一非件奇异恒变换劈燕，可蹄将其冲变换落为能租控标骗准型燃。能观葡标准垫型若系谨统是纵能观崭测的陆，则出存在椅非奇储异变抽换，假将系卖统变挂成能共观标泉准型驶。讨论对单巡寿输入-单输遍出系铃统，掩系统陈状态末空间知变换功为能光控或想者能缝观标具准形战时，予其表吧示方赏法是牺唯一植的。10后.5对偶撤原理对偶防系统B∫AuyC∫-ATBTCTvzw对偶歉原理系统壳的能摸控性暗等价县于对幻玉偶系雨统的陡能观匀性系统岭的能贩观性迅等价构于对异偶系纸统的严能控赴性状态派观测估计状态滨控制10拘.6定常吵系统份的结嘉构分率解结构多分解家的实吨质是摇将不碰完全崭能控/能观神系统亲区分抚为能巨控和福不能墓控